{"id":994,"date":"2020-10-11T14:13:02","date_gmt":"2020-10-11T14:13:02","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=994"},"modified":"2020-10-12T22:17:53","modified_gmt":"2020-10-12T22:17:53","slug":"extensoes-de-corpos","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/grupos-e-corpos\/extensoes-de-corpos\/","title":{"rendered":"Extens\u00f5es de corpos"},"content":{"rendered":"

$\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}\\newcommand{\\E}{\\mathbb E}\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\C}{\\mathbb C}$Sejam $\\F$ e $\\E$ corpos tais que $\\F\\subseteq\\E$. Dizemos que $\\E$ \u00e9 uma extens\u00e3o<\/em> de $\\F$. Escrevemos que $\\E:\\F$ \u00e9 uma extens\u00e3o.<\/p>\n

Exemplos.\u00a0<\/strong>$\\R$ \u00e9 uma extens\u00e3o de $\\Q$ e $\\C$ \u00e9 uma extens\u00e3o de $\\R$.\u00a0\u00a0Se $f(x)$ \u00e9 um polin\u00f4mio irredut\u00edvel sobre um corpo $\\F$, ent\u00e3o $\\F[x]\/(f(x))$ \u00e9 uma extens\u00e3o $\\F$.<\/p>\n

Assuma que $\\E$ \u00e9 uma extens\u00e3o de $\\F$. Neste caso $\\E$ \u00e9 um espa\u00e7o vetorial sobre $\\F$ e podemos considerar a dimens\u00e3o $\\dim_\\F\\E$. Esta quantidade ser\u00e1 referida como o grau da extens\u00e3o<\/em> de $\\E$ sobre $\\F$.<\/p>\n

Exemplo.\u00a0<\/strong>$\\R:\\Q$ \u00e9 uma extens\u00e3o de grau infinita, o grau da extens\u00e3o $\\C:\\R$ \u00e9 igual a dois e se $f(x)\\in\\F[x]$ for irredut\u00edvel, ent\u00e3o $\\F[x]\/(f(x)):\\F$ \u00e9 uma extens\u00e3o com grau igual ao grau do polin\u00f4mio $f(x)$.<\/p>\n

Uma extens\u00e3o $\\E:\\F$ \u00e9 dita finita<\/em> se $\\dim_\\F\\E$ \u00e9 finita. Se $\\E:\\F$ \u00e9 uma extens\u00e3o e $\\alpha\\in\\E$, ent\u00e3o $\\alpha$ \u00e9 dito alg\u00e9brico<\/em> (sobre $\\F$) se existe um polin\u00f4mio $f(x)\\in\\F[x]$ n\u00e3o nulo tal que $f(\\alpha)=0$. Caso contr\u00e1rio, $\\alpha$ \u00e9 dito transcendental <\/em>(sobre $\\F$). Uma extens\u00e3o $\\E:\\F$ \u00e9 dita alg\u00e9brica\u00a0<\/em>se todos os elementos de $\\E$ s\u00e3o alg\u00e9bricos sobre $\\F$. Caso contr\u00e1rio $\\E$ \u00e9 dito transcendental<\/em> sobre $\\F$.<\/p>\n

Lema.\u00a0<\/strong>Se $\\E:\\F$ \u00e9 uma extens\u00e3o finita, ent\u00e3o ela \u00e9 alg\u00e9brica.<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Seja $\\alpha\\in\\E$. Como $\\dim_\\F\\E$ \u00e9 finita, a sequ\u00eancia $\\alpha^0,\\alpha,\\alpha^2,\\ldots$ \u00e9 linearmente dependente; ou seja existe algum $k\\geq 0$ tal que $\\alpha^0,\\alpha,\\alpha^2,\\ldots,\\alpha^{k}$ s\u00e3o linearmente dependetes. Em outras palavras, existem coeficientes $\\beta_0,\\ldots,\\beta_{k}$ tal que
\n\\[
\n\\beta_0\\alpha^0+\\beta_1\\alpha+\\beta_2\\alpha^2+\\cdots+\\beta_k\\alpha^k=0.
\n\\]
\nIsso implica que $\\alpha$ \u00e9 raiz do polin\u00f4mio $f(x)=\\beta_0+\\beta_1x+\\cdots+\\beta_kx^k$ e portanto $\\alpha$ \u00e9 alg\u00e9brico. Como $\\alpha$ foi escolhido arbitrariamente, $\\E:\\F$ \u00e9 uma extens\u00e3o alg\u00e9brica.<\/p>\n

