{"id":871,"date":"2020-09-03T18:34:12","date_gmt":"2020-09-03T18:34:12","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=871"},"modified":"2022-05-19T07:32:37","modified_gmt":"2022-05-19T10:32:37","slug":"aritmetica-modular","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-a\/aritmetica-modular\/","title":{"rendered":"Aritm\u00e9tica modular"},"content":{"rendered":"
\n$\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\cl}[1]{\\overline{#1}}$Sejam $a$ e $b$ n\u00fameros inteiros e seja $n$ um natural com $n\\geq 2$. Dizemos que $a$ \u00e9 congruente com $b$ m\u00f3dulo $n$<\/em> se $n\\mid (a-b)$. Neste caso escrevemos que
\n\\[
\na\\equiv b\\pmod n.
\n\\]
\nPor exemplo, $-2\\equiv 3\\pmod 5$, mas $2\\not\\equiv 3\\pmod 5$.<\/p>\n

Note que $a\\equiv b\\pmod n$ se e somente se os restos de $a$ e $b$ quando divididos por $n$ s\u00e3o iguais.<\/p>\n

Sejam $a,b,c\\in\\Z$ e $n\\geq 2$. As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o verdadeiras.<\/p>\n
    \n
  1. $a\\equiv a\\pmod n$;<\/li>\n
  2. se $a\\equiv b\\pmod n$, ent\u00e3o $b\\equiv a\\pmod n$;<\/li>\n
  3. se $a\\equiv b\\pmod n$ e $b\\equiv c\\pmod n$, ent\u00e3o $a \\equiv c\\pmod n$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    Exerc\u00edcio.<\/div>\n

    Seja $n\\geq 2$ fixo. Dado $a\\in\\Z$, denote por $\\cl a$ o conjunto de n\u00fameros inteiros que s\u00e3o congruentes com $a$. Em s\u00edmbolos,
    \n\\[
    \n\\cl a=\\{b\\in \\Z\\mid b\\equiv a\\bmod n\\}.
    \n\\]
    \nO conjunto $\\cl a$ \u00e9 chamado de classe residual m\u00f3dulo<\/em> $n$.
    \nPor exemplo, se $n=5$, temos que
    \n\\begin{eqnarray*}
    \n\\cl 0&=&\\{0,\\pm 5, \\pm 10,\\ldots\\}=\\{5k\\mid k\\in\\Z\\}\\\\
    \n\\cl 1&=&\\{1,-4,6,-9,11,,\\ldots\\}=\\{5k+1\\mid k\\in\\Z\\}\\\\
    \n\\cl 2&=&\\{2,-3,7,-8,12,\\ldots\\}=\\{5k+2\\mid k\\in\\Z\\}\\\\
    \n\\cl 3&=&\\{3,-2,8,-7,13,\\ldots\\}=\\{5k+3\\mid k\\in\\Z\\}\\\\
    \n\\cl 4&=&\\{4,-1,9,-6,14,\\ldots\\}=\\{5k+4\\mid k\\in\\Z\\}\\\\
    \n\\end{eqnarray*}
    \nObserve que temos 5 classes residuais m\u00f3dulo 5; nomeadamente, $\\cl 0$, $\\cl 1$, $\\cl 2$, $\\cl 3$, $\\cl 4$. Mais geralmente, m\u00f3dulo $n$ temos $n$ classes residuais: $\\cl 0,\\cl 1, \\ldots,\\cl{n-1}$. Se $a\\in\\Z$, ent\u00e3o escrevemos $a=qn+r$ onde $0\\leq r< n$ e\u00a0a classe residual $\\cl a$, pode ser escrita como
    \n\\[
    \n\\cl a=\\{kn+r\\mid k\\in\\Z\\}.
    \n\\]<\/p>\n

    O conjunto de classes residuais m\u00f3dulo $n$ s\u00e3o denotados por $\\Z_n$. Temos ent\u00e3o que
    \n\\[
    \n\\Z_n=\\{\\cl 0,\\cl 1,\\ldots,\\cl{n-1}\\}.
    \n\\]
    \nEm particular $|\\Z_n|=n$.<\/p>\n

    Temos que $\\cl a=\\cl b$ se e somente se $a\\equiv b\\pmod n$ (ou seja, $n\\mid (a-b)$) que equivale \u00e0 condi\u00e7\u00e3o que os restos de $a$ e $b$ quando divididos por $n$ s\u00e3o iguais.<\/p>\n

