$\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}$Seja $n$ um n\u00famero natural e considere o grupo sim\u00e9trico $S_n$. O grupo $S_n$ age sobre o a conjunto $\\Q[x_1,\\ldots,x_n]$ de polin\u00f4mios permutando as vari\u00e1veis. Considere o polin\u00f4mio
\n\\[
\n\\Psi=\\Psi(x_1,\\ldots,x_n)=\\prod_{1\\leq i<j\\leq n} (x_i-x_j).
\n\\]
\nSe $\\sigma\\in S_n$, ent\u00e3o $\\Psi \\sigma\\in\\{\\Psi,-\\Psi\\}$; ou seja, a \u00f3rbita de $\\Psi$ cont\u00e9m apenas dois elementos, nomeadamente $\\Psi$ e $-\\Psi$.<\/p>\n
Uma permuta\u00e7\u00e3o $\\sigma\\in S_n$ \u00e9 dita par<\/em> se $\\Psi\\sigma=\\Psi$; caso contr\u00e1rio ela \u00e9 dita \u00edmpar<\/em>. O conjunto $A_n$ das permuta\u00e7\u00f5es pares \u00e9 o estabilizador de $\\Psi$ pela a\u00e7\u00e3o de $S_n$ sobre $\\Q[x_1,\\ldots,x_n]$ e portanto \u00e9 um subgrupo de $S_n$. Este grupo chama-se grupo alternado<\/em> de grau $n$. Al\u00e9m disso, Exerc\u00edcio.\u00a0<\/strong>Mostre, para\u00a0 $\\sigma\\in S_n$, que $\\sigma\\in A_n$ se e somente se As seguintes afirma\u00e7\u00f5es nos ajudam determinar se uma permuta\u00e7\u00e3o particular \u00e9 par ou \u00edmpar.<\/p>\n Lema.\u00a0<\/strong>Seja $n$ um n\u00famero natural com $n\\geq 3$ e sejam $\\sigma,\\pi$ elementos de $S_n$.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o. <\/strong>Afirma\u00e7\u00f5es 1-3 s\u00e3o consequ\u00eancias imediatas da defini\u00e7\u00e3o.<\/p>\n 4. Como $A_n$ \u00e9 normal em $S_n$, ele \u00e9 fechado para conjuga\u00e7\u00e3o e \u00e9 suficiente mostrar esta afirma\u00e7\u00e3o para $\\sigma=(1,2)$. Note que 5. Como no item anterior, basta provar esta afirma\u00e7\u00e3o para o ciclo $\\sigma=(1,2,\\ldots,m)$. Note que Um grupo $G\\neq\\{1\\}$ chama-se simples<\/em> se $G$ n\u00e3o possui subgrupo normal al\u00e9m dos subgrupos $\\{1\\}$ e $G$.<\/p>\n Exerc\u00edcio.<\/strong>\u00a0Seja $G$ um grupo abeliano. Mostre que $G$ \u00e9 simples se e somente se $G$ \u00e9 um grupo c\u00edclico de ordem prima.<\/p>\n Teorema.\u00a0<\/strong>Se $n=3$ ou se $n\\geq 5$, ent\u00e3o o grupo alternado $A_n$ \u00e9 simples.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o. <\/strong>Note que\u00a0$A_3=\\left<(1,2,3)\\right>$ ent\u00e3o $A_3$ \u00e9 um grupo c\u00edclico de ordem tr\u00eas, portanto simples.<\/p>\n O grupo $\\left<(1,2)(3,4),(1,3)(2,4)\\right>$ \u00e9 normal em $A_4$, ent\u00e3o $A_4$ n\u00e3o \u00e9 simples.<\/p>\n N\u00f3s vamos provar a afirma\u00e7\u00e3o do teorema apenas quando $n=5$. O caso $n\\geq 6$ pode ser feito por indu\u00e7\u00e3o<\/a>, mas n\u00f3s n\u00e3o vamos fazer isso nesta disciplina.<\/p>\n Primeiro, determinemos as classes de conjuga\u00e7\u00e3o de $A_5$. Lembre que as classes de conjuga\u00e7\u00e3o de $S_5$ foram determinadas na aula anterior. Para determinar as classes de $A_5$, vamos primeiro fazer as seguintes observa\u00e7\u00f5es. Seja $C$ uma classe de conjuga\u00e7\u00e3o de $S_5$ e seja $\\sigma\\in C$.<\/p>\n Agora usando a tabela das classes na aula anterior e estas observa\u00e7\u00f5es, \u00e9 poss\u00edvel obter uma tabela das classes de conjuga\u00e7\u00e3o de $A_5$.<\/p>\n\n
\n\\[
\n|S_n:A_n|=|\\Psi S_n|=2
\n\\]
\ne em particular $A_n$ \u00e9 um subgrupo normal em $S_n$. Note que
\n\\[
\n|A_n|=|S_n|\/2=n!\/2.
