$\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\A}{\\mathcal A}$Seja $X\\subseteq\\R$ um conjunto, $f:X\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o, e $a\\in X’$. Dizemos que o limite da fun\u00e7\u00e3o $f$ no ponto $a$ \u00e9 $L\\in\\R$ se para todo $\\varepsilon>0$ existe $\\delta>0$ tal que $|f(x)-L|\\leq\\varepsilon$ sempre que $0<|x-a|\\leq\\delta$. Escrevemos
\n$$
\n\\lim_{x\\rightarrow a}f(x)=L.
\n$$<\/p>\n
Lema.\u00a0<\/strong>Se existir $\\lim_{x\\rightarrow a}f(x)$, ent\u00e3o ele \u00e9 \u00fanico.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Assuma que n\u00e3o e os reais distintos $L$ e $M$ s\u00e3o ambos limites de $f(x)$ em $a$. Seja $\\varepsilon=|L-M|$. Existem $\\delta_1$ e $\\delta_2$ tais que Lema.\u00a0<\/strong>Se existir\u00a0$\\lim_{x\\rightarrow a}f(x)$, ent\u00e3o existem $A>0$ e $\\delta>0$ tal que $|f(x)|\\leq A$ para todo $x\\in X\\cap (a-\\delta,a+\\delta)$.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Exerc\u00edcio.<\/p>\n Lema.\u00a0<\/strong>Sejam $f,g,h:X\\rightarrow\\R$ e $a\\in X’$ tais que $f(x)\\leq g(x)\\leq h(x)$ para todo $x\\in X\\setminus\\{a\\}$. Assuma que existem $\\lim_{x\\rightarrow a}f(x)$ e\u00a0\u00a0$\\lim_{x\\rightarrow a}h(x)$ e Demonstra\u00e7\u00e3o. <\/strong>Seja $\\varepsilon>0$.\u00a0Existem $\\delta_1,\\delta_2>0$ tal que Lema.<\/strong> Sejam $f,g:X\\rightarrow\\R$ e $a\\in X’$ tais que existem $L=\\lim_{x\\rightarrow a}f(x)$ e $M=\\lim_{x\\rightarrow a}g(x)$ com $L<M$. Ent\u00e3o existe $\\delta>0$ tal que $f(x)< g(x)$ para todo $x\\in X\\cap(a-\\delta,a+\\delta)\\setminus\\{a\\}$.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Seja $\\varepsilon=(M-L)\/3$. Existem $\\delta_1$ e $\\delta_2$ tais que Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Seja $f:X\\rightarrow\\R$ e $a\\in X’$. Se existir $\\lim_{x\\rightarrow a}f(x)$ e este limite \u00e9 positivo, ent\u00e3o existe $\\delta>0$ tal que $f(x)> 0$ para todo $x\\in X\\cap(a-\\delta,a+\\delta)\\setminus\\{a\\}$.<\/p>\n Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Sejam $X\\subseteq\\R$, $a\\in X’$, e $f,g:X\\rightarrow\\R$ tais que $f(x)\\leq g(x)$ para todo $x\\in X$ e existem $M=\\lim_{x\\rightarrow a}f(x)$ e $L=\\lim_{x\\rightarrow a}g(x)$. Tem-se que $M\\leq L$.<\/p>\n Teorema.\u00a0<\/strong>Sejam $X\\subseteq\\R$, $a\\in X’$\u00a0 e $f:X\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o. As seguintes s\u00e3o equivalentes.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>1.$\\Rightarrow$ 2. Seja $(x_n)$ uma sequ\u00eancia tal que $x_n\\in X\\setminus\\{a\\}$ e $x_n\\rightarrow a$. Seja $\\varepsilon>0$. Existe $\\delta>0$ tal que $|f(x)-L|\\leq\\varepsilon$ para todo $x\\in X$ tal que $0<|x-a|\\leq\\delta$. Como $x_n\\rightarrow a$, existe $N\\in\\N^+$ tal que $|x_n-a|\\leq \\delta$ se $n\\geq N$. Obtem-se que se $n\\geq N$, ent\u00e3o $|x_n-a|\\leq \\delta$, e assim $|f(x_n)-L|\\leq\\varepsilon$. Portanto $f(x_n)\\rightarrow L$.