{"id":746,"date":"2020-08-07T17:02:12","date_gmt":"2020-08-07T17:02:12","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=746"},"modified":"2020-09-08T15:26:32","modified_gmt":"2020-09-08T15:26:32","slug":"conjuntos-geradores-e-grupos-ciclicos","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/grupos-e-corpos\/conjuntos-geradores-e-grupos-ciclicos\/","title":{"rendered":"Conjuntos geradores e grupos c\u00edclicos"},"content":{"rendered":"

Seja $G$ um grupo e $X$ um subconjunto n\u00e3o vazio de $G$. Denotamos por $\\left<X\\right>$ o subgrupo gerado por $X$<\/em>. Quando $X=\\{x_1,\\ldots,x_k\\}$, escrevemos $\\left<x_1,\\ldots,x_k\\right>$. O subgrupo $\\left<X\\right>$ pode ser caraterizado como o conjunto de todos os produtos nos elementos de $X$ e seus inversos:
\n\\[
\n\\left<X\\right>=\\left\\{x_1^{\\pm 1}\\cdots x_m^{\\pm 1}\\mid m\\geq 1 \\mbox{ e } x_i\\in X\\right\\};
\n\\]
\no mesmo subgrupo pode ser descrito tamb\u00e9m como a interse\u00e7\u00e3o de todos os subgrupos de $G$ que cont\u00eam $X$:
\n\\[
\n\\left<X\\right>=\\bigcap_{X\\subseteq H\\leq G}H.
\n\\]<\/p>\n

Um subconjunto $X\\subseteq G$ \u00e9 dito conjunto gerador\u00a0<\/em>se $G=\\left<X\\right>$.<\/p>\n

Um grupo gerado por um elemento \u00e9 dito grupo c\u00edclico<\/em>. Em outras palavras, $G$ \u00e9 dito c\u00edclico se $G=\\left<g\\right>$ para algum elemento\u00a0 $g\\in G$. Se $G$ \u00e9 c\u00edclico e $G=\\left<g\\right>$. ent\u00e3o
\n\\[
\nG=\\{1=g^0,g^1,g^{-1},g^2,g^{-2},g^3,g^{-3},\\ldots\\};
\n\\]
\nou seja, $G$ \u00e9 composto pelas pot\u00eancias de $g$. Como $g^a$ e $g^b$ comutam para todo $a,b\\in\\mathbb Z$, obtemos que um grupo c\u00edclico \u00e9 abeliano.<\/p>\n

Exerc\u00edcio.\u00a0<\/strong>Seja $g\\in G$. Demonstre que $|\\left<g\\right>|=|g|$. Portanto, se $G$ \u00e9 um grupo finito e $g\\in G$, ent\u00e3o $|g|$ divide $|G|$.\u00a0 \u00a0Em particular, temos neste caso que $g^{|G|}=1$. Consequentemente, um grupo finito $G$ \u00e9 c\u00edclico se e somente se $G$ possui um elemento de ordem $|G|$.<\/p>\n

Exemplos.<\/strong><\/p>\n

    \n
  1. O grupo $(\\mathbb Z,+)$ \u00e9 c\u00edclico gerado por $1$.<\/li>\n
  2. Seja $n\\geq 2$. Ent\u00e3o o grupo aditivo $(\\mathbb Z_n,+)$ \u00e9 c\u00edclico gerado pelo elemento $1$.<\/li>\n
  3. O grupo $\\{i,-i,1,-1\\}$ \u00e9 c\u00edclico gerado por $i$.<\/li>\n
  4. O grupo de rota\u00e7\u00f5es de um pol\u00edgono com $n$ lados \u00e9 c\u00edclico e \u00e9 gerado pela rota\u00e7\u00e3o por $360\/n$ graus.<\/li>\n<\/ol>\n

    N\u00e3o exemplos.\u00a0<\/strong><\/p>\n

      \n
    1. O grupo sim\u00e9trico $S_3$ n\u00e3o \u00e9 c\u00edclico, pois ele n\u00e3o \u00e9 abeliano.<\/li>\n
    2. O grupo $K=\\{1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\\}$ \u00e9 abeliano, mas n\u00e3o \u00e9 c\u00edclico pois n\u00e3o possui um elemento de ordem $4$.<\/li>\n<\/ol>\n

      O seguinte teorema sai como uma consequ\u00eancia do Teorema de Lagrange.<\/p>\n

      Teorema.\u00a0<\/strong>Seja $p$ um primo e seja $G$ um grupo com $p$ elementos. Ent\u00e3o $G$ \u00e9 c\u00edclico. Em particular, $G$ \u00e9 abeliano.<\/p>\n

      Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Seja $g\\in G\\setminus\\{1\\}$ e seja $H=\\left<g\\right>$. Temos que $1<|H|$ e que $|H|\\mid |G|=p$. Logo, $|H|=|G|$ e obtemos que $H=G$. Isso significa que $G=\\left<g\\right>$; ou seja, $G$ \u00e9 c\u00edclico.<\/p>\n

