{"id":687,"date":"2020-07-26T22:14:21","date_gmt":"2020-07-26T22:14:21","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=687"},"modified":"2020-08-01T13:18:17","modified_gmt":"2020-08-01T13:18:17","slug":"as-primeiras-defincoes","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/grupos-e-corpos\/as-primeiras-defincoes\/","title":{"rendered":"As primeiras defin\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"<p>$\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}\\newcommand{\\C}{\\mathbb C}\\newcommand{\\K}{\\mathbb K}\\newcommand{\\sym}[1]{{\\rm Sym}(#1)}$Seja $X$ um conjunto. Uma fun\u00e7\u00e3o $f\\colon X\\times X\\to X$ \u00e9 dita uma <em>opera\u00e7\u00e3o bin\u00e1ria,\u00a0<\/em>ou simplesmente uma <em>opera\u00e7\u00e3o<\/em>. Se $x,y\\in X$, ent\u00e3o o resultado da opera\u00e7\u00e3o entre $x$ e $y$ \u00e9 $f(x,y)$. Normalmente o resultado de uma opera\u00e7\u00e3o entre $x,y\\in X$ ser\u00e1 escrito como $x\\cdot y$, $x+y$, $x\\circ y$, $x\\diamond y$, ou, quando n\u00e3o houver risco de ambiguidade, simplesmente como $xy$.<\/p>\n<p>Sejam $X$ um conjunto e $\\cdot$ uma opera\u00e7\u00e3o em $X$.<\/p>\n<ul>\n<li>A opera\u00e7\u00e3o $\\cdot$ \u00e9 dita <em>associativa<\/em>, se $(x\\cdot y)\\cdot z=x\\cdot(y\\cdot z)$ para todo $x,y,z\\in X$.<\/li>\n<li>A opera\u00e7\u00e3o $\\cdot$ \u00e9 dita <em>comutativa<\/em>, se $x\\cdot y=y\\cdot x$ para todo $x,y\\in X$.<\/li>\n<li>$X$ possui <em>elemento neutro<\/em> para a opera\u00e7\u00e3o $\\cdot$, se existir um elemento $e\\in X$ tal que $ex=xe=x$ para todo $x\\in X$.<\/li>\n<li>Assuma que $X$ possui elemento neutro $e$ para a opera\u00e7\u00e3o $\\cdot$ e seja $x\\in X$. Diz-se que $x$ possui <em>inverso<\/em>, se existe $y\\in X$ tal que $xy=yx=e$. O elemento $y$ \u00e9 dito <em>um\u00a0inverso<\/em> de $x$ (o inverso pode n\u00e3o ser \u00fanico).<\/li>\n<\/ul>\n<p><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>Defini\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Assuma que $X$ \u00e9 um conjunto com uma opera\u00e7\u00e3o $\\cdot$. Dizemos que $X$ \u00e9 um <em>grupo<\/em> se<\/span><\/p>\n<ul>\n<li><span style=\"color: #ff0000;\">a opera\u00e7\u00e3o $\\cdot$ \u00e9 associativa;<\/span><\/li>\n<li><span style=\"color: #ff0000;\">$X$ possui elemento neutro;<\/span><\/li>\n<li><span style=\"color: #ff0000;\">todo elemento de $X$ possui inverso.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p><span style=\"color: #ff0000;\">Al\u00e9m disso, se a $\\cdot$ \u00e9 comutativa, ent\u00e3o $X$ \u00e9 dito <em>grupo comutativo<\/em> ou <em>grupo abeliano<\/em>.