Lembremos, para um primo $p$, que um grupo finito chama-se $p$-grupo se $|G|$ \u00e9 uma pot\u00eancia de $p$.<\/p>\n
Lembremos tamb\u00e9m o Teorema de Lagrange que afirma que a ordem de um subgrupo de um grupo finito divide a ordem do grupo. A rec\u00edproca do teorema n\u00e3o \u00e9 v\u00e1lida: por exemplo, o grupo $A_4$ n\u00e3o possui subgrupo de ordem $6$ (verifique).<\/p>\n
Seja $G$ um grupo finito de ordem $n$. Assuma que $p$ \u00e9 um primo e $\\alpha\\geq 0$ \u00e9 um n\u00famero inteiro tal que $p^\\alpha\\mid n$, mas $p^{\\alpha+1}\\nmid n$. Se $H$ \u00e9 um subgrupo de $G$ tal que $|H|=p^\\alpha$, ent\u00e3o $H$ \u00e9 dito $p$-subgrupo de Sylow<\/em> de $G$.<\/p>\n Exemplo.\u00a0<\/strong><\/p>\n Exerc\u00edcio.\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo e sejam $H$ e $K$ subgrupos de $G$ tal que $H$ \u00e9 normalizado por $K$ (ou seja, $H^x=H$ para todo $x\\in K$). Mostre que $HK$ \u00e9 um subgrupo de $G$. Em particular, se $H$ \u00e9 um subgrupo de $G$ e $K$ \u00e9 um subgrupo normal de $G$, ent\u00e3o $HK$ \u00e9 um subgrupo de $G$.<\/p>\n Teorema<\/strong> (Sylow<\/a>)<\/strong>. Seja $G$ um grupo finito de ordem $n$, seja $p$ um primo, e assuma que $p^\\alpha$ (com $\\alpha\\geq 0$) \u00e9 a maior pot\u00eancia de $p$ que divide $n$. As seguintes s\u00e3o verdadeiras.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>1. Demonstramos a afirma\u00e7\u00e3o por indu\u00e7\u00e3o em $n$. Se $n=1$, ou se $n$ \u00e9 um primo, ent\u00e3o o resultado \u00e9 trivialmente verdadeiro. Assuma que a afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira para grupos de ordem menor que $n$. Assuma que $p^\\alpha$ \u00e9 a maior pot\u00eancia de $p$ que divide $n$. Se $G$ possui um subgrupo pr\u00f3prio $H$ tal que $p^\\alpha\\mid |H|$, ent\u00e3o, pela hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o, $H$ possui um $p$-subgrupo de Sylow e o mesmo ser\u00e1 um $p$-subgrupo de Sylow de $G$. Assuma ent\u00e3o que a ordem de nenhum subgrupo $H$ de $G$ \u00e9 divis\u00edvel por $p^\\alpha$. Considere a equa\u00e7\u00e3o das classes de $G$: 2. Seja $C=\\{P^g\\mid g\\in G\\}$ a classe de conjuga\u00e7\u00e3o de $P$ em $G$. Note que os elementos de $C$ s\u00e3o $p$-subgrupos de Sylow de $G$. O grupo $G$ age no conjunto $C$ e o grupo $Q$ tamb\u00e9m age neste conjunto. Pelo Teorema \u00d3rbita-Estabilizador, 3. Seja $S$ o conjunto de $p$-subgrupos de Sylow de $G$ e seja $P\\in S$. Temos que $P$ age em $S$ por conjuga\u00e7\u00e3o e $\\{P\\}$ \u00e9 uma $P$-\u00f3rbita. Afirmamos que $\\{P\\}$ \u00e9 a \u00fanica $p$-\u00f3rbita com cardinalidade uma. Assuma que $\\{R\\}$ \u00e9 uma outra $P$-\u00f3rbita. O racioc\u00ednio no par\u00e1grafo anterior mostra que $RP$ \u00e9 um subgrupo de $G$, e portanto $R=P$. Sejam $S_1,\\ldots,S_m$ as $P$-\u00f3rbitas com cardinalidade maior que um. Temos pelo Teorema \u00d3rbita-Estabilizador que $|S_i|=p^{b_i}$ com $b_i\\geq 1$ para todo $i$ e Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Sejam $G$ um grupo finito,\u00a0 $p$ um primo, e $H$ um $p$-subgrupo de Sylow em $G$ com $|H|=p^\\alpha$.<\/p>\n Exerc\u00edcio.\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo finito, $p$ um primo e $H$ um $p$-subgrupo de $G$. Mostre que $H$ est\u00e1 contido em um $p$-subgrupo de Sylow de $G$. [Dica: Adapte o argumento na demonstra\u00e7\u00e3o da afirma\u00e7\u00e3o 2 no teorema acima.]<\/p>\n Exemplo.\u00a0<\/strong>N\u00e3o existe um grupo simples de ordem 100. De fato, se $G$ \u00e9 um grupo de ordem 100, ent\u00e3o\u00a0 o n\u00famero de $5$-subgrupos de Sylow de $G$ \u00e9 congruente com 1 m\u00f3dulo 5 mas tamb\u00e9m \u00e9 um divisor de $100\/25=4$. Portanto, $G$ possui \u00fanico $5$-subgrupo de Sylow que precisa ser normal e assim $G$ n\u00e3o pode ser um grupo simples.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Lembremos, para um primo $p$, que um grupo finito chama-se $p$-grupo se $|G|$ \u00e9 uma pot\u00eancia de $p$. Lembremos tamb\u00e9m o Teorema de Lagrange que afirma que a ordem de um subgrupo de um grupo finito divide a ordem do grupo. A rec\u00edproca do teorema n\u00e3o \u00e9 v\u00e1lida: por exemplo, o grupo $A_4$ n\u00e3o possui … Continue reading Os Teoremas de Sylow<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":684,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/938"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=938"}],"version-history":[{"count":5,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/938\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":943,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/938\/revisions\/943"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/684"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=938"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}\n
\n\\[
\n|G|=p^{n(n-1)\/2}\\prod_{i=1}^n(p^i-1).