<\/p>\n 2.$\\Rightarrow$ 1. Assuma que a afirma\u00e7\u00e3o 1. \u00e9 falsa. Existe $\\varepsilon>0$ tal que para todo $\\delta>0$ existe $x\\in X$ com $0<|x-a|\\leq \\delta$ mas $|f(x)-L|>\\varepsilon$. Seja $n\\in\\N^+$. Existe ent\u00e3o $x_n\\in X$ tal que $0<|x_n-a|\\leq 1\/n$, mas $|f(x_n)-L|>\\varepsilon$. A sequ\u00eancia $(x_n)$ converge a $a$, mas $f(x_n)$ n\u00e3o converge a $L$.\u00a0 $\\Box$<\/p>\n Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Sejam $X\\subseteq\\R$, $a\\in X’$\u00a0 e $f:X\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o. As seguintes s\u00e3o equivalentes.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Pelo teorema anterior, tem-se que a afirma\u00e7\u00e3o 1. implica a afirma\u00e7\u00e3o 2.<\/p>\n Assuma afirma\u00e7\u00e3o 2. Afirmamos que existe $L$ tal que se $(x_n)$ \u00e9 uma sequ\u00eancia como na afirma\u00e7\u00e3o 2., ent\u00e3o $f(x_n)\\rightarrow L$ (ou seja, o limite de $(f(x_n))$ n\u00e3o depende da sequ\u00eancia $(x_n)$). De fato, se existessem $(x_n)$ e $(y_n)$ tais que $x_n,y_n\\in X\\setminus\\{a\\}$, $x_n\\rightarrow a$, $y_n\\rightarrow a$, mas $f(x_n)\\rightarrow L$ e $f(y_n)\\rightarrow M$ com $L\\neq M$, ent\u00e3o tomando $(z_n)=(x_1,y_2,x_2,y_2,\\ldots)$. ter\u00edamos que $z_n\\rightarrow a$, mas $f(z_n)$ \u00e9 divergente. Portanto, a afirma\u00e7\u00e3o verdadeira. Neste caso o teorema anterior implica que $\\lim_{x\\rightarrow a}=L$. $\\Box$<\/p>\n Teorema.\u00a0<\/strong>Sejam $f,g:X\\subseteq\\R\\rightarrow\\R$ fun\u00e7\u00f5es, $a\\in X’$. Assuma que existem $M=\\lim_{x\\rightarrow a}f(x)$ e\u00a0$L=\\lim_{x\\rightarrow a}g(x)$. As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o v\u00e1lidas.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Demonstraremos por exemplo a afirma\u00e7\u00e3o 2. O resto \u00e9 exerc\u00edcio. Seja $(x_n)$ uma sequ\u00eancia com $x_n\\in X\\setminus\\{a\\}$ e $x_n\\rightarrow a$. Ent\u00e3o $f(x_n)+g(x_n)\\rightarrow L+M$. Usando o teorema anterior, $\\lim_{x\\rightarrow a}(f(x)\\cdot g(x))=LM$. $\\Box$<\/p>\n Teorema. <\/strong>Sejam $X,Y\\subseteq\\R$, $f:X\\rightarrow Y$, $g:Y\\rightarrow\\R$ fun\u00e7\u00f5es, $a\\in X’$, $b\\in Y\\cap Y’$ e assuma que $\\lim_{x\\rightarrow a}f(x)=b$ e $\\lim_{y\\rightarrow b}g(y)=g(b)$. Ent\u00e3o $\\lim_{x\\rightarrow a}f(g(x))=g(b)$.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong>\u00a0Seja $\\varepsilon>0$. Existe $\\gamma>0$ tal que se $y\\in Y$ com $|y-b|\\leq\\gamma$, ent\u00e3o $|g(y)-g(b)|\\leq\\varepsilon$. Existe $\\delta>0$ tal que se $0<|x-a|<\\delta$, ent\u00e3o $|f(x)-b|\\leq\\gamma$. Ent\u00e3o se $x\\in X$ tal que $0<|x-a|\\leq \\delta$, ent\u00e3o $|f(x)-b|\\leq \\gamma$, e $|g(f(x))-g(b)|\\leq\\varepsilon$. $\\Box$<\/p>\n Seja $X\\subseteq\\R$ e $a\\in\\R$. O ponto $a$ \u00e9 dito ponto de acumula\u00e7\u00e3o \u00e0 direita<\/em> de $X$ se $X\\cap (a,a+\\varepsilon)\\neq\\emptyset$ for all $\\varepsilon>0$. O conjunto de pontos de acumula\u00e7\u00e3o \u00e0 direita de $X$ \u00e9 denotado por $X’_+$.