{"id":858,"date":"2020-09-03T14:44:21","date_gmt":"2020-09-03T14:44:21","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=858"},"modified":"2020-09-04T23:28:48","modified_gmt":"2020-09-04T23:28:48","slug":"classes-de-conjugacao","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/grupos-e-corpos\/classes-de-conjugacao\/","title":{"rendered":"Classes de conjuga\u00e7\u00e3o"},"content":{"rendered":"

Considere a a\u00e7\u00e3o de $G$ em $\\Omega=G$ por conjuga\u00e7\u00e3o; ou seja, $(x,g)\\mapsto x^g=g^{-1}xg$. Se $x\\in \\Omega$ ent\u00e3o a \u00f3rbita $x^G=\\{x^g \\mid g\\in G\\}$ \u00e9 chamada de classe de conjuga\u00e7\u00e3o<\/em> de $x$ em $G$. O estabilizador de $x\\in \\Omega$ nesta a\u00e7\u00e3o \u00e9 o subgrupo
\n\\begin{eqnarray*}
\nG_x&=&C_G(x)=\\{g\\in G\\mid g^{-1}xg= x\\}\\\\&=&\\{g\\in G\\mid xg= gx\\}.
\n\\end{eqnarray*}
\nEste subgrupo chama-se o centralizador<\/em> de $x$ em $G$. Temos pelo Teorema \u00d3rbita-Estabilizador que $|x^G|=|G:C_G(x)|$. Em particular, se $G$ \u00e9 finito, obtemos o seguinte resultado.<\/p>\n

Proposi\u00e7\u00e3o.<\/strong>\u00a0Se $G$ \u00e9 um grupo finito e $x\\in G$, ent\u00e3o
\n\\[
\n|x^G|=\\frac{|G|}{|C_G(x)|}.
\n\\]<\/p>\n

Exerc\u00edcio.\u00a0<\/strong>Sejam $\\pi,\\sigma\\in S_n$. Escreva $\\pi$ e $\\sigma$ como produto de ciclos disjuntos e assuma que $\\pi$ cont\u00e9m $k_i$ ciclos de comprimento $i$ e que $\\sigma$ cont\u00e9m $\\ell_i$ ciclos de comprimento $i$ para todo $i=1,\\ldots,n$.\u00a0 Note que as sequ\u00eancias $k_1,\\ldots,k_n$ e $\\ell_1,\\ldots,\\ell_n$ s\u00e3o unicamente determinadas pelas permuta\u00e7\u00f5es $\\pi$ e $\\sigma$. Demonstre que $\\pi$ e $\\sigma$ s\u00e3o conjugados em $S_n$ se e somente se $k_i=\\ell_i$ para todo $i=1,\\ldots,n$.<\/p>\n

Exemplo.\u00a0<\/strong>Considere o grupo $S_5$. Pelo exerc\u00edcio anterior este grupo tem 7 classes de conjuga\u00e7\u00e3o com os seguintes representantes: $1$, $(1,2)$, $(1,2)(3,4)$, $(1,2)(3,4,5)$, $(1,2,3)$, $(1,2,3,4)$, e $(1,2,3,4,5)$. A seguinte tabela cont\u00e9m as cardinalidades destas classes, as cardinalidades do centralizador do representante, e geradores do centralizador.<\/p>\n\n\n\n\n\t\n\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t\n\t
Representante<\/th>#classe<\/th>#centralizador<\/th>geradores do centralizador<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n
1<\/td>1<\/td>120<\/td>$(1,2)$, $(1,2,3,4,5)$<\/td>\n<\/tr>\n
$(1,2)$<\/td>10<\/td>12<\/td>$(1,2)$, $(3,4)$, $(3,4,5)$<\/td>\n<\/tr>\n
$(1,2)(3,4)$<\/td>15<\/td>8<\/td>$(1,2)$, $(1,3,2,4)$<\/td>\n<\/tr>\n
$(1,2)(3,4,5)$<\/td>20<\/td>6<\/td>$(1,2)$, $(3,4,5)$ <\/td>\n<\/tr>\n
$(1,2,3)$<\/td>20<\/td>6<\/td>$(1,2,3)$, $(4,5)$<\/td>\n<\/tr>\n
$(1,2,3,4)$<\/td>30<\/td>4<\/td>$(1,2,3,4)$<\/td>\n<\/tr>\n
$(1,2,3,4,5)$<\/td>24<\/td>5<\/td>$(1,2,3,4,5)$<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n\n

