1. Construa corpos finitos com $4$, $8$, e $9$ elementos.\u00a0 Para cada corpo constru\u00eddo escreva as tabelas de adi\u00e7\u00e3o e multiplica\u00e7\u00e3o.<\/p>\n
2. Mostre que todo ideal de $\\mathbb Z$ \u00e9 principal, mas isso n\u00e3o \u00e9 verdade para $\\mathbb Z[x]$.<\/p>\n
3. Seja $\\mathbb F$ um corpo, $f(x)\\in\\mathbb F[x]$ e $\\alpha\\in\\mathbb F$. Mostre que $\\alpha$ \u00e9 uma raiz de $f(x)$ se e somente se $(x-\\alpha)\\mid f(x)$.<\/p>\n
4. Sejam $R$ e $S$ an\u00e9is (comutativos com identidade). Uma aplica\u00e7\u00e3o $\\alpha:R\\to S$ \u00e9 dito homomorfismo se
\n\\begin{eqnarray*}
\n\\alpha(a+b)&=&\\alpha(a)+\\alpha(b);\\\\
\n\\alpha(ab)&=&\\alpha(a)\\alpha(b);\\\\
\n\\alpha(1_R)&=&1_S.
\n\\end{eqnarray*}
\nA pr\u00e9-imagem $\\alpha^{-1}(\\{0\\})$ chama-se o n\u00facleo de $\\alpha$ e \u00e9 denotada por $\\ker \\alpha$. Mostre que $\\ker\\alpha$ \u00e9 um ideal de $R$.<\/p>\n
5. Seja $f(x)\\in\\mathbb F[x]$ e $\\alpha\\in\\mathbb F$. O elemento $\\alpha$ \u00e9 dito ra\u00edz m\u00faltipla de $f(x)$ se $(x-\\alpha)^2\\mid f(x)$. Mostre que $\\alpha$ \u00e9 ra\u00edz m\u00faltipla se e somente se $(x-\\alpha)\\mid \\mbox{mdc}(f(x),f'(x))$ onde $f'(x)$ \u00e9\u00a0 o derivado de $f(x)$.<\/p>\n
6. Seja $\\mathbb F$ um corpo e defina
\n\\[
\nI=\\{\\alpha_0+\\alpha_1 x+\\cdots+\\alpha_n x^n\\mid n\\geq 0,\\ \\sum_i\\alpha_i=0\\}.
\n\\]
\nMostre que $I$ \u00e9 um ideal e ache um gerador de $I$.<\/p>\n
7. Mostre que
\n\\[
\nx^{p-1}-1=(x-1)(x-2)\\cdots(x-p+1)
\n\\]
\nvale em $\\mathbb F_p[x]$.<\/p>\n
8. Determine as fatora\u00e7\u00f5es do polin\u00f4mio $x^4-x^2+1$ em $\\mathbb Q[x]$,\u00a0$\\mathbb R[x]$, e em $\\mathbb C[x]$.<\/p>\n
<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
1. Construa corpos finitos com $4$, $8$, e $9$ elementos.\u00a0 Para cada corpo constru\u00eddo escreva as tabelas de adi\u00e7\u00e3o e multiplica\u00e7\u00e3o. 2. Mostre que todo ideal de $\\mathbb Z$ \u00e9 principal, mas isso n\u00e3o \u00e9 verdade para $\\mathbb Z[x]$. 3. Seja $\\mathbb F$ um corpo, $f(x)\\in\\mathbb F[x]$ e $\\alpha\\in\\mathbb F$. Mostre que $\\alpha$ \u00e9 uma … Continue reading Exerc\u00edcios 9<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":684,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/983"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=983"}],"version-history":[{"count":3,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/983\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":986,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/983\/revisions\/986"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/684"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=983"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}