{"id":730,"date":"2020-08-03T18:49:10","date_gmt":"2020-08-03T18:49:10","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=730"},"modified":"2020-08-07T20:48:49","modified_gmt":"2020-08-07T20:48:49","slug":"semana-2-classes-laterais-e-o-teorema-de-lagrange","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/grupos-e-corpos\/semana-2-classes-laterais-e-o-teorema-de-lagrange\/","title":{"rendered":"Classes laterais e o Teorema de Lagrange"},"content":{"rendered":"

Seja $G$ um grupo e $H\\leq G$ (subgrupo de $G$). Se $g\\in G$, ent\u00e3o o conjunto
\n\\[
\ngH=\\{gh\\mid h\\in H\\}
\n\\]
\n\u00e9 chamado de classe lateral \u00e0 esquerda<\/em> (de $H$ em $G$). O conjunto
\n\\[
\nHg=\\{hg\\mid h\\in H\\}
\n\\]
\n\u00e9 chamado de classe lateral \u00e0 direita<\/em>\u00a0(de $H$ em $G$).<\/p>\n

Exemplo.\u00a0<\/strong>Seja $G=S_3$ e seja $H=\\{1,(1,2)\\}$. Ent\u00e3o temos as seguintes classes laterais:
\n\\begin{eqnarray*}
\nH\\cdot 1&=&H(1,2)=H=\\{1,(1,2)\\};\\\\
\nH(1,3)&=&H(1,2,3)=\\{(1,3),(1,2,3)\\};\\\\
\nH(2,3)&=&H(1,3,2)=\\{(2,3),(1,3,2)\\};\\\\
\n1H&=&(1,2)H=H=\\{1,(1,2)\\};\\\\
\n(1,3)H&=&(1,3,2)H=\\{(1,3),(1,3,2)\\};\\\\
\n(2,3)H&=&(1,2,3)H=\\{(2,3),(1,2,3)\\}.
\n\\end{eqnarray*}
\nPortanto, $H$ tem tr\u00eas classes laterais \u00e0 direita e tr\u00eas classes laterais \u00e0 esquerda.<\/p>\n

No seguinte lema, vamos enunciar algumas propriedades das classes laterais. N\u00f3s vamos tratar apenas classes laterais \u00e0 direita, propriedades an\u00e1logas podem ser verificadas para classes laterais \u00e0 esquerda.<\/p>\n

Lema.\u00a0<\/strong>As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o verdadeiras para um subgrupo $H\\leq G$ e para $g,g_1,g_2\\in G$:<\/p>\n

    \n
  1. $Hg\\subseteq G$;<\/li>\n
  2. se $g_1,g_2\\in G$, ent\u00e3o $Hg_1=Hg_2$ se e somente se $g_1g_2^{-1}\\in H$; em particular $Hg=H$ se e somente se $g\\in H$.<\/li>\n
  3. $|Hg|=|H|$;<\/li>\n
  4. $H(g_1g_2)=(Hg_1)g_2$;<\/li>\n
  5. se $g_1,g_2\\in G$ tais que $Hg_1\\cap Hg_2\\neq \\emptyset$, ent\u00e3o $Hg_1=Hg_2$.<\/li>\n<\/ol>\n

    Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong>\u00a0Itens 1., 2., e 4. ser\u00e3o exerc\u00edcios.<\/p>\n

    3. Defina $\\psi:H\\to Hg$, como $\\psi(h)=hg$. Ent\u00e3o $\\psi$ \u00e9 sobrejetivo pela defini\u00e7\u00e3o de $Hg$. Se $\\psi(h_1)=\\psi(h_2)$, ent\u00e3o $h_1g=h_2g$, que implica que $h_1=h_2$. Portanto $\\psi$ \u00e9 injetivo, e em particular $\\psi$ \u00e9 uma bije\u00e7\u00e3o entre $H$ e $Hg$. Isto implica que $|H|=|Hg|$.<\/p>\n

    5. Assuma que $x\\in Hg_1\\cap Hg_2$. Portanto $x=h_1g_1=h_2g_2$ com $h_1,h_2\\in H$. Isto implica que $h_2^{-1}h_1=g_2g_1^{-1}$ e em particular que $g_2g_1^{-1}\\in H$. Ora, item 2. implica que $Hg_2=Hg_1$.<\/p>\n

    Se\u00a0 $H\\leq G$, ent\u00e3o o lema anterior implica que as classes laterais $Hg$ \u00e0 direita (ou \u00e0 esquerda) formam uma parti\u00e7\u00e3o do conjunto $G$. Al\u00e9m disso, cada classe lateral tem a mesma cardinalidade (igual \u00e0 cardinalidade de $H$). Assuma $G$ \u00e9 finito e que $Hg_1,\\ldots,Hg_k$ s\u00e3o as classes laterais distintas de $H$. Temos que
    \n\\[
    \nG=Hg_1\\cup \\cdots\\cup Hg_k
    \n\\]
    \nonde a uni\u00e3o \u00e9 disjunta. Portanto
    \n\\[
    \n|G|=|Hg_1|+\\cdots+|Hg_k|=|H|+\\cdots+|H|=k|H|.
    \n\\]
    \nAssim obtemos o Teorema de Lagrange.<\/p>\n

    Teorema (Lagrange<\/a>).\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo finito e $H$ um subgrupo de $G$. Ent\u00e3o $|H|$ \u00e9 um divisor de $|G|$.<\/p>\n

    O quociente $|G|\/|H|$ \u00e9 igual ao n\u00famero de classes laterais \u00e0 direita (ou\u00a0 \u00e0 esquerda) de $H$ em $G$ e \u00e9 chamado de \u00edndice de $H$ em $G$<\/em>.<\/p>\n

     <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Seja $G$ um grupo e $H\\leq G$ (subgrupo de $G$). Se $g\\in G$, ent\u00e3o o conjunto \\[ gH=\\{gh\\mid h\\in H\\} \\] \u00e9 chamado de classe lateral \u00e0 esquerda (de $H$ em $G$). O conjunto \\[ Hg=\\{hg\\mid h\\in H\\} \\] \u00e9 chamado de classe lateral \u00e0 direita\u00a0(de $H$ em $G$). Exemplo.\u00a0Seja $G=S_3$ e seja $H=\\{1,(1,2)\\}$. Ent\u00e3o … Continue reading Classes laterais e o Teorema de Lagrange<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":684,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/730"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=730"}],"version-history":[{"count":6,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/730\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":749,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/730\/revisions\/749"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/684"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=730"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}