1. Sejam $G$ um grupo, $H$ e $K$ subgrupos de $G$ tais que $H$ normaliza $K$ ($K^h=K$ para todo $h\\in H$). Mostre que $HK$ \u00e9 um subgrupo de $G$.<\/p>\n
2. Seja $G$ um grupo finito, $p$ um primo e $H$ um subgrupo de $G$ tal que $|H|=p^k$ para algum $k$. Mostre que $H$ est\u00e1 contido em um $p$-subgrupo de Sylow.<\/p>\n
3. Determine os $p$-subgrupos de Sylow dos grupos $S_5$ e $A_5$.<\/p>\n
4. Seja $G$ um grupo simples de ordem 60. Mostre que $G$ \u00e9 isomorfo a $A_6$. [Dica: Demonstre que $G$ tem cinco $2$-subgrupos de Sylow e fa\u00e7a $G$ agir no conjunto destes subgrupos.]<\/p>\n
5. Assuma que $G$ \u00e9 um grupo de ordem $p^n\\cdot m$ onde $p$ \u00e9 um primo, $p>m$ e $\\mbox{mdc}(p,m)=1$. Mostre que $G$ possui um $p$-subgrupo de Sylow normal.<\/p>\n
6. Mostre que todo grupo de ordem 56 possui um subgrupo normal n\u00e3o trivial e pr\u00f3prio.<\/p>\n
7. Mostre que um grupo de ordem $175$ \u00e9 abeliano..<\/p>\n
8. Generalize o argumento no exerc\u00edcio anterior para obter um resultado sobre grupos de ordem $p^2\\cdot q$ onde $p$ e $q$ s\u00e3o primos.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
1. Sejam $G$ um grupo, $H$ e $K$ subgrupos de $G$ tais que $H$ normaliza $K$ ($K^h=K$ para todo $h\\in H$). Mostre que $HK$ \u00e9 um subgrupo de $G$. 2. Seja $G$ um grupo finito, $p$ um primo e $H$ um subgrupo de $G$ tal que $|H|=p^k$ para algum $k$. Mostre que $H$ est\u00e1 contido … Continue reading Exerc\u00edcios 8<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":684,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/947"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=947"}],"version-history":[{"count":3,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/947\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":950,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/947\/revisions\/950"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/684"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=947"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}