Lembre que o centro de um grupo $G$ est\u00e1 definido como
\n\\begin{eqnarray*}
\nZ(G)&=&\\{g\\in G\\mid gh=hg\\mbox{ para todo }h\\in G\\}\\\\&=&\\{g\\in G\\mid g^h=g\\mbox{ para todo }h\\in G\\}.
\n\\end{eqnarray*}
\nPara $g\\in G$, observe que $\\{g\\}$ \u00e9 uma classe de conjuga\u00e7\u00e3o se e somente se $g\\in Z(G)$. (Pode-se deduzir da tabela em cima que $Z(S_5)=\\{1\\}$.) Se $G$ \u00e9 um grupo finito e $C_1,\\ldots,C_m$ s\u00e3o as classes de $G$ com cardinalidade maior ou igual a dois, ent\u00e3o podemos escrever o grupo $G$ como uma uni\u00e3o disjunta
\n\\[
\nG=Z(G)\\cup C_1\\cup\\cdots\\cup C_m
\n\\]
\ne isso implica que
\n\\begin{eqnarray}\\label{eq:class}
\n|G|=|Z(G)|+ |C_1|+\\cdots+|C_m|.
\n\\end{eqnarray}
\nA equa\u00e7\u00e3o \\eqref{eq:class} \u00e9 chamada de\u00a0equa\u00e7\u00e3o das classes<\/em> de $G$.<\/p>\n

Considerando a equa\u00e7\u00e3o das classes para grupos cuja ordem \u00e9 uma pot\u00eancia de um primo, obtemos o seguinte resultado importante.<\/p>\n

Teorema.\u00a0<\/strong>Seja $p$ um primo e seja $G$ um grupo tal que $|G|=p^k$ com algum $k\\geq 1$. Ent\u00e3o o centro $Z(G)$ \u00e9 n\u00e3o trivial (ou seja, $|Z(G)|>1$).<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Considere a equa\u00e7\u00e3o \\eqref{eq:class} para o grupo $G$. Como as classes $C_i$ s\u00e3o $G$-\u00f3rbitas para uma a\u00e7\u00e3o de $G$ (nomeadamente, a conjuga\u00e7\u00e3o de $G$ em $G$), temos que $|C_i|$ \u00e9 um divisor de $|G|=p^k$; ou seja $|C_i|=p^{k_i}$ com algum $k_i\\geq 1$. O lado esquerdo da equa\u00e7\u00e3o das classes \u00e9 uma pot\u00eancia de $p$, e os termos $|C_i|$ no lado direito tamb\u00e9m s\u00e3o pot\u00eancias de $p$. Isso quer dizer que $p\\mid |Z(G)|$ e em particular que $|Z(G)|>1$.<\/p>\n

Note que um grupo finito $G$ tal que $|G|=p^k$ onde $p$ \u00e9 primo \u00e9 chamado de $p$-grupo finito<\/em>. Por exemplo, $D_4$ \u00e9 um 2-grupo finito. O teorema anterior diz que o centro de um $p$-grupo finito \u00e9 n\u00e3o trivial.<\/p>\n

Exerc\u00edcio.\u00a0<\/strong>Sejam $p$ um primo e $G$ um grupo tal que $|G|=p^2$. Mostre que $G$ \u00e9 abeliano e que exatamente uma das seguintes afirma\u00e7\u00f5es \u00e9 v\u00e1lida:<\/p>\n

    \n
  1. $G$ \u00e9 c\u00edclico<\/li>\n
  2. $G=\\left<a,b\\right>$ onde $|a|=|b|=p$ e $ab=ba$.<\/li>\n<\/ol>\n