Se $\\E:\\F$ \u00e9 uma extens\u00e3o e $\\alpha\\in\\E\\setminus\\{0\\}$ \u00e9 alg\u00e9brico, ent\u00e3o o conjunto
\n\\[
\nI_\\alpha=\\{f(x)\\in\\F[x]\\mid f(\\alpha)=0\\}
\n\\]
\n\u00e9 um ideal n\u00e3o trivial. Como os ideais de $\\F[x]$ s\u00e3o principais, existe um \u00fanico polin\u00f4mio m\u00f4nico $m_\\alpha(x)$ tal que $I_\\alpha=(m_\\alpha(x))$. O polin\u00f4mio $m_\\alpha(x)$ \u00e9 chamado de polin\u00f4mio minimal de $\\alpha$ (sobre $\\F$).<\/p>\n

Lema.\u00a0<\/strong>Com as suposi\u00e7\u00f5es do par\u00e1grafo anterior, as seguintes s\u00e3o verdadeiras.<\/p>\n

    \n
  1. O polin\u00f4mio $m_\\alpha(x)$ \u00e9\u00a0 irredut\u00edvel.<\/li>\n
  2. se $f(x)\\in\\F[x]$ \u00e9 irredut\u00edvel e m\u00f4nico tal que $f(\\alpha)=0$, ent\u00e3o $f(x)=m_\\alpha(x)$.<\/li>\n<\/ol>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o. <\/strong>1.\u00a0Assuma que $m_\\alpha(x)=a(x)b(x)$. Tem-se que
    \n\\[
    \n0=m_\\alpha(\\alpha)=a(\\alpha)b(\\alpha),
    \n\\]
    \nque implica que $a(\\alpha)=0$ ou $b(\\alpha)=0$. No primeiro caso $a(x)\\in I_\\alpha$ e ent\u00e3o $a(x)$ \u00e9 um m\u00faltiplo de $m_\\alpha(x)$. Mas no mesmo tempo $a(x)$ \u00e9 um divisor de $m_\\alpha(x)$ que implica que $a(x)$ tem de ser um associado (m\u00faltiplo escalar) de $m_\\alpha(x)$. Se $b(x)=0$, obtemos similarmente que $b(x)$ \u00e9 um associado de $m_\\alpha(x)$. Isso significa que $m_\\alpha(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel.<\/p>\n

    2. Assuma que $f(x)\\in\\F[x]$ irredut\u00edvel e m\u00f4nico tal que $f(\\alpha)=0$. Neste caso $f(x)\\in I_\\alpha$ e $(f(x))\\subseteq I_\\alpha$. Por outro lado, $f(x)$ sendo irredut\u00edvel, $(f(x))$ \u00e9 um ideal maximal. Como $I_\\alpha\\neq \\F[x]$, temos que $(m_\\alpha(x))=I_\\alpha=(f(x))$. Isso implica que $m_\\alpha(x)$ \u00e9 um associado de $f(x)$. Como os dois s\u00e3o m\u00f4nicos, obtemos que $m_\\alpha(x)=f(x)$.<\/p>\n

    Seja $\\E:\\F$ uma extens\u00e3o\u00a0 assuma que $\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_k\\in\\E$. O menor subcorpo de $\\E$ que cont\u00e9m $\\F$ e $\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_k$ \u00e9 chamado do corpo gerado por $\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_k$ <\/em>(sobre $\\F$) e \u00e9 denotado por $\\F(\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_k)$.<\/p>\n

    O corpo $\\F(\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_k)$ coincide com o conjunto de todas as express\u00f5es racionais em $\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_k$ com coeficientes em $\\F$:
    \n\\begin{eqnarray*}
    \n\\F(\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_k)&=&\\left\\{f(\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_k)\/g(\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_k)\\mid\\right.\\\\&& \\left.f(x_1,\\ldots,x_k),g(x_1,\\ldots,x_k)\\in\\F[x_1,\\ldots,x_k]
    \n\\mbox{ e }g(\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_k)\\neq 0\\right\\}.
    \n\\end{eqnarray*}<\/p>\n

    No seguinte lema descrevemos extens\u00f5es da forma $\\F(\\alpha)$ quando $\\alpha$ \u00e9 um elemento alg\u00e9brico em uma extens\u00e3o.<\/p>\n

