{"id":694,"date":"2020-07-27T01:22:05","date_gmt":"2020-07-27T01:22:05","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=694"},"modified":"2020-08-01T13:36:57","modified_gmt":"2020-08-01T13:36:57","slug":"exercicios-1","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/grupos-e-corpos\/exercicios-1\/","title":{"rendered":"Exerc\u00edcios 1"},"content":{"rendered":"<p>$\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}\\newcommand{\\C}{\\mathbb C}\\newcommand{\\K}{\\mathbb K}\\newcommand{\\sym}[1]{{\\rm Sym}(#1)}$1. Quais das seguintes estruturas alg\u00e9bricas s\u00e3o grupos?<\/p>\n<ul>\n<li>$(\\Z,+)$,<\/li>\n<li>$(\\Z,\\cdot)$,<\/li>\n<li>$(\\Z_p,\\cdot)$,<\/li>\n<li>$(\\Z_p\\setminus\\{0\\},\\cdot)$ (com $p$ primo),<\/li>\n<li>$(\\Z_n,+)$ (com $n$ inteiro),<\/li>\n<li>$(\\Z_{12}\\setminus\\{0\\},\\cdot)$,<\/li>\n<li>$(\\{1,5,7,11\\}\\subseteq \\Z_{12},\\cdot)$,<\/li>\n<li>$(\\{z\\in \\C\\mid z^n=1\\},\\cdot)$ (com $n$ inteiro).<\/li>\n<\/ul>\n<p>2. Seja $G$ um grupo, $g\\in G$ e sejam $m,n\\in\\Z$. Lembrando que<br \/>\n$g^{-m}=(g^{-1})^m$, demonstre as seguintes identidades:<\/p>\n<ul>\n<li>$g^{m+n}=g^mg^n$;<\/li>\n<li>$g^{mn}=(g^m)^n$.<\/li>\n<\/ul>\n<p>3. Seja $g\\in G$ um elemento de ordem $k$ e seja $m\\in\\Z$. Mostre que<br \/>\n$|g^m|=k\/\\mbox{mdc}(k,m)$.<\/p>\n<p>4. Escreva uma lista dos elementos dos grupos $D_5$ e $D_{6}$. Calcule a ordem de<br \/>\ncada elemento.<\/p>\n<p>5. Seja $g\\in G$ e $n\\in \\N$ tal que $g^n=1$. Mostre que $|g|\\mid n$.<\/p>\n<p>6. Sejam $g,h\\in G$ tal que $gh=hg$.<\/p>\n<ul>\n<li>Mostre que $|gh|$ divide $\\mbox{mmc}(|g|,|h|)$.<\/li>\n<li>Ache exemplos nos quais $|gh|&lt;\\mbox{mmc}(|g|,|h|)$.<\/li>\n<li>Mostre, exibindo um exemplo, que a condi\u00e7\u00e3o $gh=hg$ \u00e9 necess\u00e1ria para provar o primeiro item.<\/li>\n<\/ul>\n<p>7. Seja $G$ um grupo tal que $xy=zx$ implica que $y=z$ para todo $x,y,z\\in G$.<br \/>\nMostre que $G$ \u00e9 comutativo.<\/p>\n<p>8. Calcule as ordens dos elementos de $S_4$.<\/p>\n<p>9. Escreva a lista dos elementos de $\\mbox{GL}(2,3)$.<\/p>\n<p>10. Seja $p$ um primo. Mostre que<br \/>\n\\[<br \/>\n|GL(n,p)|=p^{n(n-1)\/2}\\prod_{i=1}^n(p^i-1).<br \/>\n\\]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>$\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\N}{\\mathbb N}\\newcommand{\\C}{\\mathbb C}\\newcommand{\\K}{\\mathbb K}\\newcommand{\\sym}[1]{{\\rm Sym}(#1)}$1. Quais das seguintes estruturas alg\u00e9bricas s\u00e3o grupos? $(\\Z,+)$, $(\\Z,\\cdot)$, $(\\Z_p,\\cdot)$, $(\\Z_p\\setminus\\{0\\},\\cdot)$ (com $p$ primo), $(\\Z_n,+)$ (com $n$ inteiro), $(\\Z_{12}\\setminus\\{0\\},\\cdot)$, $(\\{1,5,7,11\\}\\subseteq \\Z_{12},\\cdot)$, $(\\{z\\in \\C\\mid z^n=1\\},\\cdot)$ (com $n$ inteiro). 2. Seja $G$ um grupo, $g\\in G$ e sejam $m,n\\in\\Z$. Lembrando que $g^{-m}=(g^{-1})^m$, demonstre as seguintes identidades: $g^{m+n}=g^mg^n$; $g^{mn}=(g^m)^n$. 3. Seja &hellip; <a href=\"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/grupos-e-corpos\/exercicios-1\/\" class=\"more-link\">Continue reading <span class=\"screen-reader-text\">Exerc\u00edcios 1<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":684,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/694"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=694"}],"version-history":[{"count":4,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/694\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":718,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/694\/revisions\/718"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/684"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=694"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}