<\/p>\n Sejam $f:X\\rightarrow \\R$, $a\\in X’_+$, e $L\\in\\R$. Diz se que o limite lateral \u00e0 direita<\/em> da fun\u00e7\u00e3o $f$ no ponto $a$ \u00e9 $L$ se para todo $\\varepsilon>0$ existe $\\delta>0$ tal que $|f(x)-L|\\leq \\varepsilon$ sempre que $x\\in X\\cap (a,a+\\delta)$. Escrevemos Define-se de modo an\u00e1logo os conceitos de ponto de acumula\u00e7\u00e3o \u00e0 esquerda e limite lateral \u00e0 esquerda.<\/p>\n Lema.\u00a0<\/strong>Seja $f:X\\rightarrow \\R$ uma fun\u00e7\u00e3o e seja $a\\in X’_+\\cap X’_-$. Ent\u00e3o existe $\\lim_{x\\rightarrow a}f(x)$ se e somente se existem\u00a0$\\lim_{x\\rightarrow a+}f(x)$ e\u00a0$\\lim_{x\\rightarrow a-}f(x)$ e eles s\u00e3o iguais.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Pelas defini\u00e7\u00f5es, se existe o limite, existem os limites laterais e s\u00e3o iguais. Assuma que existem os limites laterais e eles s\u00e3o iguais a $L$. Seja $\\varepsilon>0$. Ent\u00e3o existem $\\delta_1,\\ \\delta_2>0$ tal que se Teorema.\u00a0<\/strong>Seja $f:X\\subseteq\\R\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o mon\u00f3tona e limitada. Se $a\\in X_+$, ent\u00e3o existe o limite lateral $\\lim_{x\\rightarrow a+}f(x)$.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Assuma sem perder generalidade que $f(x)$ \u00e9 n\u00e3o decrescente. Afirmamos que $\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\A}{\\mathcal A}$Seja $X\\subseteq\\R$ um conjunto, $f:X\\rightarrow\\R$ uma fun\u00e7\u00e3o, e $a\\in X’$. Dizemos que o limite da fun\u00e7\u00e3o $f$ no ponto $a$ \u00e9 $L\\in\\R$ se para todo $\\varepsilon>0$ existe $\\delta>0$ tal que $|f(x)-L|\\leq\\varepsilon$ sempre que $0<|x-a|\\leq\\delta$. Escrevemos $$ \\lim_{x\\rightarrow a}f(x)=L. $$ Lema.\u00a0Se existir $\\lim_{x\\rightarrow a}f(x)$, ent\u00e3o ele \u00e9 \u00fanico. Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0Assuma que n\u00e3o e … Continue reading Limite de fun\u00e7\u00f5es<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/205"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=205"}],"version-history":[{"count":10,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/205\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":230,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/205\/revisions\/230"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=205"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=205"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=205"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\n$$
\n|f(x)-L|\\leq \\varepsilon\/3\\quad\\mbox{se}\\quad 0<|x-a|\\leq\\delta_1
\n$$
\ne
\n$$
\n|f(x)-M|\\leq \\varepsilon\/3\\quad\\mbox{se}\\quad 0<|x-a|\\leq\\delta_2.
