{"id":214,"date":"2019-05-13T13:41:59","date_gmt":"2019-05-13T13:41:59","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=214"},"modified":"2019-05-13T13:51:42","modified_gmt":"2019-05-13T13:51:42","slug":"exercicios-topologia","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/05\/13\/exercicios-topologia\/","title":{"rendered":"Exerc\u00edcios: Topologia"},"content":{"rendered":"

$\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}\\newcommand{\\A}{\\mathcal A}$
\n1.\u00a0 Seja $(x_n)$ uma sequ\u00eancia de n\u00fameros reais e seja $a\\in\\R$. Mostre que as seguintes s\u00e3o equivalentes.<\/p>\n

    \n
  1. $x_n\\rightarrow a$;<\/li>\n
  2. para todo conjunto $X\\subseteq \\R$ aberto tal que $a\\in X$ existe $N\\in\\N^+$ tal que $x_n\\in X$ para todo $n\\geq N$.<\/li>\n<\/ol>\n

    2. Sejam $A,\\ B\\subseteq \\R$ conjuntos abertos. Mostre que
    \n$$
    \nA+B=\\{a+b\\mid a\\in A,\\ b\\in B\\}
    \n$$
    \ne
    \n$$
    \nA\\cdot B=\\{ab\\mid a\\in A,\\ b\\in B\\}
    \n$$
    \ns\u00e3o abertos.<\/p>\n

    3. Sejam $X,Y\\subseteq \\R$ conjuntos fechados disjuntos tais que $X\\cup Y$ \u00e9 um intervalo fechado. Mostre que $X=\\emptyset$ ou $Y=\\emptyset$.<\/p>\n

    4. Seja $\\alpha\\in\\R\\setminus\\Q$. Mostre que $\\Z$ e $\\alpha\\Z$ s\u00e3o fechados, mas\u00a0 $\\Z+\\alpha\\Z$ n\u00e3o \u00e9 fechado.<\/p>\n

    5. Demonstre as seguintes afirma\u00e7\u00f5es para conjuntos $A,B\\subseteq \\R$.<\/p>\n

      \n
    1. Se $A$ \u00e9 compacto e $B$ \u00e9 fechado, ent\u00e3o $A+B$ \u00e9 fechado.<\/li>\n
    2. Se $A$ e $B$ s\u00e3o compactos, ent\u00e3o $A+B$ e $A\\cdot B$ s\u00e3o compactos.<\/li>\n
    3. Se $A$ \u00e9\u00a0 compacto e $B$ \u00e9 fechado, ent\u00e3o pode ser que $AB$ n\u00e3o \u00e9 fechado.<\/li>\n<\/ol>\n

      6. Demonstre que $(X\\cup Y)’=X’\\cup Y’$ para todo $X,Y\\subseteq \\R$.<\/p>\n

      7. Demonstre que se $X\\subseteq \\R$ \u00e9 um conjunto limitado superiormente, ent\u00e3o $\\overline X$ tamb\u00e9m \u00e9.<\/p>\n

      8. Seja $\\mbox{int}(X)$ o conjunto de pontos interiores de um conjunto $X\\subseteq \\R$. Mostre, para todo $X,Y\\subseteq \\R$, que $\\mbox{int}(X\\cap Y)=\\mbox{int}(X)\\cap \\mbox{int}(Y)$ e $\\mbox{int}(X\\cup Y)\\supseteq \\mbox{int}(X)\\cup \\mbox{int}(Y)$. Mostre que a segunda desigualdade pode ser pr\u00f3pria.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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