{"id":138,"date":"2019-05-06T12:52:17","date_gmt":"2019-05-06T12:52:17","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?p=138"},"modified":"2019-05-10T11:07:32","modified_gmt":"2019-05-10T11:07:32","slug":"comutatividade-e-produto-de-series","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/2019\/05\/06\/comutatividade-e-produto-de-series\/","title":{"rendered":"Comutatividade e produto de s\u00e9ries"},"content":{"rendered":"

$\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}$Seja $\\sum a_n$ uma s\u00e9rie. Se $\\pi:\\N\\rightarrow\\N$ \u00e9 uma bije\u00e7\u00e3o e $b_n=a_{\\pi(n)}$ para todo $n\\in\\N$, ent\u00e3o $\\sum b_n$ \u00e9 uma outra s\u00e9rie.A s\u00e9rie $\\sum b_n$ \u00e9 chamada de uma reordena\u00e7\u00e3o<\/em> de $\\sum a_n$ Pode-se perguntar se $\\sum b_n$ \u00e9 convergente ou divergente.<\/p>\n

Uma s\u00e9rie $\\sum a_n$ chama-se comutativamente convergente<\/em> se,\u00a0para toda bije\u00e7\u00e3o $\\pi:\\N\\rightarrow\\N$, a s\u00e9rie $\\sum a_{\\pi(n)}$ \u00e9 convergente e o limite $\\sum a_{\\pi(n)}$ \u00e9 igual ao limite de $\\sum a_n$.<\/p>\n

Seja $\\sum a_n$ uma s\u00e9rie. Defina
\n$$
\np_n=\\left\\{\\begin{array}{ll} a_n & \\mbox{se $a_n\\geq 0$};\\\\
\n0 & \\mbox{no caso contr\u00e1rio.}\\end{array}\\right.$$
\nSimilarmente, seja
\n$$
\nq_n=\\left\\{\\begin{array}{ll} -a_n & \\mbox{se $a_n<0$};\\\\
\n0 & \\mbox{no caso contr\u00e1rio.}\\end{array}\\right.
\n$$
\nTem-se que $a_n=p_n-q_n$ e $|a_n|=p_n+q_n$ e pode-se considerar $\\sum p_n$ e $\\sum q_n$ como s\u00e9ries. Estas s\u00e9ries s\u00e3o chamadas da parte positiva<\/em> e da parte negativa<\/em> de $\\sum a_n$.<\/p>\n

Lemma.\u00a0<\/strong>Seja $\\sum a_n$ uma s\u00e9rie convergente. Ent\u00e3o $\\sum a_n$ \u00e9 absolutamente convergente se e somente se $\\sum p_n$ e $\\sum q_n$ s\u00e3o convergentes.\u00a0 Neste caso $\\sum p_n-\\sum q_n=\\sum a_n$.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Assuma que $\\sum a_n$ \u00e9 absolutamente convergente. Ent\u00e3o a sequ\u00eancia $s_n=|a_0|+\\cdots+|a_n|$ \u00e9 limitada. Por outro lado
\n$$
\n\\sum_{i=0}^n (p_i+q_i)=\\sum_{i=0}^n |a_i|.
\n$$
\nPortanto a sequ\u00eancia $(\\sum_{i=0}^n (p_i+q_i))_n$ \u00e9 limitada. Isto implica que as sequ\u00eancias $\\left(\\sum_{i=0}^n p_i\\right)_n$ e $\\left(\\sum_{i=0}^n q_i\\right)_n$ s\u00e3o tamb\u00e9m limitadas, e as s\u00e9ries $\\sum p_n$ e $\\sum q_n$ s\u00e3o convergentes.<\/p>\n

Deixamos ao leitor verificar que se $\\sum a_n$ \u00e9 condicionalmente convergente ent\u00e3o ambas $\\sum p_n$ e $\\sum q_n$ s\u00e3o divergentes.<\/p>\n

