$\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}$Seja $R$ um conjunto n\u00e3o vazio equipado com duas opera\u00e7\u00f5es $+$ (adi\u00e7\u00e3o) e $\\cdot$ (multiplica\u00e7\u00e3o) que satisfazem as seguintes propriedades para todo $a,b,c\\in R$:<\/p>\n
A estrutura $(R,+,\\cdot)$ chama-se anel comutativo com identidade<\/em>. Como nesta parte da disciplina n\u00f3s n\u00e3o vamos tratar an\u00e9is que n\u00e3o s\u00e3o comutativos com identidade, n\u00f3s vamos chamar a estrutura $R$ simplesmente anel<\/em>.<\/p>\n Em particular, se $(R,+,\\cdot)$ \u00e9 um anel ent\u00e3o $(R,+)$ \u00e9\u00a0 um grupo abeliano.<\/p>\n Um anel $R$ com pelo menos dois elementos \u00e9 dito corpo,\u00a0<\/em>se, al\u00e9m das propriedades 1-8 acima, todo elemento $a\\in R\\setminus\\{0\\}$ possui inverso multiplicativo. Ou seja, se $a\\in R\\setminus\\{0\\}$, ent\u00e3o existe $a^{-1}\\in R$ tal que $aa^{-1}=1$. Isto significa, que se $(R,+,\\cdot)$ \u00e9 um corpo, ent\u00e3o $(R,+)$ e $(R\\setminus\\{0\\},\\cdot)$ s\u00e3o grupos abelianos.<\/p>\n Exerc\u00edcio.<\/strong> Mostre em um anel $R$ que os elementos $0$ e $1$ s\u00e3o \u00fanicos. Mostre, para $a\\in R$ que $-a$ e (caso exista) $a^{-1}$ s\u00e3o \u00fanicos.<\/p>\n Exemplos.<\/strong> Os principais exemplos de an\u00e9is s\u00e3o $\\mathbb Z$, $\\mathbb Z_n$ e $\\F[x]$ (com $\\F$ sendo um corpo). Os principais exemplos de corpos s\u00e3o $\\mathbb Z_p$ (com $p$ primo), $\\mathbb Q$, $\\mathbb R$, e $\\mathbb C$.<\/p>\n Um conjunto n\u00e3o vazio $I$ de um anel \u00e9 dito ideal se<\/p>\n Exemplo.<\/strong> Se $R$ \u00e9 um anel e $a\\in R$, ent\u00e3o Exerc\u00edcio.<\/strong>\u00a0Usando a nota\u00e7\u00e3o do par\u00e1grafo anterior, mostre que $(a)=R$ se e somente se existe $a^{-1}\\in R$.<\/p>\n Se $R$ \u00e9 um anel e $I$ \u00e9 um ideal, ent\u00e3o o quociente Exemplo.\u00a0<\/strong>Caso $R=\\mathbb Z$ e $n\\in \\mathbb Z$, o ideal principal $(n)$ \u00e9 o conjunto $\\{bn\\mid b\\in\\mathbb Z\\}$ dos m\u00faltiplos de $n$. Se $n\\geq 2$, ent\u00e3o o quociente $\\mathbb Z\/(n)$ \u00e9 o anel $\\mathbb Z_n$ das classes residuais.<\/p>\n N\u00f3s vamos trabalhar principalmente com an\u00e9is de polin\u00f4mios e com seus ideais. Eu assumo que voc\u00eas t\u00eam familiaridade com alguns conceitos relacionados com polin\u00f4mios que estudamos na disciplina Fundamentos de \u00c1lgebra:<\/p>\n Seja $\\F$ um corpo e considere o anel $R=\\F[x]$ de polin\u00f4mios sobre $\\F$. Seja $f(x)$ um polin\u00f4mio de $\\F[x]$ com grau maior ou igual a $1$. Pelo exemplo acima,\u00a0 o conjunto Lema.\u00a0<\/strong>Usando a nota\u00e7\u00e3o acima, todo elemento de $\\F[x]\/(f(x))$ pode ser escrito unicamente como $\\overline{g(x)}$ onde $g(x)\\in\\F[x]$ com $g(x)=0$ ou $\\mbox{grau}\\,g(x)<\\mbox{grau}\\,f(x)$. Em particular, pondo $k=\\mbox{grau}\\,f(x)$, Teorema.\u00a0<\/strong>Se $I\\neq\\{0\\}$ \u00e9 um ideal de $\\F[x]$ ent\u00e3o existe um \u00fanico polin\u00f4mio m\u00f4nico $f(x)\\in I$ tal que Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong>\u00a0Seja $I\\subseteq \\F[x]$ um ideal n\u00e3o nulo e seja $f(x)$ um polin\u00f4mio n\u00e3o nulo em $I$ de grau minimal. Multiplicando $f(x)$ com um escalar, podemos assumir que $f(x)$ \u00e9 um polin\u00f4mio m\u00f4nico. Claramente, $(f(x))\\subseteq I$. Seja $g(x)\\in I$ um polin\u00f4mio arbitr\u00e1rio. Pelo Teorema de Divis\u00e3o de Euclides para polin\u00f4mios, existem $q(x),r(x)\\in\\F[x]$ \u00fanicos tais que Para a primeira afirma\u00e7\u00e3o, precisamos mostrar ainda que $f(x)$ \u00e9 \u00fanico. Suponha que existem $f_1(x),f_2(x)\\in I$ ambos m\u00f4nicos tais que $I=(f_1(x))=(f_2(x))$. Neste caso $f_1(x)$ \u00e9 um m\u00faltiplo de $f_2(x)$ e $f_2(x)$ \u00e9 um m\u00faltiplo de $f_1(x)$. Como os dois destes polin\u00f4mios s\u00e3o m\u00f4nicos, segue que $f_1(x)=f_2(x)$. Ent\u00e3o o polin\u00f4mio $f(x)$ no lema \u00e9 \u00fanico.