<\/span><\/p>\n<p>Se $G$ \u00e9 um grupo com a opera\u00e7\u00e3o $\\cdot$, ent\u00e3o, para evitar ambiguidade, escrevemos que <em>$(G,\\cdot)$ \u00e9 um grupo<\/em>. Quando n\u00e3o h\u00e1 perigo de ambiguidade, escreve-se simplesmente que <em>$G$ \u00e9 um grupo<\/em>. Por exemplo, $(\\Z,+)$ \u00e9 um grupo, mas $(\\Z,\\cdot)$ n\u00e3o \u00e9.<\/p>\n<p><span style=\"color: #000080;\"><strong>Lema.\u00a0<\/strong>Seja $G$ um grupo.<\/span><\/p>\n<ul>\n<li><span style=\"color: #000080;\">O elemento neutro de $G$ \u00e9 \u00fanico.<\/span><\/li>\n<li><span style=\"color: #000080;\">Se $g\\in G$, o inverso de $G$ \u00e9 \u00fanico.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>Demonstra\u00e7\u00e3o.\u00a0<\/strong>Exerc\u00edcio.<\/p>\n<p>Usamos dois sistemas principais de nota\u00e7\u00f5es quando consideramos grupos:<br \/>\n<strong>Nota\u00e7\u00e3o aditiva:\u00a0<\/strong>a opera\u00e7\u00e3o \u00e9 denotada por $+$, o elemento neutro por $0$, o inverso de $g$ por $-g$. A soma $g+\\cdots+g$ ($n$ vezes) est\u00e1 escrita como $n\\cdot g$ ou $ng$. Se $n$ for um n\u00famero natural, elemento $n(-g)=-(ng)$ ser\u00e1 escrita como $-ng$. Concordamos tamb\u00e9m que $0g=0$. Esta nota\u00e7\u00e3o \u00e9 usada principalmente em grupos abelianos.<br \/>\n<strong>Nota\u00e7\u00e3o multiplicativa:\u00a0<\/strong>A opera\u00e7\u00e3o \u00e9 denotada por $\\cdot$ ou simplesmente por concatena\u00e7\u00e3o, por exemplo $xy$. O elemento neutro \u00e9 denotado por $1$, o inverso de $g$ por $g^{-1}$. O produto $g\\cdots g$ ($n$ vezes) ser\u00e1 escrito como $g^n$. Se $n$ for um n\u00famero natural, o elemento $(g^{-1})^n=(g^n)^{-1}$ ser\u00e1 escrito como $g^{-n}$. Al\u00e9m disso, $g^0=1$. Esta nota\u00e7\u00e3o \u00e9 mais comum que a nota\u00e7\u00e3o aditiva e pode ser usada em grupos abelianos e tamb\u00e9m em grupos n\u00e3o abelianos.<\/p>\n<p><span style=\"color: #008000;\"><br \/>\n<strong>Exemplos.<\/strong>\u00a0Aqui s\u00e3o os primeiros exemplos de grupos. Ao longo da disciplina, n\u00f3s vamos estudar exemplos mais complexos. O conceito do corpo ser\u00e1 introduzido mais tarde. Quem n\u00e3o sabe o que \u00e9 um corpo, pode pensar simplesmente em $\\Q$, $\\R$, $\\C$, ou $\\Z_p$.<\/span><\/p>\n<ul style=\"color: #008000;\">\n<li>$(\\Z,+)$ \u00e9 um grupo abeliano.<\/li>\n<li>os conjuntos $\\{1,-1\\}$, $\\{1,-1,i,-i\\}$ s\u00e3o grupos abelianos com a multiplica\u00e7\u00e3o ($i$ \u00e9 a unidade imagin\u00e1ria).<\/li>\n<li>Se $\\K$ \u00e9 um corpo, ent\u00e3o $(\\K,+)$ e $(\\K\\setminus\\{0\\},\\cdot)$ s\u00e3o grupos abelianos.<\/li>\n<li>Seja $X$ um conjunto n\u00e3o vaziu. Definimos<br \/>\n\\[<br \/>\n\\sym X=\\{f\\colon X\\to X\\mid \\mbox{$f$ \u00e9 bijetiva}\\}.