    Lema.\u00a0<\/strong>Seja $\\E:\\F$ uma extens\u00e3o e $\\alpha\\in\\E\\setminus\\{0\\}$ alg\u00e9brico. Assuma que $m_\\alpha(x)$ tem grau $k$. Ent\u00e3o\u00a0$\\F(\\alpha)\\cong \\F[x]\/(m_\\alpha(x))$ e
    \n\\[
    \n\\F(\\alpha)=\\{\\beta_0+\\beta_1\\alpha+\\cdots+\\beta_{k-1}\\alpha^{k-1}\\mid \\beta_i\\in\\F\\}.
    \n\\].<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Defina $\\varphi:\\F[x]\\rightarrow \\F(\\alpha)$ por $f(x)\\mapsto f(\\alpha)$. Note que $\\varphi$ \u00e9 um homomorfismo de an\u00e9is e que $\\ker\\varphi = I_\\alpha$. Portanto
    \n\\[
    \n\\mbox{Im}\\,\\varphi\\cong \\F[x]\/\\ker\\varphi=\\F[x]\/I_\\alpha=\\F[x]\/(m_\\alpha(x)).
    \n\\]
    \nComo $m_\\alpha(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel, temos que $\\F[x]\/(m_\\alpha(x))$ \u00e9 um corpo e portanto (por isomorfismo) $\\mbox{Im}\\,\\varphi$ \u00e9 tamb\u00e9m um corpo. Al\u00e9m disso, o corpo $\\mbox{Im}\\,\\varphi$ cont\u00e9m $\\F$ e $\\alpha$, e ent\u00e3o $\\mbox{Im}\\,\\varphi=\\F(\\alpha)$. Isso implica que
    \n\\[
    \n\\F(\\alpha)\\cong\\F[x]\/(m_\\alpha(x)).
    \n\\]<\/p>\n

    A segunda afirma\u00e7\u00e3o segue da primeira. De fato, como $\\varphi$ \u00e9 um isomorfismo, ele precisa ser sobrejetivo, e portanto todo elemento de $\\F(\\alpha)$ pode ser escrito como $f(\\alpha)$ onde $f(x)\\in\\F[x]$. Escreva $f(x)=q(x)m_\\alpha(x)+r(x)$\u00a0 onde $r(x)=0$ ou ele \u00e9 um polin\u00f4mio de grau menor que $m_\\alpha(x)$. Ora
    \n\\[
    \nf(\\alpha)=q(\\alpha)m_\\alpha(\\alpha)+r(\\alpha)=r(\\alpha).
    \n\\]
    \nIsso implica que
    \n\\begin{eqnarray*}
    \n\\F(\\alpha)&=&\\{r(\\alpha)\\mid r(x)\\in\\F[x],\\ r(x)=0\\mbox{ ou } \\mbox{grau}\\,r(x)<\\mbox{grau}\\,m_\\alpha(x) \\}\\\\&=&\\{\\beta_0+\\beta_1\\alpha+\\cdots+\\beta_{k-1}\\alpha^{k-1}\\mid \\beta_i\\in\\F\\}.
    \n\\end{eqnarray*}<\/p>\n

    Note que uma extens\u00e3o da forma $\\F(\\alpha)$ chama-se extens\u00e3o simples<\/em>.<\/p>\n

    Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Sejam $\\E_1$ e $\\E_2$ duas extens\u00f5es de um corpo $\\F$ e sejam $\\alpha_1\\in\\E_1$ e $\\alpha_2\\in\\E_2$ tais que $m_{\\alpha_1}(x)=m_{\\alpha_2}(x)$ (sobre $\\F$). Ent\u00e3o existe um isomorfismo $\\varphi:\\F(\\alpha_1)\\to\\F(\\alpha_2)$ tal que $\\varphi(\\beta)=\\beta$ para todo $\\beta\\in\\F$ e $\\varphi(\\alpha_1)=\\alpha_2$. .<\/p>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong>\u00a0 Seja $g(x)= m_{\\alpha_1}(x)=m_{\\alpha_2}(x)$ e sejam $\\varphi_1:\\F[x]\/(g(x))\\to\\F(\\alpha_1)$ e $\\varphi:\\F[x]\/(g(x))\\to\\F(\\alpha_2)$ os isomorfismos dados pelo lema anterior. Ent\u00e3o a composi\u00e7\u00e3o
    \n\\[
    \n\\varphi_2\\varphi_1^{-1}:\\F(\\alpha_1)\\to \\F(\\alpha_2)
    \n\\]
    \n\u00e9 como exigido.<\/p>\n

     <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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