<\/p>\n Mostremos agora que as tr\u00eas afirma\u00e7\u00f5es no lema s\u00e3o equivalentes. Assuma que $I$ \u00e9 maximal. Como $I\\neq\\F[x]$, temos que $f(x)$ n\u00e3o \u00e9 invert\u00edvel; ou seja $\\mbox{grau}\\,f(x)\\geq 1$. Escreva $f(x)=g(x)h(x)$ com $g(x),h(x)\\in\\F[x]$ e $\\mbox{grau}\\,g(x)<\\mbox{grau}\\,f(x)$. Observe que $I=(f(x))\\subseteq (g(x))$. Pela maximalidade de $I=(f(x))$, tem-se que $(g(x))=\\F[x]$ ou $(g(x))=I$. A segunda op\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel pois $f(x)$ \u00e9 um polin\u00f4mio de menor grau em $I$, enquanto na primeira op\u00e7\u00e3o $g(x)$ \u00e9 constante. Obtivemos que $f(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel.<\/p>\n Assuma agora que $f(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel. Seja $g(x)\\in \\F[x]$ tal que $\\overline{g(x)}=g(x)+I\\in \\F[x]\/I$ \u00e9 um elemento n\u00e3o nulo; ou seja $g(x)\\not\\in I$, ou, equivalentemente, $f(x)\\nmid g(x)$. Como $f(x)$ \u00e9 irredut\u00edvel, temos que $\\mbox{mdc}(f(x),g(x))=1$ e existem (pelo Algoritmo de Euclides) $u(x),v(x)\\in\\F[x]$ tais que Assuma agora que $\\F[x]\/I$ \u00e9 um corpo e seja $J$ um ideal de $\\F[x]$ tal que $I\\subset J$. Seja $g(x)\\in J\\setminus I$. Como $\\F[x]\/I$ \u00e9 um corpo, $\\overline{g(x)}$ possui inverso em $\\F[x]\/I$; ou seja, existe $h(x)\\in \\F[x]$ tal que $\\overline{g(x)}\\overline{h(x)}=\\overline 1$, mas isto \u00e9 equivalente ao afirmar que $g(x)h(x)=1+q(x)f(x)$. Como $g(x),f(x)\\in J$, temos que $1\\in J$ e isto implica que $J=\\F[x]$ e que $I$ \u00e9 um ideal maximal.<\/p>\n Exemplo.\u00a0<\/strong>Seja $\\F=\\mathbb R$ e considere o polin\u00f4mio $f(x)=x^2+1\\in\\mathbb R[x]$. Como $f(x)$ \u00e9 um polin\u00f4mio irredut\u00edvel (porque?), temos que o quociente $\\mathbb K=\\mathbb R[x]\/(x^2+1)$ \u00e9 um corpo. Pelas considera\u00e7\u00f5es acima, $\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}$Seja $R$ um conjunto n\u00e3o vazio equipado com duas opera\u00e7\u00f5es $+$ (adi\u00e7\u00e3o) e $\\cdot$ (multiplica\u00e7\u00e3o) que satisfazem as seguintes propriedades para todo $a,b,c\\in R$: $(a+b)+c=a+(b+c)$; $a+b=b+a$; existe elemento neutro $0$ para a adi\u00e7\u00e3o: $0+a=a+0=a$; $a\\in R$ possui negativo; ou seja existe $-a\\in R$ tal que $a+(-a)=0$; $(ab)c=a(bc)$; $ab=ba$; existe elemento neutro $1$ para multiplica\u00e7\u00e3o: … Continue reading An\u00e9is e corpos<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":684,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"templates\/full-width-page.php","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/961"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=961"}],"version-history":[{"count":10,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/961\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":976,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/961\/revisions\/976"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/684"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=961"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}\n
\n\\[
\n(a)=Ra=\\{ba\\mid b\\in R\\}
\n\\]
\n\u00e9 um ideal de $R$. Um ideal desta forma chama-se ideal principal<\/em>.<\/p>\n
\n\\[
\nR\/I=\\{I+r\\mid r\\in R\\}
\n\\]
\npode ser considerado como um anel com as opera\u00e7\u00f5es
\n\\[
\n(I+a)+(I+b)=I+(a+b),\\quad (I+a)(I+b)=I+ab.
