{"id":187,"date":"2019-05-10T11:43:45","date_gmt":"2019-05-10T11:43:45","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=187"},"modified":"2019-05-10T14:51:11","modified_gmt":"2019-05-10T14:51:11","slug":"topologia-da-reta-pontos-de-acumulacao-e-conjuntos-compactos","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/05\/10\/topologia-da-reta-pontos-de-acumulacao-e-conjuntos-compactos\/","title":{"rendered":"Topologia da Reta: Pontos de acumula\u00e7\u00e3o e conjuntos compactos"},"content":{"rendered":"

$\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\A}{\\mathcal A}$Seja $X\\subseteq\\R$ um conjunto e $a\\in\\R$. O ponto $a$ chama-se ponto de acumula\u00e7\u00e3o<\/em> de $X$, se, para todo $\\varepsilon > 0$, tem-se que\u00a0 $X\\cap ((a-\\varepsilon,a+\\varepsilon)\\setminus\\{a\\})\\neq\\emptyset$. O conjunto de pontos de acumula\u00e7\u00e3o de $X$ \u00e9 denotado por $X’$. \u00c9 claro que se $a\\in X’$, ent\u00e3o $a$ \u00e9 um ponto aderente a $X$, mas n\u00e3o \u00e9 verdade que todo ponto aderente \u00e9 um ponto de acumula\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Lema.<\/strong> Seja $X\\subseteq\\R$ e $a\\in\\R$. As seguintes s\u00e3o equivalentes.<\/p>\n

    \n
  1. $a\\in X’$.<\/li>\n
  2. $a=\\lim x_n$ para uma sequ\u00eancia $(x_n)$ com termos $x_n\\in X$ dois a dois distintos.<\/li>\n
  3. Todo intervalo aberto que cont\u00e9m $a$ possui infinitos elementos de $X$.<\/li>\n<\/ol>\n

    Em particular, se $X’\\neq\\emptyset$, ent\u00e3o $X$ \u00e9 infinito.<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o. <\/strong>Assuma 1. Seja $\\varepsilon_1=1$ e seja $x_1\\in X\\cap ((a-\\varepsilon_1,a+\\varepsilon_1)\\setminus\\{a\\})$. Constru\u00edmos recursivamente uma sequ\u00eancia $(x_n)$ tal que<\/p>\n

      \n
    1. $x_n\\in X$, os termos $x_n$ s\u00e3o distintos dois a dois;<\/li>\n
    2. $|a-x_n|\\leq 1\/n$ para todo $n$.<\/li>\n<\/ol>\n

      O termo $x_1$ foi escolhido acima. Assuma que os termos $x_1,\\ldots,x_{n-1}$ foram escolhidos. Seja $0<\\varepsilon_n\\leq 1\/n$ tal que $(a-\\varepsilon_n,a+\\varepsilon_n)$ n\u00e3o cont\u00e9m nenhum termo $x_1,\\ldots,x_{n-1}$. Ent\u00e3o $X\\cap((a-\\varepsilon_n,a+\\varepsilon_n)\\setminus\\{a\\})\\neq\\emptyset$. Seja $x_n$ um elemento de $X\\cap((a-\\varepsilon_n,a+\\varepsilon_n)\\setminus\\{a\\})$. Ent\u00e3o $x_n\\in X$, $|a-x_n|\\leq 1\/n$ e $x_n$ \u00e9 distinto de $x_1,\\ldots,x_{n-1}$. Como $|x_n-a|\\leq 1\/n$, $x_n\\rightarrow a$ e afirma\u00e7\u00e3o 2. \u00e9 provada.<\/p>\n

      Assuma 2. Seja $I$ um intervalo aberto que cont\u00e9m $a$. Ent\u00e3o $a$ \u00e9 ponto interior de $I$ e existe $\\varepsilon > 0$ tal que $a\\in(a-\\varepsilon,a+\\varepsilon)\\subseteq I$. Seja $(x_n)$ uma sequ\u00eancia com termos em $X$ dois a dois distintos e com $\\lim x_n=a$. Existe $N\\in\\N^+$ tal que $x_n\\in\u00a0(a-\\varepsilon,a+\\varepsilon)$ para todo $n\\geq N$. Isto implica que $x_n\\in I$ para todo $n\\geq N$. Consequentemente, o conjunto $\\{x_n,x_{n+1},\\ldots\\}$ \u00e9 infinito e \u00e9 contido em $X\\cap I$. Assim, obtem-se que afirma\u00e7\u00e3o 3. \u00e9 verdadeira.<\/p>\n

      O fato que afirmarma\u00e7\u00e3o 3. implica afirma\u00e7\u00e3o 1. \u00e9 imediato da defini\u00e7\u00e3o de ponto de acumula\u00e7\u00e3o. $\\Box$<\/p>\n

