{"id":2456,"date":"2023-11-10T08:12:57","date_gmt":"2023-11-10T11:12:57","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2456"},"modified":"2023-11-10T09:26:24","modified_gmt":"2023-11-10T12:26:24","slug":"numeros-complexos","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/fundamentos-de-algebra\/numeros-complexos\/","title":{"rendered":"N\u00fameros complexos"},"content":{"rendered":"
\n$\\newcommand{\\real}[1]{\\mathfrak R(#1)}\\newcommand{\\imag}[1]{\\mathfrak I(#1)}\\newcommand{\\argz}[1]{\\mbox{arg}(#1)}\\DeclareMathOperator{\\sen}{sen}\\newcommand{\\cis}[1]{\\cos #1+i\\sen #1}$
\nUm n\u00famero complexo<\/b> \u00e9 uma express\u00e3o na forma $a+bi$ onde $a,b\\in \\R$ e $i$ \u00e9 uma quantidade com a propriedade que
\n$$
\ni^2=-1.
\n$$
\nAs opera\u00e7\u00f5es da soma e multiplica\u00e7\u00e3o entre n\u00fameros complexos s\u00e3o definidos na seguinte maneira:
\n\\begin{align*}
\n(a_1+a_2i)+(b_1+b_2i)&=(a_1+b_1)+(a_2+b_2)i;\\\\
\n(a_1+a_2i)(b_1+b_2i)&=a_1b_1-a_2b_2+(a_1b_2+a_2b_1)i.\\\\
\n\\end{align*}
\nOu seja, a soma est\u00e1 calculada por coordenadas, enquanto a multiplica\u00e7\u00e3o est\u00e1 feita usando a lei distributiva e a regra que $i^2=-1$.<\/p>\n

O conjunto de todos os n\u00fameros complexos \u00e9 denotado por $\\C$. Em outras palavras,
\n$$
\n\\C=\\{a+bi\\mid a,b\\in \\R\\}=\\R+\\R i.
\n$$
\nOs n\u00fameros complexos podem ser visualizados em um plano chamado de plano complexo<\/b>. Cada n\u00famero complexo pode ser visto como um vetor neste plano e a soma entre n\u00fameros complexos corresponde \u00e0 soma de vetores.<\/p>\n

Se $z=a+bi\\in\\C$, ent\u00e3o $a\\in\\R$ \u00e9 dita parte real<\/b> e $b\\in\\R$ \u00e9 chamado de parte imagin\u00e1ria<\/b> de $z$. Escrevemos que
\n$$
\na=\\real z \\qquad\\mbox{e}\\qquad b=\\imag z.
\n$$
\nAssim, temos que $z=\\real z+\\imag z i$.<\/p>\n

Note que $\\R$ pode ser identificado com o subconjunto
\n$$
\n\\{a+0i\\mid a\\in\\R\\}
\n$$
\ndentro de $\\C$ e assim n\u00f3s podemos considerar $\\R$ como um subconjunto de $\\C$. Se $a+0i,b+0i\\in \\R$, ent\u00e3o a sua soma e produto s\u00e3o os mesmos que n\u00f3s j\u00e1 conhecemos em $\\R$:
\n\\begin{align*}
\n(a+0i)+(b+0i)=(a+b)+0i;\\\\
\n(a+0i)(b+0i)=(ab)+0i.
\n\\end{align*}<\/p>\n

Uma outra maneira de enxergar $\\C$ \u00e9 visualizar como um espa\u00e7o vetoriais de dimens\u00e3o 2 sobre $\\R$. De fato, se $a\\in \\R$ e $z=b_1+b_2i$ ent\u00e3o
\n\\[
\naz=(a+0i)(b_1+b_2i)=ab_1+ab_2i.
\n\\]
\nOu seja, multiplica\u00e7\u00e3o por $a$ corresponde ao m\u00faltiplo escalar de vetores em $\\R^2$.<\/p>\n

\n

As seguintes propriedades s\u00e3o v\u00e1lidas para todo n\u00famero complexo $z_1$, $z_2$, $z_3$:<\/p>\n

    \n
  1. A soma \u00e9 associativa: $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$.<\/li>\n
  2. A soma \u00e9 comutativa: $z_1+z_2=z_2+z_1$.<\/li>\n
  3. $0=0+0i$ \u00e9 elemento neutro da soma: $z_1+0=0+z_1=z_1$.<\/li>\n
  4. $-z=-a-bi$ \u00e9 negativo de $z=a+bi$; ou seja, $z+(-z)=0$.<\/li>\n
  5. O produto \u00e9 associativo: $(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)$.<\/li>\n
  6. O produto \u00e9 comutativo: $z_1z_2=z_2z_1$.<\/li>\n
  7. $1=1+0i$ \u00e9 elemento neutro do produto: $1z_1=z_11=z_1$.<\/li>\n
  8. a lei distributiva: $z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$ e $(z_1+z_2)z_3=z_1z_3+z_2z_3$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \nExerc\u00edcio.<\/div>\n