    Seja $n\\geq 2$ fixo e escolha $\\cl a,\\cl b\\in \\Z_n$. Vamos definir as opera\u00e7\u00f5es de adi\u00e7\u00e3o \u00e9 multiplica\u00e7\u00e3o entre estas classes:
    \n\\begin{eqnarray*}
    \n\\cl a+\\cl b&=&\\cl{a+b}\\\\
    \n\\cl a\\cdot \\cl b&=&\\cl{ab}.
    \n\\end{eqnarray*}<\/p>\n

    Como as opera\u00e7\u00f5es est\u00e3o definidas usando representantes das classes, precisa-se provar que estas opera\u00e7\u00f5es s\u00e3o bem definidas. Isso significa que tomemos $a_1,a_2,b_1,b_2\\in\\Z$ tais que $\\cl{a_1}=\\cl{a_2}$ e $\\cl{b_1}=\\cl{b_2}$ e precisa-se verificar que
    \n\\begin{eqnarray*}
    \n\\cl{a_1}+\\cl{b_1}&=&\\cl{a_2}+\\cl{b_2}\\\\
    \n\\cl{a_1}\\cdot\\cl{b_1}&=&\\cl{a_2}\\cdot\\cl{b_2}
    \n\\end{eqnarray*}
    \nVerificaremos apenas o produto. Como $\\cl{a_1}=\\cl{a_2}$, temos que $n\\mid (a_1-a_2)$ que implica que $a_2=a_1+k_an$, e similarmente, $b_2=b_1+k_bn$ onde $k_a,k_b\\in\\Z$. Ent\u00e3o
    \n\\begin{eqnarray*}
    \n\\cl{a_2}\\cdot\\cl{b_2}&=&\\cl{a_2b_2}=\\cl{(a_1+k_an)(b_1+k_bn)}\\\\&=&\\cl{a_1b_1+k_anb_1+k_bna_1+k_ak_bn^2}
    \n\\\\&=&\\cl{a_1b_1+n(k_ab_1+k_ba_1+k_ak_bn)}
    \n\\\\&=&\\cl{a_1b_1}=\\cl{a_1}\\cdot\\cl{b_1}.
    \n\\end{eqnarray*}<\/p>\n

    Estas duas opera\u00e7\u00f5es t\u00eam as seguintes propriedades para todo $\\cl a,\\cl b,\\cl c\\in\\Z_n$ (a verifica\u00e7\u00e3o \u00e9 exerc\u00edcio):<\/p>\n

      \n
    1. A soma \u00e9 associativa: $(\\cl a+\\cl b)+\\cl c=\\cl a+(\\cl b+\\cl c)$.<\/li>\n
    2. A soma \u00e9 comutativa: $\\cl a+\\cl b=\\cl b+\\cl a$.<\/li>\n
    3. Existe um elemento neutro para a soma; nomeadamente, a classe $\\cl 0$. De fato $\\cl a+\\cl 0=\\cl 0+\\cl a=\\cl a$.<\/li>\n
    4. Toda classe $\\cl a$ possui um sim\u00e9trico (ou negativo); nomeadamente $\\cl{-a}=\\cl{n-a}$. De fato $\\cl a+\\cl{n-a}=\\cl n=\\cl 0$.<\/li>\n
    5. A produto \u00e9 associativo: $(\\cl a\\cdot\\cl b)\\cdot\\cl c=\\cl a\\cdot(\\cl b\\cdot\\cl c)$.<\/li>\n
    6. A produto \u00e9 comutativo: $\\cl a\\cdot\\cl b=\\cl b\\cdot\\cl a$.<\/li>\n
    7. Existe um elemento neutro para o produto; nomeadamente $\\cl 1$. De fato $\\cl a\\cdot\\cl 1=\\cl 1\\cdot\\cl a=\\cl a$.<\/li>\n
    8. Temos a propriedade distributiva $\\cl a\\cdot(\\cl b+\\cl c)=\\cl a\\cdot\\cl b+\\cl a\\cdot \\cl c$.<\/li>\n<\/ol>\n

      Isso quer dizer que aritm\u00e9tica em $\\Z_n$ funciona mais ou menos na mesma maneira que em $\\Z$.\n<\/p><\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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