$\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}$1. Sejam $\\pi,\\sigma\\in S_n$. Escreva $\\pi$ e $\\sigma$ como produto de ciclos disjuntos e assuma que $\\pi$ cont\u00e9m $k_i$ ciclos de comprimento $i$ e que $\\sigma$ cont\u00e9m $\\ell_i$ ciclos de comprimento $i$ para todo $i=1,\\ldots,n$.\u00a0 Note que as sequ\u00eancias $k_1,\\ldots,k_n$ e $\\ell_1,\\ldots,\\ell_n$ s\u00e3o unicamente determinadas pelas permuta\u00e7\u00f5es $\\pi$ e $\\sigma$. Demonstre que $\\pi$ e $\\sigma$ s\u00e3o conjugados em $S_n$ se e somente se $k_i=\\ell_i$ para todo $i=1,\\ldots,n$.<\/p>\n
2. Descreva as classes de conjuga\u00e7\u00e3o dos grupos $S_3$, $S_4$, $D_4$, $D_5$. Escolha um elemento de cada classe e determine a cardinalidade e geradores do seu centralizador<\/p>\n
3.Sejam $p$ um primo e $G$ um grupo tal que $|G|=p^2$. Mostre que $G$ \u00e9 abeliano e que exatamente uma das seguintes afirma\u00e7\u00f5es \u00e9 v\u00e1lida:<\/p>\n
4.. Seja $p$ um primo, $G$ um subgrupo de $\\mbox{GL}(n,\\F_p)$ tal que $|G|=p^k$ com algum $k\\geq 1$.\u00a0 Mostre que existe um vetor $v\\in\\F_p^n\\setminus\\{0\\}$ tal que $vg=v$ para todo $g\\in G$. (Ou seja, os elementos do grupo $G$ t\u00eam um autovetor comum com autovalor $1$.)<\/p>\n
[Dica: Decomponha o espa\u00e7o $\\F_p^n$ para uma uni\u00e3o disjunta de $G$-\u00f3rbitas e use o Teorema \u00d3rbita-Estabilizador.]<\/p>\n
5. Seja $p$ um primo, $G$ um subgrupo de $\\mbox{GL}(n,\\F_p)$ tal que\u00a0 $|G|=p^k$ com algum $k\\geq 1$. Mostre que existe um elemento $g\\in \\mbox{GL}(n,\\F_p)$ tal que $G^g$ est\u00e1 contido no subgrupo de $\\mbox{GL}(n,\\F_p)$ composto por matrizes triangulares superiores com uns nas entradas diagonais.<\/p>\n
[Dica: Use indu\u00e7\u00e3o em $n$. No passo indutivo, use o exerc\u00edcio anterior e aplique a\u00a0 hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o para o espa\u00e7o $\\F_p^n\/\\left<v\\right>$ onde $v\\in\\F_p^n$ como no\u00a0 exerc\u00edcio.]<\/p>\n
6. [O Teorema de Cauchy para grupos abelianos] Seja $G$ um grupo finito\u00a0 abeliano,\u00a0 seja $p$ um primo tal que $p\\mid |G|$. Mostre que $G$ possui um elemento de ordem $p$.<\/p>\n
[Dica: Use indu\u00e7\u00e3o em $|G|$. No passo indutivo, escolhe um elemento $g\\in G$ e considere duas possibilidades: $p\\mid |g|$ ou $p\\nmid |g|$. Na primeira tome uma pot\u00eancia de $g$,\u00a0 na segunda considere o quociente $G\/\\left<g\\right>$ e use a hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o.]<\/p>\n
7. [O Teorema de Cauchy] Seja $G$ um grupo finito,\u00a0 seja $p$ um primo tal que $p\\mid |G|$. Mostre que $G$ possui um elemento de ordem $p$.<\/p>\n
[Dica: Use indu\u00e7\u00e3o em $|G|$. No passo indutivo, considere dois casos: $p\\mid |Z(G)|$ ou\u00a0 $p\\nmid |Z(G)|$. No primeiro caso, use o exerc\u00edcio anterior. No segundo caso, deduza que\u00a0 $G$ possui uma classe de conjuga\u00e7\u00e3o $C$ tal que $|C|\\geq 2$ e $p\\nmid |C|$. Use o hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o para $C_G(g)$ onde $g\\in C$.]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
$\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}$1. Sejam $\\pi,\\sigma\\in S_n$. Escreva $\\pi$ e $\\sigma$ como produto de ciclos disjuntos e assuma que $\\pi$ cont\u00e9m $k_i$ ciclos de comprimento $i$ e que $\\sigma$ cont\u00e9m $\\ell_i$ ciclos de comprimento $i$ para todo $i=1,\\ldots,n$.\u00a0 Note que as sequ\u00eancias $k_1,\\ldots,k_n$ e $\\ell_1,\\ldots,\\ell_n$ s\u00e3o unicamente determinadas pelas permuta\u00e7\u00f5es $\\pi$ e $\\sigma$. Demonstre que $\\pi$ e … Continue reading Exerc\u00edcios 6<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":684,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/877"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=877"}],"version-history":[{"count":4,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/877\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":881,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/877\/revisions\/881"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/684"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=877"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}