    Um grupo $G$ chama-se sol\u00favel<\/em> se $G$ possui uma cadeia de subgrupos
    \n\\[
    \nG_0=1<G_1<\\cdots<G_{k}<G_{k+1}=G
    \n\\]
    \ntal que $G_i$ \u00e9 normal em $G_{i+1}$ (para todo $i$) e cada quociente $G_{i+1}\/G_{i}$ \u00e9 abeliano.<\/p>\n

    Exemplos.\u00a0<\/strong>Os seguintes grupos s\u00e3o sol\u00faveis.<\/p>\n

      \n
    1. Grupos abelianos.<\/li>\n
    2. Grupos diedrais.<\/li>\n
    3. $S_4$.<\/li>\n<\/ol>\n

      Grupos sol\u00faveis s\u00e3o chamados assim, pois eles correspondem a equa\u00e7\u00f5es polinomiais que s\u00e3o resol\u00faveis por radicais. As equa\u00e7\u00f5es polinomiais de grau 2, 3, 4 s\u00e3o resol\u00faveis por radicais porque os grupos $S_2$, $S_3$, e $S_4$ s\u00e3o sol\u00faveis. N\u00f3s vamos ver na aula seguinte que $S_5$ n\u00e3o \u00e9 um grupo sol\u00favel e isso implica (de modo n\u00e3o trivial) que as equa\u00e7\u00f5es polinomiais de grau 5 n\u00e3o s\u00e3o resol\u00faveis por radicais<\/a>.<\/p>\n

      Corol\u00e1rio.\u00a0<\/strong>Um $p$-grupo finito $G$ \u00e9 sol\u00favel.<\/p>\n

      Demonstra\u00e7\u00e3o.<\/strong>\u00a0Se $G$ \u00e9 abeliano, ent\u00e3o n\u00e3o h\u00e1 nada para provar. Assuma que $G$ n\u00e3o \u00e9 abeliano, e considere $G_1=Z(G)$. Note que $G_1$ \u00e9 normal em $G$ e $G_1\\neq \\{1\\}$\u00a0 Se $G\/G_1$ \u00e9 abeliano, ent\u00e3o a cadeia $1<G_1<G$ possui quocientes abelianos e $G$ \u00e9 sol\u00favel.. Se $G\/G_1$ n\u00e3o for abeliano, ent\u00e3o considere $Z(G\/G_1)$. Temos que $Z(G\/G_1)$ \u00e9 normal em $G\/G_1$ e que $Z(G\/G_1)\\neq\\{1\\}$. Seja $G_2=\\{g\\in G\\mid G_1g\\in Z(G\/G_1)\\}$. \u00c9 f\u00e1cil mostrar que $G_2$ \u00e9 um subgrupo normal em $G$ tal que $G_2\/G_1=Z(G\/G_1)$ que implica que $G_2\/G_1$ \u00e9 um grupo abeliano. Se $G\/G_2$ \u00e9 abeliano, ent\u00e3o consideramos a cadeia $1<G_1<G_2<G$ e estamos prontos. Se $G\/G_2$ for n\u00e3o abeliano, ent\u00e3o repetimos o passo anterior at\u00e9 obtivermos um subgrupo $G_k$ tal que $G\/G_k$ seja abeliano.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      Considere a a\u00e7\u00e3o de $G$ em $\\Omega=G$ por conjuga\u00e7\u00e3o; ou seja, $(x,g)\\mapsto x^g=g^{-1}xg$. Se $x\\in \\Omega$ ent\u00e3o a \u00f3rbita $x^G=\\{x^g \\mid g\\in G\\}$ \u00e9 chamada de classe de conjuga\u00e7\u00e3o de $x$ em $G$. O estabilizador de $x\\in \\Omega$ nesta a\u00e7\u00e3o \u00e9 o subgrupo \\begin{eqnarray*} G_x&=&C_G(x)=\\{g\\in G\\mid g^{-1}xg= x\\}\\\\&=&\\{g\\in G\\mid xg= gx\\}. \\end{eqnarray*} Este subgrupo chama-se … Continue reading Classes de conjuga\u00e7\u00e3o<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":684,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/858"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=858"}],"version-history":[{"count":7,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/858\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":889,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/858\/revisions\/889"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/684"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=858"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}