      Lema.<\/strong> Se $X\\subseteq\\R$, ent\u00e3o $\\overline X=X\\cup X’$.<\/p>\n

      Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong> Exerc\u00edcio. $\\Box$<\/p>\n

      Seja $X$ um conjunto. Se $\\mathcal A=\\{A_i\\mid i\\in I\\}$ \u00e9 uma fam\u00edlia de conjuntos ($I$ sendo um conjunto de \u00edndices) tal que $X\\subseteq \\bigcup_{i\\in I} A_i$, ent\u00e3o $\\mathcal A$ \u00e9 dito uma cobertura<\/em> de $X$. Uma cobertura $\\mathcal A$ \u00e9 chamada de cobertura aberta<\/em> se os conjuntos de $\\A$ s\u00e3o abertos. Uma cobertura $\\mathcal B$ \u00e9 dita subcobertura<\/em> de $\\A$ se $\\mathcal B\\subseteq \\A$.<\/p>\n

      Um conjunto $X\\subseteq\\R$ \u00e9 dito compacto,\u00a0<\/em>se toda cobertura aberta de $X$ possui uma subcobertura finita.<\/p>\n

      Exemplo.\u00a0<\/strong>A fam\u00edlia $\\{(a+1\/n,b-1\/n)\\mid n\\in\\N^+\\}$ \u00e9 uma cobertura aberta do intervalo $(a,b)$\u00a0 mas n\u00e3o possui subcobertura finita. Portanto $(a,b)$ n\u00e3o \u00e9 compacto.<\/p>\n

      Exemplo. <\/strong>Seja $X\\subseteq\\R$ um conjunto illimitado.\u00a0A fam\u00edlia $\\{(n,n+2)\\mid n\\in\\Z\\}$ \u00e9 uma cobertura aberta de $X$ que n\u00e3o possui uma subcobertura finita. Portanto $X$ n\u00e3o \u00e9 compacto.<\/p>\n

      Exemplo.\u00a0<\/strong>Se $X\\subseteq\\R$ \u00e9 finito ent\u00e3o $X$ \u00e9 compacto.<\/p>\n

      Exemplo.\u00a0<\/strong>Seja $X=[a,b]$ um intervalo fechado e limitado. Afirmamos que $X$ \u00e9 compacto. Seja $\\{A_i\\mid i\\in I\\}$ uma cobertura aberta de $X$. Seja
      \n$$
      \nY=\\{x\\in X\\mid [a,x]\\mbox{ pode ser coberto por um n\u00famero finito dos $A_i$}\\}.
      \n$$
      \nComo $a\\in Y$, tem-se que $Y\\neq\\emptyset$. Como $Y$ \u00e9 limitado superiormente, existe $c=\\sup Y$. Claramente, $a<c\\leq b$. Afirmamos que $c\\in Y$. Como $c\\in X$, existe $A\\in\\mathcal A$ tal que $c\\in A$. Al\u00e9m disso, $A\\in\\mathcal A$ \u00e9 aberto, ent\u00e3o $c$ \u00e9 ponto interior de $A$ e existe $\\varepsilon>0$ tal que $c-\\varepsilon>a$ e o\u00a0 intervalo $I=(c-\\varepsilon,c+\\varepsilon)$ satisfaz $c\\in I\\subseteq A$. Seja $x=a-\\varepsilon\/2$. Temos que $x\\in Y$ ent\u00e3o existe uma cobertura\u00a0 $\\{A_{i_1},\\ldots,A_{i_k}\\}$ de $[a,x]$. Neste caso\u00a0 \u00a0$\\{A_{i_1},\\ldots,A_{i_k},A\\}$ \u00e9 uma cobertura de $[a,c]$. Portanto $c\\in Y$.<\/p>\n

      Afirmamos agora que $c=b$. Assuma que n\u00e3o. Seja $\\{A_{i_1},\\ldots,A_{i_k}\\}$ uma cobertura de $[a,c]$. Assuma sem perder generalidade que $c\\in A_{i_k}$. Ent\u00e3o $c$\u00a0 \u00e9 ponto interior a $A_{i_k}$ que implica que existe um $\\varepsilon>0$ tal que $c+\\varepsilon\\leq b$ e $(c-\\varepsilon,c+\\varepsilon)\\subseteq A_{i_k}$. Isto implica que a cobertura\u00a0$\\{A_{i_1},\\ldots,A_{i_k}\\}$ \u00e9 uma cobertura de $[a,c+\\varepsilon\/2]$ e $c+\\varepsilon\/2\\in Y$ que contradiz ao fato que $c=\\sup Y$.<\/p>\n

      Os dois exemplos mostram os dois principais impedimentos para um conjunto ser compacto. De fato provaremos que um conjunto \u00e9 compacto se e somente se ele \u00e9 fechado e limitado.<\/p>\n

      Teorema.\u00a0<\/strong>As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o equivalentes para um conjunto $X\\subseteq \\R$.<\/p>\n

