$\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}$1. Suponha que $G$ age em $\\Omega$ e suponha que $\\alpha,\\beta\\in \\Omega$ tais que $\\beta=\\alpha g$ para algum $g\\in G$. Mostre que $G_\\beta=g^{-1}G_\\alpha g$ (ou seja, se $\\alpha$ e $\\beta$ pertencem \u00e0 mesma \u00f3rbita, os seus estabilizadores s\u00e3o conjugados).<\/p>\n
Assuma que um grupo $G$ age no conjunto $\\Omega$. O conjunto 2. Verifique as seguintes afirma\u00e7\u00f5es.<\/p>\n 3. Seja $G\\leq\\mbox{Sym}(\\Omega)$ transitivo e $\\alpha\\in\\Omega$. Assuma que $N\\unlhd G$ tal que $N\\leq G_\\alpha$. Mostre que $N=\\{1\\}$. Deduza que se $G$ for abeliano, ent\u00e3o $G_\\alpha=\\{1\\}$.<\/p>\n 4. Considere o grupo $G=GL(n,\\F)$ (onde $\\F$ \u00e9 um corpo) com a sua a\u00e7\u00e3o em 5 Seja $\\F$ um corpo e considere a a\u00e7\u00e3o do grupo 6. Assuma que $G$ age em um conjunto $\\Omega$ transitivamente, seja $\\alpha\\in \\Omega$,\u00a0 e considere o mapa 7. Seja $G$ um grupo e $H\\leq G$. O centralizador $C_G(H)$ \u00e9 o normalizador $N_G(H)$ s\u00e3o definidos como <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" $\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}$1. Suponha que $G$ age em $\\Omega$ e suponha que $\\alpha,\\beta\\in \\Omega$ tais que $\\beta=\\alpha g$ para algum $g\\in G$. Mostre que $G_\\beta=g^{-1}G_\\alpha g$ (ou seja, se $\\alpha$ e $\\beta$ pertencem \u00e0 mesma \u00f3rbita, os seus estabilizadores s\u00e3o conjugados). Assuma que um grupo $G$ age no conjunto $\\Omega$. O conjunto \\[ K=\\bigcap_{\\alpha\\in\\Omega} G_\\alpha=\\{g\\in G\\mid … Continue reading Exerc\u00edcios 5<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":684,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/842"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=842"}],"version-history":[{"count":5,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/842\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":891,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/842\/revisions\/891"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/684"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=842"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}
\n\\[
\nK=\\bigcap_{\\alpha\\in\\Omega} G_\\alpha=\\{g\\in G\\mid \\alpha g=\\alpha\\mbox{ para todo }\\alpha\\in\\Omega\\}
\n\\]
\nchama-se o n\u00facleo da a\u00e7\u00e3o<\/em>. Uma a\u00e7\u00e3o chama-se fiel<\/em> se o n\u00facleo \u00e9 $\\{1\\}$.<\/p>\n\n
\n\\[
\n\\Omega=\\{\\left<v\\right>\\mid v\\in \\F^n\\setminus\\{0\\}\\}.
\n\\]
\nDetermine o n\u00facleo desta a\u00e7\u00e3o.<\/p>\n
\n\\[
\nG=\\left\\{\\begin{pmatrix} a & b \\\\ 0\u00a0 & c\\end{pmatrix}\\in GL(2,\\F)\\mid a,b,c \\in \\F\\right\\}
\n\\]
\nno conjunto $\\Omega=\\F^2$ (por multiplica\u00e7\u00e3o \u00e0 direita).<\/p>\n\n
\n\\[
\n\\varphi:\\Omega\\to\\{G_\\alpha g\\mid g\\in G\\}
\n\\]
\ndefinido nas notas antes do Teorema \u00d3rbita-Estabilizador. Mostre que
\n\\[
\n\\varphi(\\beta)g=\\varphi(\\beta g)\\quad\\mbox{para todo}\\quad \\beta\\in\\Omega,\\ g\\in G.
\n\\]
\n(Na linguagem da teoria das representa\u00e7\u00f5es, este exerc\u00edcio mostra que a a\u00e7\u00e3o de $G$ em $\\Omega$ \u00e9 equivalente \u00e0 a\u00e7\u00e3o de $G$ no conjunto $\\{G_\\alpha g\\mid g\\in G\\}$ das classes laterais.)<\/p>\n
\n\\begin{eqnarray*}
\nC_G(H)&=&\\{g\\in G\\mid g^{-1}hg=h\\mbox{ para todo }h\\in H\\};\\\\
\nN_G(H)&=&\\{g\\in G\\mid g^{-1}Hg=H\\}.
\n\\end{eqnarray*}
\nDefina
\n\\[
\nH^G=\\{H^g=g^{-1}Hg\\mid g\\in G\\}.
\n\\]<\/p>\n\n