\n$$
\nSeja $\\delta=\\min\\{\\delta_1,\\delta_2\\}$ e $x\\in X$ tal que $0<|x-a|\\leq\\delta$. Ent\u00e3o
\n\\begin{eqnarray*}
\n\\varepsilon&=&|L-M|=|L-f(x)+f(x)-M|\\\\&\\leq& |L-f(x)|+|f(x)-M|\\leq 2\\varepsilon\/3.
\n\\end{eqnarray*}
\nIsso \u00e9 uma contradi\u00e7\u00e3o, ent\u00e3o $L=M$. $\\Box$<\/p>\n
\n$$
\n\\lim_{x\\rightarrow a}f(x)=\\lim_{x\\rightarrow a}h(x)=L.
\n$$
\nEnt\u00e3o existe $\\lim_{x\\rightarrow a}g(x)$ e \u00e9 igual a $L$.<\/p>\n
\n$$
\n|f(x)-L|\\leq \\varepsilon\\quad\\mbox{se} \\quad 0<|x-a|\\leq\\delta_1
\n$$
\ne
\n$$
\n|h(x)-L|\\leq \\varepsilon\\quad\\mbox{se} \\quad 0<|x-a|\\leq\\delta_2.
\n$$
\nAssuma que $\\delta=\\min\\{\\delta_1,\\delta_2\\}$. Seja $x\\in X$ tal que $0<|x-a|\\leq \\delta$. Tem-se que
\n$$
\nL-\\varepsilon\\leq f(x)\\leq g(x)\\leq h(x)\\leq L+\\varepsilon.
\n$$
\nIsto implica que se\u00a0$0<|x-a|\\leq \\delta$, ent\u00e3o $|g(x)-L|\\leq\\varepsilon$. Existe ent\u00e3o $\\lim_{x\\rightarrow a}f(x)$ e \u00e9 igual a $L$. $\\Box$<\/p>\n
\n$$
\n|f(x)-L|\\leq \\varepsilon\\quad\\mbox{se} \\quad 0<|x-a|\\leq\\delta_1
\n$$
\ne
\n$$
\n|g(x)-M|\\leq \\varepsilon\\quad\\mbox{se} \\quad 0<|x-a|\\leq\\delta_2.
\n$$
\nIsto implica que
\n$$
\nf(x)\\leq L+\\varepsilon<M-\\varepsilon\\leq g(x)
\n$$
\nse $0<|x-a|\\leq \\delta$ onde $\\delta=\\{\\delta_1,\\delta_2\\}$. $\\Box$<\/p>\n\n
\n
\n
Limites laterais<\/h4>\n
\n$$
\n\\lim_{x\\rightarrow a+}f(x)=L.
\n$$<\/p>\n
\n$x\\in X\\cap (a,a+\\delta_1)$, ent\u00e3o $|f(x)-L|\\leq\\varepsilon$ e se $x\\in X\\cap (a-\\delta_2,a)$, ent\u00e3o $|f(x)-L|\\leq\\varepsilon$. Seja $\\delta=\\min\\{\\delta_1,\\delta_2\\}$. Se $x\\in X\\cap(a-\\delta,a+\\delta)\\setminus\\{a\\}$, ent\u00e3o $|f(x)-L|\\leq\\varepsilon$. $\\Box$<\/p>\n
\n$$
\n\\lim_{x\\rightarrow a+}f(x)=\\inf\\{f(x)\\mid x\\in X,\\ a<x\\}.
\n$$
\nDenote o lado direito da \u00faltima igualdade por $L$. Seja $\\varepsilon>0$. Ent\u00e3o $L+\\varepsilon$ n\u00e3o \u00e9 cota inferior de $\\{f(x)\\mid x\\in X,\\ a<x\\}$. Ent\u00e3o existe $\\delta>0$ tal que $a+\\delta\\in X$ e
\n$$
\nL\\leq f(a+\\delta)<L+\\varepsilon.
\n$$
\nPortanto, se $x\\in X\\cap (a,a+\\delta)$ ent\u00e3o
\n$$
\nL-\\varepsilon<L\\leq f(x)\\leq f(a+\\delta)<L+\\varepsilon;
\n$$
\nou seja $|f(x)-L|\\leq\\varepsilon$. $\\Box$<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"