Finalmente, verifiquemos que $\\sum a_n=\\sum p_n-\\sum q_n$ quando $\\sum a_n$ \u00e9 absolutamente convergente. Note que
\n\\begin{eqnarray*}
\n\\sum p_n-\\sum q_n&=&\\lim \\sum_{i=0}^n p_i-\\lim \\sum_{i=0}^n q_i\\\\&=&\\lim \\left(\\sum_{i=0}^n p_i-\\sum_{i=0}^n q_i\\right)\\\\&=&\\lim\\sum_{i=0}^n(p_i-q_i)=\\lim \\sum_{i=0}^n a_i=\\sum a_n.
\n\\end{eqnarray*}
\n$\\Box$<\/p>\n

Teorema.\u00a0<\/strong>\u00a0Se $\\sum a_n$ \u00e9 absolutamente convergente, ent\u00e3o $\\sum a_n$ \u00e9 comutativamente convergente.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Assuma que $\\sum a_n$ \u00e9 absolutamente convergente. Considere primeiro o caso quando $a_n\\geq 0$. Seja $\\pi:\\N\\rightarrow\\N$ uma bije\u00e7\u00e3o e seja $b_n=a_{\\pi(n)}$. Afirmamos que $\\sum a_n=\\sum b_n$. Defina $s_n=a_0+\\cdots+a_n$ e $t_n=b_0+\\cdots +b_n$. Seja $n\\geq 1$ e seja $m$ o maior entre $\\pi(1),\\ldots,\\pi(n)$. Logo $\\{\\pi(1),\\ldots,\\pi(n)\\}\\subseteq \\{1,\\ldots,m\\}$. Portanto
\n$$
\nt_n=\\sum_{i=0}^n b_i=\\sum_{i=0}^n a_{\\pi(i)}\\leq \\sum_{i=0}^m a_i\\leq s_m.
\n$$
\nEste argumento mostra que para todo $n\\in\\N$ existe $m\\in \\N$ tal que $t_n\\leq s_m$. Como $s_n$ \u00e9 uma sequ\u00eancia limitada, $t_n$ tamb\u00e9m \u00e9 limitada, portanto $t_n$ \u00e9 convergente. Isto implica que $\\sum b_n$ \u00e9 convergente e que $\\sum b_n\\leq \\sum a_n$.<\/p>\n

Note que o mesmo argumento implica que para todo $n\\in\\N$ existe um $r\\in\\N$ tal que $s_n\\leq t_r$. Logo $\\sum a_n\\leq \\sum b_n$ e $\\sum a_n=\\sum b_n$.<\/p>\n

Considere agora uma s\u00e9rie geral $\\sum a_n$ e assuma que ela \u00e9 absolutamente convergente. Sejam $\\sum p_n$ e $\\sum q_n$ a parte positiva e a parte negativa. Temos pela discuss\u00e3o acima que $\\sum p_n$ e $\\sum q_n$ s\u00e3o s\u00e9ries convergentes e $\\sum a_n=\\sum p_n-\\sum q_n$. Uma reordena\u00e7\u00e3o $\\sum a_{\\pi(n)}$ de $\\sum a_n$ induz as reordena\u00e7\u00f5es $\\sum p_{\\pi(n)}$ de $\\sum p_n$ e\u00a0 $\\sum q_{\\pi(n)}$ de $\\sum q_n$. Pelo par\u00e1grafo anterior
\n$$
\n\\sum a_{\\pi(n)}=\\sum p_{\\pi(n)}-\\sum q_{\\pi(n)}=\\sum p_n-\\sum q_n=\\sum a_n.
\n$$
\n$\\Box$<\/p>\n

A rec\u00edproca deste teorema est\u00e1 tamb\u00e9m v\u00e1lida.<\/p>\n

Teorema (Riemann)<\/strong>. Seja $\\sum a_n$ uma s\u00e9rie condicionalmente convergente e seja $c\\in\\R\\cup\\{\\infty,-\\infty\\}$. Ent\u00e3o existe uma reordena\u00e7\u00e3o $\\sum a_{\\pi(n)}$ tal que $\\sum a_{\\pi(n)}=c$.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Veja no livro de Elon.<\/p>\n

