{"id":930,"date":"2020-09-16T18:56:26","date_gmt":"2020-09-16T18:56:26","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=930"},"modified":"2022-05-30T07:36:48","modified_gmt":"2022-05-30T10:36:48","slug":"o-pequeno-teorema-de-fermat","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-a\/o-pequeno-teorema-de-fermat\/","title":{"rendered":"O Pequeno Teorema de Fermat e o Teorema de Euler"},"content":{"rendered":"
\n
\nSeja $p$ um n\u00famero primo positivo e $a,b\\in\\Z$. Tem-se que
\n\\[
\n(a+b)^p\\equiv a^p+b^p\\pmod p.
\n\\]\n<\/div>\n
\nExerc\u00edcio.\n<\/div>\n

Note que o lema acima pode ser expresso na estrutura $\\Z_p$ (onde $p$ \u00e9 primo). De fato, o lema \u00e9 equivalente a afirmar que
\n\\[
\n(\\bar a+\\bar b)^p=\\bar a^p+\\bar b^p\\quad\\mbox{para todo}\\quad \\bar a,\\bar b\\in\\Z_p.
\n\\]
\nEste mesmo lema \u00e9 conhecido tamb\u00e9m como o Sonho do Calouro<\/a>.<\/p>\n

(Pequeno Teorema de Fermat).\u00a0
\nSe $p$ \u00e9 um primo positivo e $a\\in \\Z$, ent\u00e3o
\n\\begin{equation}\\label{eq:cong}
\na^p\\equiv a\\pmod p.
\n\\end{equation}
\nAl\u00e9m disso, se $p\\nmid a$, ent\u00e3o
\n\\[
\na^{p-1}\\equiv 1\\pmod p.
\n\\]\n<\/div>\n
\nExiste um \u00fanico inteiro $a_0\\in\\{0,\\ldots,p-1\\}$ tal que $a\\equiv a_0\\pmod p$ e $a^p\\equiv a_0^p\\pmod p$. Possivelmente trocando $a$ com $a_0$, podemos assumir que $a\\in\\{0,\\ldots,p-1\\}$. Se $a=0$, ent\u00e3o a afirma\u00e7\u00e3o ser\u00e1 verdadeira trivialmente. Se $a>0$ \u00e9 um n\u00famero positivo,\u00a0 podemos escrever que $a=1+\\cdots+1$ ($a$ vezes). Pelo lema anterior,
\n\\[
\na^p=(1+\\cdots+1)^p\\equiv 1^p+\\cdots+1^p=1+\\cdots +1=a\\pmod p.
\n\\]
\nIsso mostra que a primeira afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 v\u00e1lida.<\/p>\n

Assuma agora que $p\\nmid a$. Como no par\u00e1grafo anterior, podemos assumir sem perder generalidade que $a\\in\\{1,\\ldots,p-1\\}$ (note que $a\\neq 0$ pela condi\u00e7\u00e3o que $p\\nmid a$). Em particular, $a$ \u00e9 invert\u00edvel m\u00f3dulo $p$; ou seja existe $b\\in\\{1,\\ldots,p-1\\}$ tal que $ab\\equiv 1\\pmod p$. Multiplicando a congru\u00eancia $\\bar a^p\\equiv a\\pmod p$ por $b$, obtemos que
\n\\[
\na^{p-1}\\equiv (ba)a^{p-1}=ba^p\\equiv ba\\equiv 1\\pmod p.
\n\\]\n<\/p><\/div>\n

\nSeja $p\\in\\N$ primo e $a\\in\\Z$ tal que $p\\nmid a$. Ent\u00e3o $a^{p-2}$ \u00e9 um inverso de $a$ m\u00f3dulo $p$. Equivalentemente
\n\\[
\n\\overline a^{-1}=\\overline a^{p-2}.
\n\\]\n<\/div>\n
\nO Pequeno Teorema de Fermat implica que
\n\\[
\n1\\equiv a^{p-1}=a\\cdot a^{p-2}.
\n\\]
\nOra a defini\u00e7\u00e3o do inverso modular implica que $a^{p-2}$ \u00e9 um inverso de $a$ m\u00f3dulo $p$. A segunda afirma\u00e7\u00e3o segue imediatamente da primeira.\n<\/div>\n
\nSeja $n\\in\\N$ e seja
\n\\[
\n\\Z_n^*=\\{\\overline a\\in\\Z_n\\mid\\mbox{$\\overline a$ \u00e9 invert\u00edvel}\\}.
\n\\]
\nDemonstre as seguintes propriedades de $\\Z_n^*$:<\/p>\n