\n\\]<\/p>\n\n
\n\\[
\n(f(x))=\\F[x]f(x)=\\{q(x)f(x)\\mid q(x)\\in \\F[x]\\}
\n\\]
\n\u00e9 um ideal de $\\F[x]$.\u00a0Se $g(x)\\in \\F[x]$ ent\u00e3o denote por $\\overline{g(x)}$ o elemento $(f(x))+g(x)$ do quociente $\\F[x]\/(f(x))$. Usando o Teorema de Divis\u00e3o de Euclides para polin\u00f4mios, pode-se escrever que
\n\\[
\ng(x)=q(x)f(x)+r(x)\\quad \\mbox{onde}\\quad r(x)=0\\mbox{ ou }\\mbox{grau}\\,r(x)<\\mbox{grau}\\,f(x),
\n\\]
\nmas isso implica que
\n\\[
\n\\overline{r(x)}=\\overline{g(x)-q(x)f(x)}=\\overline{g(x)}-\\overline{q(x)}\\overline{f(x)}=
\n\\overline{g(x)}.
\n\\]
\nOu seja, $\\overline{g(x)}$ e $\\overline{r(x)}$ s\u00e3o elementos iguais em $\\F[x]\/(f(x))$. Al\u00e9m disso, se $\\mbox{grau}\\,g(x)<\\mbox{grau}\\,f(x)$, ent\u00e3o a pen\u00faltima equa\u00e7\u00e3o destacada implica que $g(x)=r(x)$. Estas considera\u00e7\u00f5es demonstram o seguinte resultado.<\/p>\n
\n\\[
\n\\F[x]\/(f(x))=\\{\\overline{g(x)}\\mid g(x)=0\\mbox{ ou grau}\\,g(x)<k\\}=
\n\\{\\alpha_0+\\alpha_1\\overline x+\\cdots+\\alpha_{k-1}\\overline x^{k-1}\\mid \\alpha_0,\\ldots,\\alpha_{k-1}\\in\\F\\}.
\n\\]
\ne $\\F[x]\/(f(x))$ \u00e9 um espa\u00e7o vetorial de dimens\u00e3o $k$ sobre $\\F$.<\/p>\n
\n\\[
\nI=(f(x))=\\F[x]f(x)=\\{q(x)f(x)\\mid q(x)\\in \\F[x]\\}.
\n\\]
\nAl\u00e9m disso as seguintes s\u00e3o equivalentes:<\/p>\n\n
\n\\[
\ng(x)=f(x)q(x)+r(x)\\quad \\mbox{onde}\\quad r(x)=0\\mbox{ ou }\\mbox{grau}\\,r(x)<\\mbox{grau}\\,f(x).
\n\\]
\nComo $f(x),g(x)\\in I$, vimos que $r(x)\\in I$. Pela minimalidade de $\\mbox{grau}\\,f(x)$ entre os polin\u00f4mios n\u00e3o nulos de $I$, segue obrigatoriamente que $r(x)=0$. Ou seja $g(x)=f(x)q(x)$. Isto mostra que $I\\subseteq (f(x))$ e portanto\u00a0$I=(f(x))$.<\/p>\n
\n\\[
\nu(x)f(x)+v(x)g(x)=1.
\n\\]
\nPassando para o quociente, isto quer dizer que
\n\\[
\n\\overline 1=\\overline{u(x)f(x)+v(x)g(x)}=\\overline{u(x)}\\overline{f(x)}+\\overline{v(x)}\\overline{g(x)}=
\n\\overline{v(x)}\\overline{g(x)}.
\n\\]
\nOu seja, $\\overline{v(x)}$ \u00e9 inverso de $\\overline{g(x)}$. Como $g(x)$ foi escolhido arbitrariamente, sujeito \u00e0 condi\u00e7\u00e3o que $\\overline{g(x)}\\neq 0$, temos que todo elemento n\u00e3o nulo de $\\F[x]\/I$ possui inverso e que $\\F[x]\/I$ \u00e9 um corpo.<\/p>\n
\n\\[
\n\\mathbb K=\\{\\alpha_0+\\alpha_1\\overline x\\mid \\alpha_0,\\alpha_1\\in \\mathbb R\\}.
\n\\]
\nAl\u00e9m disso, temos que $\\overline x^2+1=0$ que implica que $\\overline x^2=-1$. Escrevendo $\\overline x=i$, temos que
\n\\[
\n\\mathbb K=\\{\\alpha_0+\\alpha_1 i\\mid \\alpha_0,\\alpha_1\\in\\mathbb R\\}\\quad\\mbox{onde}\\quad i^2=-1.
\n\\]
\nVemos ent\u00e3o que o corpo quociente $\\mathbb K$ \u00e9 nada mais que o corpo bem conhecido $\\mathbb C$. Obtivemos ent\u00e3o que $\\mathbb C=\\mathbb R[x]\/(x^2+1)$.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"