{"id":173,"date":"2019-05-08T12:15:18","date_gmt":"2019-05-08T12:15:18","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=173"},"modified":"2019-05-10T11:17:19","modified_gmt":"2019-05-10T11:17:19","slug":"topologia-da-reta-conjuntos-abertos-e-fechados","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/05\/08\/topologia-da-reta-conjuntos-abertos-e-fechados\/","title":{"rendered":"Topologia da reta: Conjuntos abertos e fechados"},"content":{"rendered":"

$\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}$Seja $X\\subseteq\\R$. Um ponto $x\\in X$ \u00e9 dito ponto interior<\/em> de $X$ se existir um intervalo aberto $(a,b)$ tal que $x\\in(a,b)\\subseteq X$. Um conjunto $X\\subseteq\\R$ \u00e9 dito aberto<\/em> se todos os seus pontos s\u00e3o interiores.<\/p>\n

Lemma.\u00a0<\/strong>As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o v\u00e1lidas.<\/p>\n

    \n
  1. $\\emptyset$ e $\\R$ s\u00e3o abertos.<\/li>\n
  2. Se $X$ e $Y$ s\u00e3o abertos ent\u00e3o $X\\cap Y$ \u00e9 aberto.<\/li>\n
  3. Se $I$ \u00e9 um conjunto de \u00edndices e $X_i$ \u00e9 um conjunto aberto para todo $i\\in I$, ent\u00e3o $\\bigcup_{i\\in I}X_i$ \u00e9 aberto.<\/li>\n<\/ol>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong><\/p>\n

      \n
    1. \u00c9 claro.<\/li>\n
    2. Seja $x\\in X\\cap Y$. Como $X$ e $Y$ s\u00e3o abertos, existem intervalos abertos $(a_1,b_1)$ e $(a_2,b_2)$ tal que $x\\in\u00a0 (a_1,b_1)$, $x\\in(a_2,b_2)$, $(a_1,b_1)\\subseteq X$, $(a_2,b_2)\\subseteq Y$. Seja $a=\\max\\{a_1,a_2\\}$ e $b=\\min\\{b_1,b_2\\}$. Ent\u00e3o $x\\in(a,b)$ e $(a,b)\\subseteq X\\cap Y$. Ent\u00e3o $x$ \u00e9 ponto interior de $X\\cap Y$.<\/li>\n
    3. Seja $x\\in\\bigcup_{i\\in I}X_i$. Ent\u00e3o existe $i\\in I$ tal que $x\\in X_i$. Como $X_i$ \u00e9 aberto, existe um intervalo $(a,b)$ tal que $x\\in(a,b)\\subseteq X_i$. Portanto $x\\in(a,b)\\subseteq\\bigcup_i X_i$ e $x$ \u00e9 ponto interior de $\\bigcup_i X_i$. $\\Box$<\/li>\n<\/ol>\n

      Teorema.<\/strong>\u00a0Um conjunto $X$ \u00e9 aberto se e somente se ele \u00e9 uma uni\u00e3o de intervalos abertos dois a dois disjuntos. A decomposi\u00e7\u00e3o de um conjunto aberto para uni\u00e3o de intervalos abertos dois a dois disjuntos \u00e9 \u00fanica.<\/p>\n

      Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>A dire\u00e7\u00e3o $\\Leftarrow$ segue do lema anterior. A outra dire\u00e7\u00e3o e a unicidade n\u00e3o ser\u00e3o demonstradas; veja no livro do Elon.$\\Box$<\/p>\n

      Um conjunto $X\\subseteq \\R$ \u00e9 dito fechado<\/em> se $\\R\\setminus X$ \u00e9 aberto.<\/p>\n

