{"id":909,"date":"2020-09-11T14:27:13","date_gmt":"2020-09-11T14:27:13","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=909"},"modified":"2022-05-19T07:32:43","modified_gmt":"2022-05-19T10:32:43","slug":"divisao-com-classes-residuais","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-a\/divisao-com-classes-residuais\/","title":{"rendered":"Divis\u00e3o modular"},"content":{"rendered":"
\n$\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\cl}[1]{\\overline{#1}}$Seja $n\\geq 2$ um n\u00famero natural fixo. Lembre que $\\Z_n$ denota o conjunto das classes residuais m\u00f3dulo $n$ e n\u00f3s definimos na aula anterior as opera\u00e7\u00f5es $+$ e $\\cdot$ entre elementos de $\\Z_n$. Se $a,b\\in\\Z$, ent\u00e3o $\\cl a,\\cl b\\in\\Z_n$ e as express\u00f5es
\n\\[
\nn\\mid (a-b),\\quad a\\equiv b\\pmod n, \\quad \\cl a=\\cl
\nb
\n\\]
\nt\u00eam o mesmo significado.<\/p>\n

Considere por exemplo o caso $n=10$ e seja $\\cl a=\\cl 3\\in\\Z_{10}$. Observando que $\\cl 3\\cdot \\cl 7=\\cl 1$, podemos concluir que o elemento $\\cl a=\\cl 3$ possui inverso multiplicativo<\/em> em $\\Z_{10}$. Neste caso escrevemos que $\\cl 3^{-1}=\\cl 7$ e $\\cl 7^{-1}=\\cl 3$. Ser\u00e1 que todo elemento n\u00e3o nulo possui tal inverso multiplicativo? Considere por exemplo o elemento $\\cl a=\\cl 2\\in\\Z_{10}$. Se existisse $\\cl b\\in\\Z_{10}$ tal que $\\cl 2\\cdot \\cl b=\\cl 1$, ent\u00e3o isso significaria que
\n\\[
\n10\\mid (2b-1).
\n\\]
\nNo entanto \u00e9 f\u00e1cil observar que esta divisibilidade n\u00e3o pode ser poss\u00edvel para nenhum $b$, pois $2b$ \u00e9 um n\u00famero par, que diz que $2b-1$ \u00e9 \u00edmpar, e portanto n\u00e3o pode ser divis\u00edvel por $10$.<\/p>\n

\nConsidere a congru\u00eancia
\n\\[
\n3\\cdot x\\equiv 8\\pmod{10}.
\n\\]
\nEsta congru\u00eancia \u00e9 equivalente \u00e0 seguinte equa\u00e7\u00e3o em $\\Z_{10}$:
\n\\[
\n\\cl 3\\cl x=\\cl 8.
\n\\]
\nSabe-se que $\\cl 3\\cdot\\cl 7=\\cl 1$ em $\\Z_{10}$ portanto esta equa\u00e7\u00e3o pode ser resolvido por multiplicar os dois lados da equa\u00e7\u00e3o por $\\cl 7$:
\n\\[
\n\\cl x=\\cl 7\\cdot\\cl 8=\\cl 6.
\n\\]
\nObtemos ent\u00e3o que as solu\u00e7\u00f5es da congru\u00eancia original s\u00e3o n\u00fameros inteiros $x\\in\\Z$ tal que $\\cl x=\\cl 6$; ou seja $x\\equiv 2\\pmod {10}$.\n<\/div>\n
Seja $n\\geq 2$ um n\u00famero natural e seja $a\\in\\Z$. A classe residual $\\cl a\\in\\Z_n$ possui inverso se e somente se $\\mbox{mdc}(a,n)=1$.\n<\/div>\n
\nAssuma primeiro que $\\mbox{mdc}(a,n)=1$. Pelo algoritmo de Euclides obtemos que existem $u,v\\in\\Z$ tais que
\n\\[
\nua+vn=1.
\n\\]
\nTraduzindo esta equa\u00e7\u00e3o para a estrutura $\\Z_n$, isto quer dizer que
\n\\[
\n\\cl 1 =\\cl{ua+vb}=\\cl u\\cl a+\\cl v\\cl n=\\cl u\\cl a+\\cl v\\cl 0=\\cl u\\cdot \\cl a.
\n\\]
\nOu seja, $\\cl u$ \u00e9 inverso de $\\cl a$ em $\\Z_n$.<\/p>\n

