$\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}$Um subgrupo $H$ de $G$ \u00e9 dito normal se $gH=Hg$ para todo $g\\in G$. Esta condi\u00e7\u00e3o pode ser expressa por dizer que $g^{-1}Hg=H$ para todo $g\\in G$. Escrevemos que $H\\unlhd G$, ou $H\\lhd G$ quando $H< G$.<\/p>\n
As afirma\u00e7\u00f5es dos seguintes exemplos podem ser justificadas ou por exerc\u00edcios anteriores ou por contas triviais.<\/p>\n
Exemplo.\u00a0<\/strong><\/p>\n Seja $N$ um subgrupo normal em um grupo $G$. Definimos uma opera\u00e7\u00e3o no conjunto das classes laterais $Ng$ (onde $g\\in G$) no modo seguinte: Exemplo. <\/strong>\u00a0Considere o grupo aditivo $\\Z$, seja $n\\geq 2$ e seja $n\\Z=\\left<n\\right>=\\{nk\\mid k\\in \\Z\\}$. Se $a\\in\\Z$, ent\u00e3o a classe lateral $n\\Z+a$ \u00e9 a classe residual $\\{nk+a\\mid k\\in\\Z\\}$ e a opera\u00e7\u00e3o entre classes laterais \u00e9 definida como Sejam $G$ e $H$ grupos. Um mapa $\\varphi:G\\to H$ \u00e9 dito homomorfismo se Exerc\u00edcio.\u00a0<\/strong>Verifique as seguintes propriedades de um homomorfismo $\\varphi:G\\to H$.<\/p>\n Exemplo.\u00a0<\/strong><\/p>\n Em rela\u00e7\u00e3o com homomorfismos usamos as seguintes express\u00f5es.<\/p>\n Dois grupos $G$ e $H$ s\u00e3o ditos isomorfos que existe um isomorfismo (ou seja, um homomorfismo injetivo e sobrejetivo) $G\\to H$. O conjunto de automorfismos $G\\to G$ \u00e9 um grupo chamado do grupo de automorfismos de $G$. Este grupo \u00e9 denotado por $\\mbox{Aut}(G)$.<\/p>\n Dado um homorfismo $\\varphi:G\\to H$, definimos O seguinte resultado resuma as propriedades mais importantes de homomorfismos.<\/p>\n Teorema.\u00a0<\/strong>Seja $\\varphi:G\\to H$ um homomorfismo. As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o verdadeiras.<\/p>\n Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>1. Exerc\u00edcio.<\/p>\n 2. Assuma que $g\\in G$ e $h\\in\\ker\\varphi$. Ent\u00e3o 3. Se $\\varphi$ \u00e9 injetivo, ent\u00e3o $1_G$ deve ser o \u00fanico elemento cuja imagem \u00e9 $1_H$, ent\u00e3o $\\ker\\varphi=\\{1_G\\}$.<\/p>\n Assuma agora que $\\varphi$ \u00e9 injetivo e sejam $a,b\\in G$ tais que $\\varphi(a)=\\varphi(b)$. Isto implica que 4. Seja $N=\\ker\\varphi$ e defina Exemplo.\u00a0<\/strong>Sejam $\\F$ um corpo, $n\\geq 2$ e $\\varphi: GL(n,\\F)\\to \\F^*=\\F\\setminus\\{0\\}$ definido com $\\varphi(X)=\\det X$. Temos que $\\varphi$ \u00e9 um homomorfismo sobrejetivo e que $\\ker\\varphi=SL(n,\\F)$. Pelo teorema anterior, obtemos que $GL(n,\\F)\/SL(n,\\F)\\cong \\F^*$.<\/p>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" $\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\F}{\\mathbb F}$Um subgrupo $H$ de $G$ \u00e9 dito normal se $gH=Hg$ para todo $g\\in G$. Esta condi\u00e7\u00e3o pode ser expressa por dizer que $g^{-1}Hg=H$ para todo $g\\in G$. Escrevemos que $H\\unlhd G$, ou $H\\lhd G$ quando $H< G$. As afirma\u00e7\u00f5es dos seguintes exemplos podem ser justificadas ou por exerc\u00edcios anteriores ou por contas triviais. … Continue reading Subgrupos normais, quocientes e homomorfismos<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":684,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/793"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=793"}],"version-history":[{"count":12,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/793\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":815,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/793\/revisions\/815"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/684"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=793"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}\n
\n\\[
\n(Ng_1)(Ng_2)=Ng_1g_2.