<br \/>\n\\]<br \/>\nO conjunto $\\sym X$ \u00e9\u00a0 um grupo com a opera\u00e7\u00e3o de composi\u00e7\u00e3o e o nome deste grupo \u00e9 o <em>grupo sim\u00e9trico<\/em> sobre o conjunto $X$. Os elementos de $\\sym X$ s\u00e3o chamadas de <em>permuta\u00e7\u00f5es <\/em>(do conjunto $X$). Frequentemente, $X=\\{1,\\ldots,n\\}$ e neste caso escrevemos $\\sym X=S_n$ e o nome do grupo \u00e9 <em>grupo sim\u00e9trico de grau<\/em> $n$.<\/li>\n<li>Se $V$ \u00e9 um espa\u00e7o vetorial sobre um corpo $\\K$, ent\u00e3o definimos<br \/>\n\\[<br \/>\nGL(V)=\\{f\\colon V\\to V\\mid \\mbox{$f$ \u00e9 linear a bijetiva}\\}.<br \/>\n\\]<br \/>\nO conjunto $GL(V)$ \u00e9 um grupo com a opera\u00e7\u00e3o de composi\u00e7\u00e3o. O grupo $GL(V)$ \u00e9 chamado de <em>grupo geral linear<\/em>. Se $V$ tem dimens\u00e3o finita, ent\u00e3o pode-se definir<br \/>\n\\[<br \/>\nSL(V)=\\{f\\in GL(V)\\mid \\det f=1\\}<br \/>\n\\]<br \/>\n(Note que o determinante de um operador linear de um espa\u00e7o de dimens\u00e3o finita \u00e9 bem definido e independe da base.) O grupo $SL(V)$ \u00e9 chamado de <em>grupo especial linear<\/em>.<\/li>\n<li>Seja $\\K$ um corpo e $n\\geq 1$. Defina<br \/>\n\\[<br \/>\nGL(n,\\K)=\\{A\\in M_{n\\times n}(\\K)\\mid \\mbox{$A$ \u00e9 invert\u00edvel}\\}<br \/>\n\\]<br \/>\ne<br \/>\n\\[<br \/>\nSL(n,\\K)=\\{A\\in GL(n,\\K)\\mid \\det A=1\\}.<br \/>\n\\]<br \/>\nOs estes conjuntos s\u00e3o grupos com a opera\u00e7\u00e3o de multiplica\u00e7\u00e3o matricial.<br \/>\nOs grupos $GL(n,\\K)$ e $SL(n,\\K)$ s\u00e3o tamb\u00e9m chamados de grupo geral linear e grupo especial linear. Se $\\K=\\Z_p$, ent\u00e3o escrevemos $GL(n,p)$ and $SL(n,p)$ para $GL(n,\\Z_p)$ e para $SL(n,\\Z_p)$. Se $V$ \u00e9 um espa\u00e7o vetorial de dimens\u00e3o $n$ sobre $\\K$, ent\u00e3o os grupos $GL(V)$, $GL(n,\\K)$, e $SL(V)$, $SL(n,\\K)$ s\u00e3o claramente relacionados, e n\u00f3s vamos estudar esta rela\u00e7\u00e3o mais tarde quando tratarmos o conceito de isomorfismo. Neste momento \u00e9 importante entender que\u00a0\u00a0$GL(V)$ e $GL(n,\\K)$ n\u00e3o s\u00e3o id\u00eanticos (iguais).<\/li>\n<li>Seja $n\\geq 3$ and considere um pol\u00edgono regular com $n$ lados desenhado no plano. Este pol\u00edgono possui $n$ simetrias de rota\u00e7\u00e3o (por $360\/n$ graus para $n=0,\\ldots,n-1$) e $n$ simetrias reflexivas. A cole\u00e7\u00e3o destas simetrias \u00e9 fechada para a composi\u00e7\u00e3o e \u00e9 chamada de <em>grupo diedral<\/em> de grau $n$. O grupo diedral \u00e9 denotado por $D_n$.<\/li>\n<\/ul>\n<p><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>Defini\u00e7\u00e3o.