Por outro lado, se existe $b\\in\\Z$ tal que $\\cl b\\cl a=\\cl 1$, ent\u00e3o $n\\mid (ab- 1)$ que implica que existe $q\\in \\Z$ tal que
\n\\[
\nab-1=qn.
\n\\]
\nIsto \u00e9 equivalente a equa\u00e7\u00e3o diofantina
\n\\[
\nab-qn=1
\n\\]
\nnas vari\u00e1veis $b$ e $q$. A exist\u00eancia do inverso $\\cl b$ implica que esta equa\u00e7\u00e3o possui solu\u00e7\u00f5es e segue pelo resultado na aula anterior,que $\\mbox{mdc}(a,n)=1$.\n<\/p><\/div>\n

Note que a demonstra\u00e7\u00e3o acima \u00e9 construtiva no sentido que mostra como achar o inverso de $\\cl a\\in \\Z_n$ caso $\\mbox{mdc}(a,n)=1$.<\/p>\n

Denotemos por $U(n)$ o conjunto das classes residuais invert\u00edveis em $\\Z_n$. Pelo resultado anterior
\n\\begin{eqnarray*}
\nU(n)&=&\\{\\cl a\\mid a\\in\\{0,\\ldots,n-1\\},\\ \\mbox{$\\cl a$ \u00e9 invert\u00edvel em $\\Z_n$}\\}\\\\&=&
\n\\{\\cl a\\mid\u00a0a\\in\\{0,\\ldots,n-1\\}\\mbox{ com mdc}(a,b)=1\\}.
\n\\end{eqnarray*}<\/p>\n

As seguintes propriedades s\u00e3o v\u00e1lidas em $\\Z_n$ para todo $n\\geq 2$.<\/p>\n
    \n
  1. $\\cl 0\\not\\in U(n)$;<\/li>\n
  2. $\\cl 1\\in U(n)$;<\/li>\n
  3. $\\cl{-1}=\\cl{n-1}\\in U(n)$;<\/li>\n
  4. se $\\cl a,\\cl b\\in U(n)$, ent\u00e3o $\\cl a\\cdot\\cl b\\in U(n)$;<\/li>\n
  5. se\u00a0$\\cl a\\in U(n)$, ent\u00e3o $(\\cl a)^{-1}\\in U(n)$;<\/li>\n
  6. se $n$ \u00e9 um primo, ent\u00e3o todo elemento n\u00e3o nulo de $U(n)$ \u00e9 invert\u00edvel.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    Exerc\u00edcio.<\/div>\n

    Um elemento $\\cl a\\in\\Z_n$ chama-se quadrado (ou \u00e0s vezes res\u00edduo quadr\u00e1tico) se existe $\\cl b\\in\\Z_n$ tal que $\\cl b^2=\\cl a$.<\/p>\n

    Calculando os quadrados dos elementos de $\\Z_{11}$, obtemos que os quadrados de $\\Z_{11}$ s\u00e3o $\\{\\cl 0, \\cl 1, \\cl 3, \\cl 4, \\cl 5, \\cl 9\\}$.\u00a0 Considere a congru\u00eancia
    \n\\[
    \n3x^2\\equiv 7\\pmod {11}.
    \n\\]
    \nEsta congru\u00eancia pode ser escrita como a equa\u00e7\u00e3o em $\\Z_{11}$
    \n\\[
    \n\\cl 3\\cl x^2=\\cl 7.
    \n\\]
    \nTemos que $\\cl 3^{-1}=4$ e multiplicando os dois lados da equa\u00e7\u00e3o por $\\cl 4$ obtemos que
    \n\\[
    \n\\cl x^2=\\cl 6.
    \n\\]
    \nComo $\\cl 6$ n\u00e3o \u00e9 um quadrado em $\\Z_{11}$, obtemos que esta equa\u00e7\u00e3o n\u00e3o possui solu\u00e7\u00e3o e a congru\u00eancia original tamb\u00e9m n\u00e3o possui solu\u00e7\u00e3o.\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    $\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\cl}[1]{\\overline{#1}}$Seja $n\\geq 2$ um n\u00famero natural fixo. Lembre que $\\Z_n$ denota o conjunto das classes residuais m\u00f3dulo $n$ e n\u00f3s definimos na aula anterior as opera\u00e7\u00f5es $+$ e $\\cdot$ entre elementos de $\\Z_n$. Se $a,b\\in\\Z$, ent\u00e3o $\\cl a,\\cl b\\in\\Z_n$ e as express\u00f5es \\[ n\\mid (a-b),\\quad a\\equiv b\\pmod n, \\quad \\cl a=\\cl b \\] t\u00eam … Continue reading Divis\u00e3o modular<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":706,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/909"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=909"}],"version-history":[{"count":9,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/909\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1785,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/909\/revisions\/1785"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/706"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=909"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}