    Para um n\u00famero complexo, $z=a+bi$, definimos $\\bar z=a-bi$. O n\u00famero $\\bar z$ \u00e9 dito conjugado complexo<\/b>. Pode-se tamb\u00e9m definir a norma<\/b>, comprimento<\/b>, ou m\u00f3dulo<\/b> de um n\u00famero complexo $z=a+bi\\in\\C$:
    \n$$
    \n|z|=\\sqrt{a^2+b^2}.
    \n$$
    \nNote que a norma de $z$ est\u00e1 definida usando o Teorema de Pit\u00e1goras e a norma dos n\u00fameros complexos satisfaz as propriedades j\u00e1 conhecidas do comprimento de vetores em $\\R^2$.<\/p>\n

    \n As seguintes propriedades est\u00e3o v\u00e1lidas para a norma $|z|$ de um n\u00famero complexo $z\\in\\C$.<\/p>\n
      \n
    1. $|z|$ \u00e9 um n\u00famero real n\u00e3o negativo.<\/li>\n
    2. $|z|=0$ se e somente se $z=0$;<\/li>\n
    3. $|z_1+z_2|\\leq |z_1|+|z_2|$;<\/li>\n
    4. $|z_1z_2|= |z_1||z_2|$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
      \nTemos que<\/p>\n
        \n
      1. $z=\\bar z$ se e somente se $z\\in\\R$;<\/li>\n
      2. $z+\\bar z=2\\cdot \\real z$;<\/li>\n
      3. $z-\\bar z=2i\\cdot \\imag z$;<\/li>\n
      4. $z\\bar z=|z|^2$;<\/li>\n
      5. $\\overline{z_1+z_2}=\\overline{z_1}+\\overline{z_2}$;<\/li>\n
      6. $\\overline{z_1z_2}=\\overline{z_1}\\overline{z_2}$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n

        Se $z=a+bi\\in\\C\\setminus\\{0\\}$, ent\u00e3o temos que $z\\bar z=|z|^2=a^2+b^2\\neq 0$. Logo
        \n$$
        \n1=z\\left(\\frac{\\bar z}{|z|^2}\\right)=z\\left(\\frac{a-bi}{a^2+b^2}\\right).
        \n$$
        \nEm outras palavras, $\\bar z\/|z|^2=(a-bi)\/(a^2+b^2)$ \u00e9 inverso multiplicativo de $z$.<\/p>\n

        \n Todo n\u00famero complexo $z=a+bi$ n\u00e3o nulo possui inverso multiplicativo $z^{-1}$. Al\u00e9m disso,
        \n\\[
        \nz^{-1}=\\frac{\\bar z}{|z|^2}=\\frac{a-bi}{a^2+b^2}.
        \n\\]
        \nEm particular, $(\\C,+,\\cdot)$ \u00e9 um corpo.<\/div>\n

        Com o inverso multiplicativo, podemos dividir n\u00fameros complexos. De fato, se $z_1,z_2\\in\\C$ com $z_2\\neq 0$, ent\u00e3o definimos
        \n$$
        \n\\frac{z_1}{z_2}=z_1\/z_2=z_1\\cdot z_2^{-1}.
        \n$$
        \nNote que divis\u00e3o por zero n\u00e3o \u00e9 permitido nem com n\u00fameros complexos!<\/p>\n

        Seja $z=a+bi\\in \\C$. O argumento $\\argz z$ de $z$ \u00e9 o \u00e2ngulo $\\vartheta$ que o vetor $z$ tem com a meia reta $[0,\\infty]$. Usando o argumento, se pode escrever $z$ como
        \n\\[
        \nz=|z|(\\cos\\vartheta+i\\sen\\vartheta).
        \n\\]
        \nA forma $z=a+bi$ \u00e9 chamada forma vetorial<\/b> do n\u00famero complexo $z$. A forma $z=|z|(\\cos\\vartheta+i\\sen\\vartheta)$ \u00e9 chamada forma polar<\/b>. O argumento de um n\u00famero complexo n\u00e3o \u00e9 unicamente definido, pois se $\\vartheta$ \u00e9 argumento de $z\\in\\C$, ent\u00e3o os outros argumentos s\u00e3o \u00e2ngulos na forma $\\vartheta+2k\\pi$ onde $k\\in\\Z$. Note que existe \u00fanico argumento de $z$ no intervalo $[0,2\\pi)$ e tamb\u00e9m no intervalo $(-\\pi,\\pi]$.<\/p>\n