\n\\]
\nPortanto um $p$-subgrupo de Sylow de $G$ tem cardinalidade $p^{n(n-1)\/2}$. Considere o subgrupo $U$ de matrizes triangulares superiores com uns no diagonal. Como $|U|=p^{n(n-1)\/2}$, temos que $U$ \u00e9 um $p$-subgrupo de Sylow de $G$. O mesmo $U$ \u00e9 um $p$-subgrupo de Sylow de $SL(n,p)$.<\/li>\n<\/ol>\n\n
\n\\[
\n|G|=|Z(G)|+|C_1|+\\cdots+|C_k|
\n\\]
\nonde $C_1,\\ldots,C_k$ s\u00e3o as classes de conjuga\u00e7\u00e3o de $G$ com cardinalidade maior que um. Como $G$ n\u00e3o possui subgrupo pr\u00f3prio com ordem divis\u00edvel por $p^\\alpha$, o centralizador $C_G(g)$ de um elemento $g\\in C_i$ satisfaz $p^\\alpha\\nmid |C_G(g)|$; ou seja $p\\mid |C_i|$ para todo $i\\geq 1$. Como os dois lados da equa\u00e7\u00e3o das classes s\u00e3o divis\u00edveis por $p$, temos que $p\\mid |Z(G)|$. Por um exerc\u00edcio anterior, $Z(G)$, sendo um grupo abeliano, possui um elemento $g$ de ordem $p$. Seja $H=\\left<g\\right>$. Ent\u00e3o $H\\unlhd G$. Ponha $Q=G\/H$ e observe que a maior pot\u00eancia de $p$ que divide $|Q|$ \u00e9 $p^{n-1}$. Portanto, pela hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o, $Q$ possui um subgrupo $X$ de ordem $p^{\\alpha-1}$. Seja
\n\\[
\nY=\\{y\\in G\\mid Hy\\in X\\}.
\n\\]
\n\u00c9 f\u00e1cil verificar que $Y$ \u00e9 um subgrupo de $G$ que cont\u00e9m $X$ e que $X=Y\/H$. Portanto $|Y|=p^\\alpha$; ou seja, $Y$ \u00e9 um $p$-subgrupo de Sylow de $G$.<\/p>\n
\n\\[
\n|C|=|G:N_G(P)|.
\n\\]
\nComo $P\\leq N_G(P)$, temos que $p^\\alpha\\mid |N_G(P)|$. Em particular $p\\nmid |C|$. Assuma que $C_1,\\ldots,C_r$ s\u00e3o as $Q$-\u00f3rbitas em $C$. Aplicando de novo o Teorema \u00d3rbita-Estabilizador, temos que $|C_i|=p^{a_i}$ com $a_i\\geq 0$ e temos que
\n\\[
\n|C|=p^{a_1}+\\cdots+p^{a_r}.
\n\\]
\nComo $p\\nmid |C|$, obtemos que existe algum $i$ tal que $a_i=0$; ou seja, existe uma $Q$-\u00f3rbita tal que $|C_i|=1$. Suponha que $C_i=\\{R\\}$. Ent\u00e3o $R$ \u00e9 um $p$-subgrupo de Sylow tal que $R$ \u00e9 normalizado por $Q$. Pelo exerc\u00edcio antes do teorema, $RQ$ \u00e9 um subgrupo de $G$ de ordem $|R||Q|\/|R\\cap Q|=p^{2\\alpha}\/|R\\cap Q|$. Como $p^\\alpha$ \u00e9\u00a0 a maior pot\u00eancia que divide a ordem de $G$, o Teorema de Lagrange implica que $R=.Q$. Ou seja $Q$ \u00e9 igual um conjugado de $P$.<\/p>\n
\n\\[
\n|S|=1+|S_1|+\\cdots+|S_m|=1+p^{b_1}+\\cdots+p^{b_m}\\equiv 1\\pmod p.
\n\\]<\/p>\n\n
\n\\[
\nn_p\\equiv 1\\pmod p,\\quad n_p\\mid |G|\/p^\\alpha.
\n\\]<\/li>\n<\/ol>\n