<\/strong> A <em>ordem<\/em> de um grupo $X$ \u00e9 a cardinalidade de $X$ e \u00e9 denotada por $|X|$.\u00a0 Por exemplo $|S_n|=n!$ e $|D_n|=2n$. Se $x\\in X$, ent\u00e3o a <em>ordem<\/em> $|x|$ de $x$ \u00e9 definida na maneira seguinte. Se existir $n\\geq 1$ tal que $x^n=1$, ent\u00e3o $|x|$ \u00e9 igual ao menor tal $n\\geq 1$. Se tal n\u00famero $n$ n\u00e3o existir, ent\u00e3o $|x|$ \u00e9 infinito.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"color: #ff0000;\"><strong>Defini\u00e7\u00e3o.<\/strong> Seja $X$ um grupo, e $Y\\subseteq X$. Dizemos que $Y$ \u00e9 um <em>subgrupo<\/em> de $X$ se $Y$ \u00e9 fechado para produto e para inversos; ou seja, para todo $x,y\\in Y$,<\/span><\/p>\n<ul>\n<li><span style=\"color: #ff0000;\">$x\\cdot y\\in Y$;<\/span><\/li>\n<li><span style=\"color: #ff0000;\">$x^{-1}\\in Y$.<\/span><\/li>\n<\/ul>\n<p><span style=\"color: #ff0000;\">Se $Y$ \u00e9 um subgrupo de $X$, ent\u00e3o escrevemos $Y\\leq X$. Note que a defini\u00e7\u00e3o implica que o elemento neutro de $X$ pertence a cada subgrupo $Y$ e ele \u00e9 o elemento neutro de $Y$.<\/span><\/p>\n<p><span style=\"color: #008000;\"><strong>Exemplos.\u00a0<\/strong><\/span><\/p>\n<ul>\n<li><span style=\"color: #008000;\">Se $G$ \u00e9 um grupo, ent\u00e3o $G\\leq G$. Um subgrupo de $G$ diferente de $G$ \u00e9 dito subgrupo <em>pr\u00f3prio<\/em>.<\/span><\/li>\n<li><span style=\"color: #008000;\">Se $G$ \u00e9 um grupo, ent\u00e3o $\\{1\\}\\leq G$ e este \u00e9 o \u00fanico subgrupo com um elemento. Se $H$ \u00e9 um subgrupo e $H\\neq\\{1\\}$, ent\u00e3o $H$ \u00e9 dito <em>n\u00e3o trivial<\/em>.<\/span><\/li>\n<li><span style=\"color: #008000;\">$SL(V)\\leq GL(V)$ e $SL(n,\\K)\\leq GL(n,\\K)$.<\/span><\/li>\n<li><span style=\"color: #008000;\">$\\{2n\\mid n\\in\\Z\\}\\leq \\Z$, mas $\\{2n+1\\mid n\\in\\Z\\}\\not\\leq \\Z$ (considerando a opera\u00e7\u00e3o $+$).<\/span><\/li>\n<li><span style=\"color: #008000;\">$\\{1,-1\\}\\leq\\{1,-1,i,-i\\}$.\u00a0<\/span><\/li>\n<li><span style=\"color: #008000;\">As simetrias rotacionais formam um subgrupo de $D_n$, mas as simetrias reflexivas n\u00e3o (explique porque).<\/span><\/li>\n<\/ul>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>$\\newcommand{\\Z}{\\mathbb Z}\\newcommand{\\R}{\\mathbb R}\\newcommand{\\Q}{\\mathbb Q}\\newcommand{\\C}{\\mathbb C}\\newcommand{\\K}{\\mathbb K}\\newcommand{\\sym}[1]{{\\rm Sym}(#1)}$Seja $X$ um conjunto. Uma fun\u00e7\u00e3o $f\\colon X\\times X\\to X$ \u00e9 dita uma opera\u00e7\u00e3o bin\u00e1ria,\u00a0ou simplesmente uma opera\u00e7\u00e3o. Se $x,y\\in X$, ent\u00e3o o resultado da opera\u00e7\u00e3o entre $x$ e $y$ \u00e9 $f(x,y)$. 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