      O resultado seguinte \u00e9 particularmente \u00fatil no estudo de grupos multiplicativos de corpos. Antes do resultado relembremos que se $n\\in\\mathbb N$, ent\u00e3o
      \n\\[
      \n\\varphi(n)=|\\{k\\mid 1\\leq k\\leq n,\\ \\mbox{mdc}(n,k)=1\\}|.
      \n\\]
      \nA seguinte igualdade \u00e9 bem conhecida:
      \n\\[
      \n\\sum_{d\\mid n}\\varphi(d)=n.
      \n\\]<\/p>\n

      Teorema.<\/strong> Seja $G$ um subgrupo finito do grupo multiplicativo de um corpo $\\mathbb F$. Ent\u00e3o $G$ \u00e9 c\u00edclico.<\/p>\n

      Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Ponha $n=|G|$. Se $g\\in G$, ent\u00e3o a ordem de $g$ divide $|G|=n$ por um exerc\u00edcio anterior. Seja $d$ um divisor de $n$ e assuma que existe um elemento $g\\in G$ com ordem $d$. Seja $H=\\left<g\\right>$. Sabe-se que $|H|=|g|=d$. Ent\u00e3o $h^d=1$ vale para todo $h\\in H$ e os elementos de $H$ s\u00e3o solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o polinomial
      \n\\[
      \nx^d-1=0.
      \n\\]
      \nEsta \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o de grau $d$ ent\u00e3o possui no m\u00e1ximo $d$ solu\u00e7\u00f5es em $\\mathbb F$. Mas o subgrupo $H$ j\u00e1 possui $d$ solu\u00e7\u00f5es, ent\u00e3o temos obrigatoriamente que
      \n\\[
      \nH=\\{x\\in \\mathbb F\\mid x^d=1\\}.
      \n\\]
      \nSe $h\\in H$, ent\u00e3o $h=g^i$ com algum $i=0,\\ldots,d-1$ e $|h|=|g|\/\\mbox{mdc}(d,i)$. Isto quer dizer que $|h|=d$ se e somente se $\\mbox{mdc}(d,i)=1$; ou seja, o n\u00famero de elementos em $H$ com ordem $d$ \u00e9 $\\varphi(d)$.<\/p>\n

      Seja $m_d$ o n\u00famero de elementos de $G$ com ordem $d$. O que acabamos de provar com o argumento no par\u00e1grafo anterior \u00e9 a seguinte afirma\u00e7\u00e3o:\u00a0 Se $d\\mid n$, ent\u00e3o $m_d=0$ ou $m_d=\\varphi(d)$; caso contr\u00e1rio $m_d=0$. Em particular $m_d\\leq\\varphi(d)$ para todo $d$.<\/p>\n

      Contando os elementos de $G$, obtemos que
      \n\\[
      \n|G|=n=\\sum_{d\\mid n}m_d\\leq\u00a0\\sum_{d\\mid n}\\varphi(d)=n.
      \n\\]
      \n(A \u00faltima igualdade \u00e9 por causa do resultado citado sobre $\\varphi(n)$ antes do teorema.) Note que a igualdade na linha anterior implica que a desigualdade no meio precisa ser igualdade. Mas isso \u00e9 poss\u00edvel somente quando $m_d=\\varphi(d)$ vale para todo $d\\mid n$. Em particular, $m_n=\\varphi(n)$; ou seja, $G$ possui um elemento de ordem $n$. Se $g\\in G$ \u00e9 tal elemento, ent\u00e3o $G=\\left<g\\right>$.<\/p>\n

      Corol\u00e1rio.<\/strong>\u00a0O grupo $(\\mathbb Z_p\\setminus\\{0\\},\\cdot)$ \u00e9 c\u00edclico.<\/p>\n

      Se $g\\in \\mathbb Z_p\\setminus\\{0\\}$ \u00e9 um gerador do grupo multiplicativo de $\\mathbb Z_p$, ent\u00e3o o elemento $g$ \u00e9 chamado de elemento primitivo<\/em> de $\\mathbb Z_p$. Se $g\\in \\mathbb Z_p$ \u00e9 um elemento primitivo, ent\u00e3o
      \n\\[
      \n\\mathbb Z_p=\\{0,1=g^0,g^1,g^2,\\ldots,g^{p-2}\\}.
      \n\\]<\/p>\n

      Geralmente, $\\mathbb Z_p$ possui v\u00e1rios elementos primitivos.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      Seja $G$ um grupo e $X$ um subconjunto n\u00e3o vazio de $G$. Denotamos por $\\left<X\\right>$ o subgrupo gerado por $X$. Quando $X=\\{x_1,\\ldots,x_k\\}$, escrevemos $\\left<x_1,\\ldots,x_k\\right>$. O subgrupo $\\left<X\\right>$ pode ser caraterizado como o conjunto de todos os produtos nos elementos de $X$ e seus inversos: \\[ \\left<X\\right>=\\left\\{x_1^{\\pm 1}\\cdots x_m^{\\pm 1}\\mid m\\geq 1 \\mbox{ e } x_i\\in … Continue reading Conjuntos geradores e grupos c\u00edclicos<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":684,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/746"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=746"}],"version-history":[{"count":6,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/746\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":892,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/746\/revisions\/892"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/684"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=746"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}