Dadas duas s\u00e9ries $\\sum_{n\\geq 0} a_n$ e $\\sum_{n\\geq 0} b_n$ definimos o produto<\/em> $(\\sum a_n)(\\sum b_n)$ como a s\u00e9rie $\\sum c_n$ cujos termos s\u00e3o
\n$$
\nc_n=a_0b_n+a_1b_{n-1}+\\cdots+a_{n-1}b_1+a_nb_0=\\sum_{i=0}^na_ib_{n-i}.
\n$$<\/p>\n

Exerc\u00edcio. <\/strong>Sejam $x,\\ y\\in\\R$ e considere as s\u00e9ries $\\sum_{n\\geq 0} x^n\/n!$ e\u00a0$\\sum_{n\\geq 0} y^n\/n!$. Ent\u00e3o
\n$$
\n\\left(\\sum_{n\\geq 0}\\frac {x^n}{n!}\\right)\\left(\\sum_{n\\geq 0}\\frac {y^n}{n!}\\right)=\\sum_{n\\geq 0}\\frac{(x+y)^n}{n!}.
\n$$<\/p>\n

Teorema.\u00a0<\/strong>Sejam $\\sum a_n$ e $\\sum b_n$ duas s\u00e9ries absolutamente convergentes e assuma que $\\sum a_n=a$ e $\\sum b_n=b$. Ent\u00e3o $\\left(\\sum a_n\\right)\\left(\\sum b_n\\right)$ \u00e9 absolutamente convergente e
\n$$
\n\\left(\\sum a_n\\right)\\left(\\sum b_n\\right)=ab.
\n$$<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong> Seja
\n$$
\nx_n=\\sum_{i=0}^n(a_ib_n)+\\sum_{j=0}^{n-1} (a_nb_j).
\n$$
\nNote que
\n$$
\n\\sum_{i=0}^n x_i=\\left(\\sum_{i=0}^n a_i\\right)\\left(\\sum_{j=0}^n b_j\\right).
\n$$
\nPortanto,
\n$$
\n\\lim_{n\\rightarrow\\infty} \\sum_{i=0}^n x_i= \\left(\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\sum_{i=0}^n a_i\\right)\\left(\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\sum_{j=0}^n b_j\\right)=ab.
\n$$
\nLogo $\\sum x_n=ab$.<\/p>\n

Afirmamos que a s\u00e9rie $\\sum x_n$ \u00e9 absolutamente convergente. De fato,
\n$$
\n\\sum_{i=0}^n |x_i|\\leq \\left(\\sum_{i=0}^n |a_i|\\right)\\left(\\sum_{j=0}^n |b_j|\\right).
\n$$
\nComo $\\sum a_n$ e $\\sum b_n$ s\u00e3o absolutamente convergentes, as sequ\u00eancias $\\sum_{i\\leq n}|a_i|$ e $\\sum_{j\\leq n}|b_j|$ s\u00e3o limitadas, e $\\sum_{i\\leq n} |x_i|$ \u00e9 tamb\u00e9m limitada. Portanto $\\sum x_n$ \u00e9 absolutamente convergente.<\/p>\n

Seja $c_n$ o termo geral do produto $\\left(\\sum a_n\\right)\\left(\\sum b_n\\right)$ e\u00a0 observe que a s\u00e9rie\u00a0 $\\sum c_n$ pode ser obtida de $\\sum x_n$ por uma reordena\u00e7\u00e3o dos termos. Como $\\sum x_n$ \u00e9 absolutamente convergente, $\\sum c_n$ \u00e9 absolutamente convergente e $\\sum c_n=\\sum x_n=ab$.<\/p>\n

O estudo de s\u00e9ries trata de somas infinitas. N\u00f3s definimos o valor da soma infinita pelo limite das somas parciais, mas esta n\u00e3o \u00e9 a \u00fanica defini\u00e7\u00e3o sens\u00edvel; veja por exemplo este epis\u00f3dio do canal Mathologer.<\/a><\/p>\n