      Lemma.<\/strong><\/p>\n

        \n
      1. $\\emptyset$ e $\\R$ s\u00e3o fechados.<\/li>\n
      2. Se $X$ e $Y$ s\u00e3o fechados, ent\u00e3o $X\\cup Y$ \u00e9 fechado.<\/li>\n
      3. Se $I$ \u00e9 um conjunto de \u00edndices e $X_i$ \u00e9 um conjunto fechado para todo $i\\in I$, ent\u00e3o $\\bigcap_{i\\in I}X_i$ \u00e9 fechado.<\/li>\n<\/ol>\n

        Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Segue do lema anterior.$\\Box$<\/p>\n

        Seja $X\\subseteq \\R$. Um ponto $a\\in\\R$ \u00e9 dito aderente a $X$<\/em> se existe uma sequ\u00eancia $(x_n)$ com $x_n\\in X$ e $\\lim x_n=a$.<\/p>\n

        Lema.<\/strong>\u00a0Seja $X\\subseteq\\R$ e $a\\in \\R$. As seguintes s\u00e3o equivalentes.<\/p>\n

          \n
        1. $a$ \u00e9 aderente a $X$;<\/li>\n
        2. para todo $\\varepsilon>0$, $(a-\\varepsilon,a+\\varepsilon)\\cap X\\neq \\emptyset$.<\/li>\n<\/ol>\n

          Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Assuma que $a$ \u00e9 aderente a $X$ e seja $(x_n)$ \u00e9 uma sequ\u00eancia com $x_n\\in X$ e $x_n\\rightarrow a$. Seja $\\varepsilon>0$. Como $x_n\\rightarrow a$, existe $N\\in\\N^+$ tal que $x_n\\in [a-\\varepsilon\/2,a+\\varepsilon\/2]\\subseteq (a-\\varepsilon,a+\\varepsilon)$ para todo $n\\geq N$. Portanto, $X\\cap\u00a0(a-\\varepsilon,a+\\varepsilon)\\neq\\emptyset$.<\/p>\n

          Assuma agora que afirma\u00e7\u00e3o 2. \u00e9 verdadeira. Para todo $n\\in\\N^+$ escolha um elemento $x_n\\in X$ tal que $x_n\\in (a-1\/n,a+1\/n)\\cap X$. Ent\u00e3o $x_n$ \u00e9 uma sequ\u00eancia de termos em $X$ e $x_n\\rightarrow a$.$\\Box$<\/p>\n

          Corol\u00e1rio.<\/strong>\u00a0Se $X\\subseteq\\R$ \u00e9 um conjunto limitado interiormente [superiormente], ent\u00e3o $\\inf X$ [$\\sup X]$ \u00e9\u00a0 aderente a $X$.<\/p>\n

          Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Seja $a=\\inf X$ e $\\varepsilon>0$. Ent\u00e3o $a+\\varepsilon$ n\u00e3o \u00e9 cota inferior de $X$, portanto existe $x\\in X$ tal que
          \n$$
          \na-\\varepsilon<a\\leq x<a+\\varepsilon.
          \n$$
          \nLogo, $x\\in X\\cap(a-\\varepsilon,a+\\varepsilon)$. Como $\\varepsilon$ \u00e9 arbitr\u00e1rio, obtemos que a afirma\u00e7\u00e3o 2. do lema anterior \u00e9 v\u00e1lida. Portanto $a=\\inf X$ \u00e9 aderente a $X$.$\\Box$<\/p>\n

          Teorema.\u00a0<\/strong>Seja $X\\subseteq\\R$ e $a\\in \\R$. As seguintes s\u00e3o equivalentes.<\/p>\n

            \n
          1. $X$ \u00e9 fechado;<\/li>\n
          2. se $a\\in\\R$ \u00e9 aderente a $X$, ent\u00e3o $a\\in X$.<\/li>\n<\/ol>\n

            Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong> Assuma que $X$ \u00e9 fechado; ou seja, $\\R\\setminus X$ \u00e9 aberto. Seja $a\\in \\R\\setminus X$. Ent\u00e3o $a$ \u00e9 um ponto interior de $\\R\\setminus X$. Existe $\\varepsilon>0$ tal que $a\\in (a-\\varepsilon,a+\\varepsilon)\\subseteq \\R\\setminus X$. Ent\u00e3o se $x\\in X$, temos que $|x-a|\\geq \\varepsilon$ e isto implica que n\u00e3o pode existir uma sequ\u00eancia $(x_n)$ com $x_n\\in X$ e $x_n\\rightarrow a$. Obtivemos que $a$ n\u00e3o \u00e9 aderente a $X$ e que afirma\u00e7\u00e3o 1. implica afirma\u00e7\u00e3o 2.<\/p>\n

            Assuma agora que todo ponto aderente a $X$ pertence a $X$. Seja $a\\in \\R\\setminus X$. Ent\u00e3o $a$ n\u00e3o \u00e9 aderente a $X$. Pelo lema acima, existe $\\varepsilon>0$ tal que $(a-\\varepsilon,a+\\varepsilon)\\cap X=\\emptyset$; ou seja $(a-\\varepsilon,a+a+\\varepsilon)\\subseteq \\R\\setminus X$. Isto significa que $a$ \u00e9 um ponto interior a $\\R\\setminus X$. Como $a\\in\\R\\setminus X$ foi escolhido arbitrariamente, temos que $\\R\\setminus X$ \u00e9 aberto; ou seja, $X$ \u00e9 fechado.$\\Box$<\/p>\n

            Se $X\\subseteq\\R$ ent\u00e3o definimos o fecho<\/em> $\\overline X$ de $X$ como
            \n$$
            \n\\overline X=\\{a\\in \\R\\mid \\mbox{$a$ \u00e9 aderente a $X$}\\}.
            \n$$
            \nSegue-se que $X\\subseteq \\overline X$.<\/p>\n

            Corol\u00e1rio. <\/strong>$X\\subseteq\\R$ \u00e9 fechado se e somente se $\\overline X=X$. O fecho de um conjunto \u00e9 fechado.<\/p>\n

            Demonstra\u00e7\u00e3o. <\/strong>A primeira afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 consequ\u00eancia imediata do lema anterior.\u00a0 Seja $a\\in\\R\\setminus \\overline X$. Ent\u00e3o $a$ n\u00e3o \u00e9 ponto aderente a $X$ e existe $\\varepsilon>0$ tal que $(a-\\varepsilon,a+\\varepsilon)\\cap X=\\emptyset$. Portanto $(a-\\varepsilon,a+\\varepsilon)\\subseteq R\\setminus X$. Al\u00e9m disso, se $x\\in(a-\\varepsilon,a+\\varepsilon)$, ent\u00e3o $x\\not\\in \\overline X$. Logo $(a-\\varepsilon,a+\\varepsilon)\\subseteq \\R\\setminus\\overline X$ e segue que $a$ \u00e9 um ponto interior de $\\R\\setminus \\overline X$. Portanto $\\R\\setminus \\overline X$ \u00e9 aberto que implica que $\\setminus X$ \u00e9 fechado. $\\Box$<\/p>\n

             <\/p>\n

             <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

            $\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}$Seja $X\\subseteq\\R$. Um ponto $x\\in X$ \u00e9 dito ponto interior de $X$ se existir um intervalo aberto $(a,b)$ tal que $x\\in(a,b)\\subseteq X$. Um conjunto $X\\subseteq\\R$ \u00e9 dito aberto se todos os seus pontos s\u00e3o interiores. Lemma.\u00a0As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o v\u00e1lidas. $\\emptyset$ e $\\R$ s\u00e3o abertos. Se $X$ e $Y$ s\u00e3o abertos ent\u00e3o $X\\cap … Continue reading Topologia da reta: Conjuntos abertos e fechados<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/173"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=173"}],"version-history":[{"count":9,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/173\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":185,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/173\/revisions\/185"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=173"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=173"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=173"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}