$\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}$Seja $G$ um grupo e $\\Omega$ um conjunto. Dizemos que $G$ age em $\\Omega$ se est\u00e1 dada uma fun\u00e7\u00e3o
\n\\[
\n\\Omega\\times G\\to \\Omega,\\quad (\\omega,g)\\mapsto \\omega g
\n\\]
\ncom as seguintes propriedades:<\/p>\n
Se $\\alpha\\in\\Omega$, o elemento $\\alpha g$ \u00e9 dito imagem de $\\alpha$ por $g$.<\/em><\/p>\n Exemplos.\u00a0<\/strong>Nos seguintes exemplos apresentamos a\u00e7\u00f5es importantes de grupos. O leitor deve verificar que cada item define uma a\u00e7\u00e3o.<\/p>\n Assuma que $G$ age em $\\Omega$. Defina a seguinte rela\u00e7\u00e3o $\\equiv$ sobre $\\Omega$. Se $\\alpha,\\beta\\in\\Omega$ ent\u00e3o $\\alpha\\equiv\\beta$ se existe $g\\in G$ tal que $\\alpha g=\\beta$.<\/p>\n Exerc\u00edcio.\u00a0<\/strong>A rela\u00e7\u00e3o $\\equiv$ \u00e9 uma equival\u00eancia.<\/p>\n As classes de equival\u00eancia da rela\u00e7\u00e3o $\\equiv$ s\u00e3o chamadas de \u00f3rbitas<\/em>. Se $\\alpha\\in\\Omega$, ent\u00e3o por defini\u00e7\u00e3o, a \u00f3rbita que cont\u00e9m $\\alpha$ \u00e9 o conjunto Se $G$ age em $\\Omega$, ent\u00e3o as \u00f3rbitas de $G$ em $\\Omega$ formam uma parti\u00e7\u00e3o de $\\Omega$.<\/p>\n Exemplo.\u00a0<\/strong>Assuma que $G=GL(n,\\F)$ e considere a a\u00e7\u00e3o de $G$ em $\\Omega=\\F^n$. Ent\u00e3o $G$ tem duas \u00f3rbitas em $\\Omega$; nomeadamente, $\\{0\\}$ e $\\Omega\\setminus\\{0\\}$.<\/p>\n O grupo $G$\u00a0 \u00e9 dito transitivo<\/em>\u00a0se $\\Omega$ \u00e9 uma \u00f3rbita de $G$. Equivalentemente, $G$ \u00e9 transitivo em $\\Omega$, se para todo $\\alpha,\\beta\\in\\Omega$, existe $g\\in G$ tal que $\\alpha g=\\beta$.<\/p>\n Exemplo.\u00a0<\/strong>Seja $G=GL(n,\\F)$ e considere a a\u00e7\u00e3o de $G$ sobe o espa\u00e7o projetivo $\\{\\left<v\\right>\\mid v\\in \\F^n\\setminus\\{0\\}\\}$. O grupo $G$ \u00e9 transitivo sobre $\\Omega$.<\/p>\n Dado $\\alpha\\in\\Omega$, definimos o estabilizador de $\\alpha$ em $G$ como Exerc\u00edcio.\u00a0<\/strong>$G_\\alpha$ \u00e9 um subgrupo de $G$.<\/p>\n Exemplo.<\/strong> Considere a a\u00e7\u00e3o de $G=GL(n,\\F)$ sobre $\\Omega=\\{\\left<v\\right>\\mid v\\in\\F^n\\setminus\\{0\\}\\}$. Seja $\\alpha=\\left<(1,0,\\ldots,0)\\right>$. Ent\u00e3o o estabilizador $G_\\alpha$ \u00e9 o subgrupo de matrizes na forma Assuma que $\\Omega$, $G$, e $\\alpha\\in\\Omega$ s\u00e3o como acima. Para, $\\beta\\in \\alpha G$, considere o conjunto Observa\u00e7\u00f5es.\u00a0<\/strong><\/p>\n Lema.\u00a0<\/strong>Usando a nota\u00e7\u00e3o introduzida acima, a aplica\u00e7\u00e3o $\\varphi:\\alpha G\\to \\{G_\\alpha g\\mid g\\in G\\}$ est\u00e1 bem definida e ela \u00e9 uma bije\u00e7\u00e3o entre $\\alpha G$ e $\\{G_\\alpha g\\mid g\\in G\\}$.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Boa defini\u00e7\u00e3o: Assuma que $g_1,g_2\\in G$ tais que $\\alpha g_1=\\alpha g_2=\\beta$. Ent\u00e3o $g_1g_2^{-1}\\in G_\\alpha$ e isto implica que $G_\\alpha g_1=G_\\alpha g_2$. Logo, a aplica\u00e7\u00e3o $\\varphi$ est\u00e1 bem definida.<\/p>\n Sobrejetiva: Se $G_\\alpha g$ \u00e9 uma classe lateral de $G_\\alpha$, ent\u00e3o $G_\\alpha g=\\varphi(\\alpha g)$.