        Mais geralmente cada express\u00e3o
        \n$$
        \nz=r(\\cis\\vartheta),\\quad r\\in[0,\\infty)\\mbox{ e } \\vartheta\\in\\R
        \n$$
        \ndefine um n\u00famero complexo. O n\u00famero $r$ \u00e9 igual \u00e0 norma de $z$ (e assim precisa ser um n\u00famero real n\u00e3o negativo) e $\\vartheta$ \u00e9 um dos argumentos. Note que se $r=0$, ent\u00e3o $z=0\\cdot(\\cis\\vartheta)=0$ para todo $\\vartheta$. O argumento do n\u00famero zero n\u00e3o est\u00e1 definido. Por outro lado, se $r_1,r_2>0$ ent\u00e3o
        \n$$
        \nr_1(\\cis{\\vartheta_1})=r_2(\\cis{\\vartheta_2})
        \n$$
        \nse e somente se
        \n$$
        \nr_1=r_2 \\quad\\mbox{e}\\quad \\vartheta_1-\\vartheta_2=2k\\pi\\quad\\mbox{com}\\quad k\\in\\Z.
        \n$$
        \nO n\u00famero $z=r(\\cis \\vartheta)$ est\u00e1 ferquentamente escrito como
        \n$$
        \nr(\\cis\\vartheta)=r\\exp(i\\vartheta)=r\\cdot e^{i\\vartheta}.
        \n$$
        \nNeste momento, tratamos esta express\u00e3o apenas como nota\u00e7\u00e3o. Ela pode ser justificada, por exemplo, considerando as s\u00e9ries de Taylor das fun\u00e7\u00f5es $\\exp$, $\\cos$, $\\sen$. Um caso particular, desta equa\u00e7\u00e3o \u00e9 a famosa Identidade de Euler<\/a>
        \n\\[
        \n-1=\\cos \\pi+i\\sen\\pi=\\exp(i\\pi)=e^{i\\pi}.
        \n\\]
        \nPara aprender mais sobre esta identidade fascinante, recomendamos assistir os v\u00eddeos dos canais         3Blue1Brown<\/a> e Mathologer<\/a>.<\/p>\n

        Note que fazer a adi\u00e7\u00e3o com a forma vetorial \u00e9 f\u00e1cil, mas a multiplica\u00e7\u00e3o \u00e9 bagun\u00e7ada. A vantagem da forma polar \u00e9 que a multiplica\u00e7\u00e3o vira mais natural. Antes de explictar esta observa\u00e7\u00e3o, lembremos as identidades trigonom\u00e9tricas bem conhecidas:
        \n\\begin{align*}
        \n\\sen{(\\alpha+\\beta)}&=\\sen\\alpha\\cos\\beta+\\cos\\alpha\\sen\\beta\\\\
        \n\\cos{(\\alpha+\\beta)}&=\\cos\\alpha\\cos\\beta-\\sen\\alpha\\sen\\beta.
        \n\\end{align*}<\/p>\n

        \n Sejam
        \n\\begin{align*}
        \nz_1&=r_1(\\cos\\vartheta_1+i\\sen\\vartheta_1)=r_1\\exp(i\\vartheta_1)\\mbox{ e}\\\\
        \nz_2&=r_2(\\cos\\vartheta_2+i\\sen\\vartheta_2)=r_1\\exp(i\\vartheta_2)
        \n\\end{align*}
        \nn\u00fameros complexos. Ent\u00e3o
        \n$$
        \nz_1z_2=r_1r_2(\\cos(\\vartheta_1+\\vartheta_2)+i\\sen(\\vartheta_1+\\vartheta_2))=
        \nr_1r_2\\exp(i(\\vartheta_1+\\vartheta_2)).
        \n$$
        \nConsequentemente, $\\argz{z_1z_2}=\\argz{z_1}+\\argz{z_2}$.<\/div>\n
        \n Vamos calcular que
        \n\\begin{align*}
        \nz_2z_2&=r_1(\\cos\\vartheta_1+i\\sen\\vartheta_1)r_2(\\cos\\vartheta_2+i\\sen\\vartheta_2)\\\\&=
        \nr_1r_2(\\cos\\vartheta_1\\cos\\vartheta_2-\\sen\\vartheta_1\\sen\\vartheta_2+i(\\sen\\vartheta_1\\cos\\vartheta_2+\\cos\\vartheta_1\\sen\\vartheta_2))\\\\
        \n&=r_1r_2(\\cos{(\\vartheta_1+\\vartheta_2)}+i\\sen{(\\vartheta_1+\\vartheta_2)}).
        \n\\end{align*}
        \nPronto.<\/div>\n
        \n Se
        \n$$
        \nz=r(\\cis\\vartheta)=r\\exp(i\\vartheta)\\in\\C\\setminus\\{0\\}
        \n$$
        \n(ou seja, $r\\neq 0$), ent\u00e3o
        \n$$
        \nz^{-1}=r^{-1}(\\cis{(-\\vartheta)}).
        \n$$
        \nAl\u00e9m disso, se
        \n\\begin{align*}
        \nz_1&=r_1(\\cos\\vartheta_1+i\\sen\\vartheta_1)=r_1\\exp(i\\vartheta_1);\\\\
        \nz_2&=r_2(\\cos\\vartheta_2+i\\sen\\vartheta_2)=r_1\\exp(i\\vartheta_2)
        \n\\end{align*}
        \ncom $z_2\\neq 0$, ent\u00e3o
        \n$$
        \n\\frac{z_1}{z_2}=z_1z_2^{-1}=\\frac{r_1}{r_2}(\\cis{(\\vartheta_1-\\vartheta_2)})=
        \n\\frac{r_1}{r_2}\\exp{(i(\\vartheta_1-\\vartheta_2))}.
        \n$$<\/div>\n
        \n Vamos calcular que
        \n\\begin{align*}
        \nz\\cdot r^{-1}(\\cis{(-\\vartheta)})&=r(\\cis{(\\vartheta)})\\cdot r^{-1}(\\cis{(-\\vartheta)})\\\\&=rr^{-1}(\\cis{0})=1.
        \n\\end{align*}
        \nIsso implica que $z^{-1}=r^{-1}(\\cis{(-\\vartheta)})$. A outra igualdade sobre $z_1$ e $z_2$ \u00e9 consequ\u00eancia disso.<\/div>\n
        \n Se $z=r(\\cos\\vartheta+i\\sen\\vartheta)$, e $k\\geq 1$, ent\u00e3o
        \n\\[
        \nz^k=r^k(\\cos(k\\vartheta)+i\\sen{(k\\vartheta)}).
        \n\\]<\/div>\n
        \n Segue imediatamente do lema anterior.<\/div>\n