\n\\]
\nComo $N$ \u00e9 normal, esta opera\u00e7\u00e3o \u00e9 bem definida. Al\u00e9m disso, ela \u00e9 associativa, $N1=N$ \u00e9 elemento neutro, e todo elemento $Ng$ tem inverso (nomeadamente, $Ng^{-1}$). Assim o conjunto das classes laterais com esta opera\u00e7\u00e3o \u00e9 um grupo denotado por $G\/N$. O grupo $G\/N$ \u00e9 dito grupo quociente (de $G$ por $N$). Temos que $|G\/N|=|G:N|$. Em particular, se $G$ \u00e9 finito, ent\u00e3o $|G\/N|=|G|\/|N|$.<\/p>\n
\n\\[
\n(n\\Z+a)+(n\\Z+b)=n\\Z+(a+b)
\n\\]
\ne esta opera\u00e7\u00e3o corresponde \u00e0 opera\u00e7\u00e3o $+$ entre classes residuais modulo $n$. Temos ent\u00e3o que o grupo $\\Z_n$ pode ser visto como o grupo quociente $\\Z\/n\\Z$.<\/p>\n
\n\\[
\n\\varphi(ab)=\\varphi(a)\\varphi(b)\\quad\\mbox{para todo}\\quad a,b\\in G.
\n\\].<\/p>\n\n
\n
\n
\n\\begin{eqnarray*}
\n\\mbox{Im}\\,\\varphi&=&\\{\\varphi(g)\\mid g\\in G\\}\\\\
\n\\ker\\varphi&=&\\{g\\in G\\mid \\varphi(g)=1_H\\}.
\n\\end{eqnarray*}<\/p>\n\n
\n\\[
\n\\varphi(g^{-1}hg)=\\varphi(g^{-1})\\varphi(h)\\varphi(g)=\\varphi(g)^{-1}\\varphi(g)=1_H
\n\\]
\nque diz que $g^{-1}hg\\in\\ker \\varphi$. O mesmo argumento implica que $ghg^{-1}\\in\\ker\\varphi$. Um exerc\u00edcio em cima mostra que $\\ker\\varphi\\unlhd G$.<\/p>\n
\n\\[
\n1_H=\\varphi(a)\\varphi(b)^{-1}=\\varphi(ab^{-1}),
\n\\]
\nou seja, $ab^{-1}\\in \\ker\\varphi=\\{1_G\\}$. Daqui obtemos que $ab^{-1}=1_H$; ou seja $a=b$. Assim, temos que $\\varphi$ \u00e9 injetivo.<\/p>\n
\n\\[
\n\\bar \\varphi:G\/N\\to \\mbox{Im}\\,\\varphi,\\quad Ng\\mapsto \\varphi(g).
\n\\]
\n\u00c9 f\u00e1cil ver que $\\bar\\varphi$ \u00e9 um homomorfismo bem definido e ele \u00e9 sobrejetivo. Assuma que $g\\in G$ tal que $\\bar\\varphi(Ng)=1_H$. Isto implica que $\\varphi(g)=1_H$; ou seja, $g\\in N$ e $Ng=N=1_{G\/N}$. Portanto $\\ker\\bar\\varphi=\\{1_{G\/N}\\}$ e isto implica que $\\bar\\varphi$ \u00e9 injetivo. Logo $\\bar\\varphi$ \u00e9 um isomorfismo e $G\/\\ker\\varphi\\cong \\mbox{Im}\\,\\varphi$.<\/p>\n