<\/p>\n Injetiva: Assuma que $\\beta_1,\\beta_2\\in \\Omega$ tais que $\\varphi(\\beta_1)=\\varphi(\\beta_2)$. Ent\u00e3o existem $g_1,g_2\\in G$ tais que $\\beta_1=\\alpha g_1$ e $\\beta_2=\\alpha g_2$. Mas pela defini\u00e7\u00e3o de $\\varphi$, Teorema (Teorema \u00d3rbita-Estabilizador)\u00a0<\/strong>Assuma que um grupo finito $G$ age transitivamente em um conjunto $\\Omega$ e seja $\\alpha\\in\\Omega$. Ent\u00e3o $|G|=|G_\\alpha||\\Omega|$. Em particular $|\\Omega|$ \u00e9 um divisor de $|G|$.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" $\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}$Seja $G$ um grupo e $\\Omega$ um conjunto. Dizemos que $G$ age em $\\Omega$ se est\u00e1 dada uma fun\u00e7\u00e3o \\[ \\Omega\\times G\\to \\Omega,\\quad (\\omega,g)\\mapsto \\omega g \\] com as seguintes propriedades: $\\alpha 1=\\alpha$ para todo $\\alpha\\in\\Omega$; $\\alpha(gh)=(\\alpha g)h$ para todo $\\alpha\\in \\Omega$, $g,h\\in G$. Se $\\alpha\\in\\Omega$, o elemento $\\alpha g$ \u00e9 dito imagem de … Continue reading A\u00e7\u00f5es de grupos e o Teorema \u00d3rbita-Estabilizador<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":684,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/831"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=831"}],"version-history":[{"count":4,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/831\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":857,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/831\/revisions\/857"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/684"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=831"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}\n
\n\\begin{eqnarray*}
\n\\alpha G&:=&\\{\\beta\\in\\Omega\\mid \\alpha\\equiv \\beta\\}\\\\&=&
\n\\{\\beta\\in\\Omega\\mid \\beta=\\alpha g\\mbox{ com algum $g\\in G$}\\}\\\\&=&
\n\\{\\alpha g\\mid g\\in G\\}.
\n\\end{eqnarray*}<\/p>\n
\n\\[
\nG_\\alpha=\\{g\\in G\\mid \\alpha g=\\alpha\\}.
\n\\]<\/p>\n
\n\\[
\n\\begin{pmatrix} a & \\underline 0\\\\ \\underline u & B\\end{pmatrix}
\n\\]
\nonde $a\\in\\F\\setminus\\{0\\}$, $\\underline 0\\in\\F^{n-1}$ \u00e9 o vetor nulo, $\\underline u\\in\\F^{n-1}$ e $B$ \u00e9 uma matriz $(n-1)\\times(n-1)$ invertivel.<\/p>\n
\n\\[
\nG_{\\alpha\\to\\beta}=\\{g\\in G\\mid \\alpha g=\\beta\\}.
\n\\]<\/p>\n\n
\n\\[
\n\\alpha(hg)=(\\alpha h)g=\\alpha g=\\beta.
\n\\]
\nOu seja, $hg\\in G_{\\alpha\\to \\beta}$. Isto quer dizer que a classe lateral $G_\\alpha g$ est\u00e1 contido em $G_{\\alpha\\to\\beta}$.<\/li>\n
\n\\[
\n\\alpha (xg^{-1})=(\\alpha x)g^{-1}=\\beta g^{-1}=\\alpha.
\n\\]
\nOu seja $xg^{-1}\\in G_\\alpha$, ou seja $x\\in G_\\alpha g$. Isto implica que $G_{\\alpha\\to\\beta}\\subseteq G_\\alpha g$.<\/li>\n
\n\\[
\nG_\\alpha g_1=\\varphi(\\alpha g_1)=\\varphi(\\beta_1)=\\varphi(\\beta_2)=\\varphi(\\alpha g_2)=G_\\alpha g_2.
\n\\]
\nOu seja, $g_1g_2^{-1}\\in G_\\alpha$. Mas isto implica que $\\alpha g_1g_2^{-1}=\\alpha$ e que $\\beta_1=\\alpha g_1=\\alpha g_2=\\beta_2$. Portanto o mapa $\\varphi$ \u00e9 injetivo.<\/p>\n