\n\\]<\/p>\n
\n\\[
\n|\\{(i,j)\\mid 1\\leq i<j\\leq n \\mbox{ tais que }\\ i\\sigma > j\\sigma\\}|
\n\\]
\n\u00e9 um n\u00famero par.<\/p>\n\n
\n\\begin{eqnarray*}
\n\\Psi\\sigma&=&\\left[\\prod_{1\\leq i<j\\leq n}(x_i-x_j)\\right]\\sigma\\\\&=&\\left[(x_1-x_2)\\prod_{i=3}^n(x_1-x_i)\\prod_{i=3}^n(x_2-x_i)\\prod_{3\\leq i<j\\leq n}(x_i-x_j)\\right]\\sigma\\\\&=&
\n(x_2-x_1)\\prod_{i=3}^n(x_2-x_i)\\prod_{i=3}^n(x_1-x_i)\\prod_{3\\leq i<j\\leq n}(x_i-x_j)\\\\
\n&=&-\\Psi.
\n\\end{eqnarray*}<\/p>\n
\n\\[
\n\\sigma=(1,2,\\ldots,m)=(1,2)(1,3)\\cdots(1,m).
\n\\]
\nPortanto $\\sigma=(1,2,\\ldots,m)$ \u00e9 um produto de $m-1$ ciclos de comprimento 2. Combinando os itens anteriores, temos que $\\sigma\\in A_n$ se e somente se $m$ \u00e9 \u00edmpar.<\/p>\n\n
\n\\[
\nC_{A_5}(\\sigma)=A_5\\cap C_{S_5}(\\sigma).
\n\\]<\/li>\n
\n\\[
\n|\\sigma^{A_5}|=|A_5:C_{A_5}(\\sigma)|=|S_5:C_{S_5}(\\sigma)|\/2=|\\sigma^{S_5}|\/2.
\n\\]
\nOu seja, neste caso, a $S_5$-classe $C$ \u00e9 uma uni\u00e3o de duas $A_5$-classes $C’$ e $C”$.<\/li>\n
\n\\[
\n|S_5|=\\frac{|C_{S_5}(\\sigma)||A_5|}{|C_{S_5}(\\sigma)\\cap A_5|}=\\frac{|C_{S_5}(\\sigma)||A_5|}{|C_{A_5}(\\sigma)|}
\n\\]
\ne isto implica que $|C_{A_5}(\\sigma)|=|C_{S_5}(\\sigma)|\/2$. Portanto
\n\\[
\n|\\sigma^{A_5}|=|A_5:C_{A_5}(\\sigma)|=|S_5:C_{S_5}(\\sigma)|=|\\sigma^{S_5}|.
\n\\]
\nOu seja, neste caso, a $S_5$-classe $C$ ser\u00e1 uma classe em $A_5$.<\/li>\n<\/ol>\n