1. Seja $G$ um grupo c\u00edclico de ordem $n$ onde $n\\in\\mathbb N$. Seja $d\\in\\mathbb N$
\num divisor de $n$. Mostre que $G$ possui um \u00fanico subgrupo de ordem $d$.<\/p>\n
2. Mostre que $S_n$ \u00e9 gerado pelo conjunto
\n\\[
\n\\{(i,j)\\mid i,j\\in\\{1,\\ldots,n\\}\\mbox{ e }i< j\\}.
\n\\]
\n[Dica: mostre que todo ciclo pode ser escrito como produto de elementos
\nna forma $(i,j)$ com $i< j$.]<\/p>\n
3. Mostre que $S_n$ \u00e9 gerado pelo conjunto $\\{(1,2),(1,2,\\ldots,n)\\}$.<\/p>\n
4. Seja $\\mathbb F$ um corpo, $n\\geq 2$ e para $i,j\\in\\{1,\\ldots,n\\}$, seja $e_{ij}(\\alpha)$
\na matriz $n\\times n$ com todas as entradas iguais a zero, exceto a entrada na posi\u00e7\u00e3o $(i,j)$ que \u00e9 igual a $\\alpha$. Mostre que
\n\\[
\nSL(n,\\mathbb F)=\\left<I+e_{ij}(\\alpha)\\mid \\alpha\\in\\mathbb F\\mbox{ e } i\\neq j\\right>.
\n\\]<\/p>\n
5. Com a nota\u00e7\u00e3o do exerc\u00edcio anterior, mostre que
\n\\[
\nSL(n,\\mathbb F_p)=\\left<I+e_{ij}(1)\\mid i\\neq j\\right>.
\n\\]<\/p>\n
6. Sejam $H$ e $K$ subgrupos finitos de um grupo $G$. Mostre que
\n$|HK|=|H||K|\/|H\\cap K|$.
\n(Dica: Defina uma fun\u00e7\u00e3o $f:H\\times K\\rightarrow HK$ com $f(h,k)=hk$. Para todo
\nelemento $x\\in HK$, determine $|f^{-1}(x)|$.)<\/p>\n
7. Seja $G$ um grupo de ordem $pq$ onde $p$ e $q$ s\u00e3o primos. Mostre que
\ntodo subgrupo pr\u00f3prio de $G$ \u00e9 c\u00edclico.<\/p>\n
8. Seja $\\mathbb F$ um corpo finito com $q$ elementos e seja $d$ um natural. Mostre que $\\mathbb F$ possui um elemento de ordem (multiplicativo) $d$ se e somente se $d\\mid q-1$. Determine, neste caso, o n\u00famero de elementos de ordem $d$ em $\\mathbb F$.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
1. Seja $G$ um grupo c\u00edclico de ordem $n$ onde $n\\in\\mathbb N$. Seja $d\\in\\mathbb N$ um divisor de $n$. Mostre que $G$ possui um \u00fanico subgrupo de ordem $d$. 2. Mostre que $S_n$ \u00e9 gerado pelo conjunto \\[ \\{(i,j)\\mid i,j\\in\\{1,\\ldots,n\\}\\mbox{ e }i< j\\}. \\] [Dica: mostre que todo ciclo pode ser escrito como produto de … Continue reading Exerc\u00edcios 3<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":684,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/782"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=782"}],"version-history":[{"count":3,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/782\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":785,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/782\/revisions\/785"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/684"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=782"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}