{"id":735,"date":"2020-08-06T18:03:15","date_gmt":"2020-08-06T18:03:15","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=735"},"modified":"2022-04-18T20:47:11","modified_gmt":"2022-04-18T23:47:11","slug":"divisibilidade-e-o-mdc","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-a\/divisibilidade-e-o-mdc\/","title":{"rendered":"Divisibilidade e o MDC"},"content":{"rendered":"
\n
\nSejam $a,b\\in \\Z$. Dizemos que $b$ divide $a$<\/em> ou que $a$ \u00e9 um m\u00faltiplo de $b$<\/em> se existe $q\\in\\Z$, tal que $bq=a$. Usamos a nota\u00e7\u00e3o $b|a$ para indicar que $b$ divide $a$.\n<\/div>\n
\n
    \n
  1. $\\pm a|a$ e $\\pm 1|a$\u00a0para todo inteiro $a$.<\/li>\n
  2. $a|0$ para todo inteiro $a$, mas se $0|a$ ent\u00e3o $a=0$. Em particular $0|0$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    As seguintes propriedades s\u00e3o v\u00e1lidas.<\/p>\n
      \n
    1. Se $a|b$ e $b|a$ ent\u00e3o $b=\\pm a$.<\/li>\n
    2. Se $a|b$ e $b|c$ ent\u00e3o $a|c$.<\/li>\n
    3. Se $a|b$ e $a|c$ ent\u00e3o $a|(b\\pm c)$.<\/li>\n
    4. Se $a|b$ e $c$ \u00e9 um inteiro ent\u00e3o $a|bc$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
      Exerc\u00edcio.\n<\/div>\n
      \nSejam $a$ e $b$ n\u00fameros inteiros n\u00e3o simultaneamente iguais a zero. Definimos o maior divisor comum de $a$ e $b$\u00a0<\/em>como sendo o inteiro $d$ que satisfaz as seguintes propriedades:<\/p>\n
        \n
      1. $d\\geq 0$;<\/li>\n
      2. $d|a$ e $d|b$;<\/li>\n
      3. se $c$ \u00e9 um inteiro tal que $c|a$ e $c|b$ ent\u00e3o $c|d$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n

        N\u00e3o \u00e9 imediatamente claro da defini\u00e7\u00e3o que o maior divisor comum existe. No entanto, segue da defini\u00e7\u00e3o que se ele existir, ent\u00e3o ele deve ser \u00fanico. Isso porque se $d_1$ e $d_2$ s\u00e3o mdcs de $a$ e $b$, ent\u00e3o a defini\u00e7\u00e3o implica que $d_1|d_2$ e $d_2|d_1$. Ora temos pelo lema anterior que $d_1=\\pm d_2$, mas como $d_1$ e $d_2$ s\u00e3o n\u00e3o negativos, isso \u00e9 poss\u00edvel apenas quando $d_1=d_2$.<\/p>\n

        O maior divisor comum de $a$ e $b$ ser\u00e1 denotado por $\\mdc ab$.<\/p>\n

        \u00c9 claro que $\\mdc ab=\\mdc ba$ e que $\\mdc ab=\\mdc{\\pm a}{\\pm b}$. A defini\u00e7\u00e3o tamb\u00e9m implica que $\\mdc a0=|a|$ para todo $a\\neq 0$.<\/p>\n

        \nSe $a$ e $b$ s\u00e3o inteiros tais que $\\mdc ab=1$, ent\u00e3o dizemos que $a$ e $b$ s\u00e3o primos entre si<\/em> ou que eles s\u00e3o coprimos<\/em>.\n<\/div>\n
        Sejam $a,b\\in\\Z$ com $b\\neq 0$ e escreve $a=qb+r$ com $0\\leq r<|b|$ como no Teorema de Divis\u00e3o de Euclides. Ent\u00e3o $\\mdc ab=\\mdc br$ (assumindo que existem estes mdcs).\n<\/div>\n
        \u00a0Seja $d=\\mdc ab$. Afirmamos que $\\mdc br=d$. Primeiro, $d\\geq 0$ pela defini\u00e7\u00e3o de mdc (propriedade 1. do mdc). Como $d=\\mdc ab$, temos que $d|a$ e $d|b$. Pelo lema anterior, isto implica que $d|(a-qb)=r$. Logo $d|b$ e $d|r$ (propriedade 2. do mdc).<\/p>\n

        Assuma que $c|b$ e $c|r$. Ent\u00e3o, $c|(bq+r)=a$, ent\u00e3o $c|a$ e $c|b$. Pela defini\u00e7\u00e3o de mdc, temos que $c|d$ (propriedade 3. do mdc). Portanto $d=\\mdc br$.\n<\/p><\/div>\n

        \nO lema anterior pode ser usado para determinar o mdc de dois n\u00fameros naturais do modo seguinte. Sejam,. por exemplo, $a=115$ e $b=25$. Escreva
        \n\\[
        \n115=4\\cdot 25+10
        \n\\]
        \npara concluir que $\\mdc {115}{25}=\\mdc{25}{10}$. Depois escreva
        \n\\[
        \n25=2\\cdot 10+5
        \n\\]
        \ne obtenha que $\\mdc{25}{10}=\\mdc{10}{5}$.
        \nDepois
        \n\\[
        \n10=2\\cdot 5+0
        \n\\]
        \nque implica que $\\mdc{10}5=\\mdc 50=5$. Logo
        \n\\[
        \n\\mdc {115}{25}=\\mdc{25}{10}=\\mdc{10}{5}=\\mdc 50=5.
        \n\\]
        \nEsta conta segue essencialmente o Algoritmo de Eucl\u00eddes que ser\u00e1 o conte\u00fado da semana seguinte.\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

        Sejam $a,b\\in \\Z$. Dizemos que $b$ divide $a$ ou que $a$ \u00e9 um m\u00faltiplo de $b$ se existe $q\\in\\Z$, tal que $bq=a$. Usamos a nota\u00e7\u00e3o $b|a$ para indicar que $b$ divide $a$. $\\pm a|a$ e $\\pm 1|a$\u00a0para todo inteiro $a$. $a|0$ para todo inteiro $a$, mas se $0|a$ ent\u00e3o $a=0$. Em particular $0|0$. As seguintes … Continue reading Divisibilidade e o MDC<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":706,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/735"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=735"}],"version-history":[{"count":12,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/735\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1748,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/735\/revisions\/1748"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/706"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=735"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}