        \n
      1. $X$ \u00e9 fechado e limitado.<\/li>\n
      2. $X$ \u00e9 compacto.<\/li>\n
      3. Todo subconjunto infinito de $X$ possui um ponto de acumula\u00e7\u00e3o pertencente a $X$.<\/li>\n
      4. Toda sequ\u00eancia $(x_n)$ tal que $x_n\\in X$ possui uma subsequ\u00eancia $(x_{k_n})$ convergente tal que $\\lim x_{k_n}\\in X$.<\/li>\n<\/ol>\n

        Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong>\u00a01.$\\Rightarrow$ 2. Seja $X$ fechado e limitado. Portanto $A=\\R\\setminus X$ \u00e9 aberto. Como $X$ \u00e9 limitado, $X\\subseteq [a,b]$ com algum intervalo fechado $[a,b]$. Assuma que $\\{A_i\\mid i\\in I\\}$ \u00e9 uma cobertura aberta de $X$. Ent\u00e3o $\\{A_i\\mid i\\in I\\}\\cup\\{A\\}$ \u00e9 uma cobertura de $[a,b]$. Pelo exemplo acima, $[a,b]$ possui uma subcobertura $\\{A_{i_1},\\ldots,A_{i_k}\\}$ que tamb\u00e9m ser\u00e1 uma cobertura que $X$.<\/p>\n

        2.$\\Rightarrow$ 3. Seja $X$ um conjunto compacto e seja $Y$ um subconjunto que n\u00e3o possui ponto de acumula\u00e7\u00e3o em $X$. Se $x\\in X$, ent\u00e3o $x$ n\u00e3o \u00e9 ponto de acumula\u00e7\u00e3o de $Y$. Portanto, existe $\\varepsilon_x>0$ tal que $((x-\\varepsilon_x,x+\\varepsilon_x)\\setminus\\{x\\})\\cap Y=\\emptyset$. Seja $I_x=(x-\\varepsilon_x,x+\\varepsilon_x)$. A fam\u00edlia $\\{I_x\\mid x\\in X\\}$ \u00e9 uma cobertura aberta de $X$. Como $X$ \u00e9 compacto, existem $x_1,\\ldots,x_k\\in X$ tal que $\\{I_{x_1},\\ldots,I_{x_k}\\}$ \u00e9 uma cobertura finita de $X$. No entanto $I_{x_i}\\cap Y\\subseteq\\{x_i\\}$ vale para todo $x_i$. Isto implica que $Y\\subseteq\\{x_1,\\ldots,x_k\\}$ e que $Y$ \u00e9 finito.<\/p>\n

        3.$\\Rightarrow$ 4. \u00c9 \u00f3bvio pelo lema acima.<\/p>\n

        4.$\\Rightarrow$ 1. Assuma que\u00a0 $X$ n\u00e3o \u00e9 limitado superiormente. Ent\u00e3o para todo $n\\in \\N^+$ existe $x_n\\in X$ tal que $x_n\\geq n$. Neste caso, $x_n\\rightarrow\\infty$, and so $x_n$ n\u00e3o possui uma subsequ\u00eancia convergente com limite em $X$. Logo se $X$ n\u00e3o \u00e9 limitado, ent\u00e3o afirma\u00e7\u00e3o 4. n\u00e3o vale para $X$.<\/p>\n

        Assuma agora que $X$ n\u00e3o \u00e9 fechado. Neste caso existe $a\\in \\R\\setminus X$ tal que $a$ \u00e9 ponto aderente a $X$. Existe uma sequ\u00eancia $(x_n)$ convergente tal que $x_n\\in X$ e $\\lim x_n=a$. Todas as subsequ\u00eancias $(x_{k_n})$ de $(x_n)$ s\u00e3o convergentes com $\\lim x_{k_n}=a$. Portanto, se $X$ n\u00e3o \u00e9 fechado, ent\u00e3o afirma\u00e7\u00e3o 4. n\u00e3o vale para $X$. $\\Box$<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

        $\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\A}{\\mathcal A}$Seja $X\\subseteq\\R$ um conjunto e $a\\in\\R$. O ponto $a$ chama-se ponto de acumula\u00e7\u00e3o de $X$, se, para todo $\\varepsilon > 0$, tem-se que\u00a0 $X\\cap ((a-\\varepsilon,a+\\varepsilon)\\setminus\\{a\\})\\neq\\emptyset$. O conjunto de pontos de acumula\u00e7\u00e3o de $X$ \u00e9 denotado por $X’$. \u00c9 claro que se $a\\in X’$, ent\u00e3o $a$ \u00e9 um ponto aderente a $X$, … Continue reading Topologia da Reta: Pontos de acumula\u00e7\u00e3o e conjuntos compactos<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/187"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=187"}],"version-history":[{"count":7,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/187\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":194,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/187\/revisions\/194"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=187"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=187"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=187"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}