        Se $k\\in\\Z$ negativo e $z\\in\\C\\setminus\\{0\\}$, ent\u00e3o $z^k$ est\u00e1 definido como $(z^{-1})^{-k}$. Por exemplo, $z^{-5}=(z^{-1})^5$. Note que para $z=r(\\cos\\vartheta+i\\sen\\vartheta)$ n\u00e3o nulo, a igualdade
        \n$$
        \nz^k=r^k(\\cos(k\\vartheta)+i\\sen{(k\\vartheta)}).
        \n$$
        \nest\u00e1 v\u00e1lida para todo $k\\in\\Z$ (ou seja, tamb\u00e9m para $k$ negativo). A verifica\u00e7\u00e3o deste fato ser\u00e1 tarefa do leitor.<\/p>\n

        Um n\u00famero complexo $z\\in\\C$ \u00e9 dita $k$-\u00e9sima raiz da unidade<\/b> se $z^k=1$.<\/p>\n

        \n\t Se $k\\geq 1$, ent\u00e3o $\\C$ possui $k$ $k$-\u00e9simas ra\u00edzes distintas da unidade; nomeadamente,
        \n\\[
        \n\\xi_j=\\cos{\\frac{2j\\pi}{k}}+i\\sen{\\frac{2j\\pi}{k}}\\quad\\mbox{com}\\quad j=0,\\ldots,k-1.
        \n\\]<\/div>\n
        \n Primeiro,
        \n$$
        \n\\xi_j^k=\\cos{(2j\\pi)}+i\\sen{(2j\\pi)}=1.
        \n$$
        \nEnt\u00e3o $\\xi_j$ \u00e9 $k$-\u00e9sima raiz da unidade para todo $j$. Afirmamos que os $\\xi_j$ s\u00e3o distintos. Se $\\xi_j=\\xi_m$ com $0\\leq j\\leq m\\leq k-1$, ent\u00e3o $2m\\pi\/k-2j\\pi\/k$ \u00e9 um m\u00faltiplo de $2\\pi$. Assuma que $2m\\pi\/k-2j\\pi\/k=2\\ell\\pi$ com $\\ell\\in\\Z$. Por outro lado,
        \n$$
        \n\\frac{2m\\pi}k-\\frac{2j\\pi}k=\\frac{2(m-j)\\pi}k.
        \n$$
        \nComo $0\\leq m-j\\leq k-1$, obtemos que $2(m-j)\\pi\/k=2\\ell\\pi$ \u00e9 poss\u00edvel apenas para $\\ell=0$. Logo $m=j$ e os $\\xi_j$ com $j\\in\\{0,\\ldots,k-1\\}$ s\u00e3o distintos.<\/p>\n

        Para provar que elas s\u00e3o as \u00fanicas ra\u00edzes, assuma que $\\xi=r(\\cos\\vartheta+i\\sen\\vartheta)$ \u00e9 uma $k$-\u00e9sima raiz da unidade; ou seja, $\\xi^k=1$. Primeiro, observe que $1=|1|=|\\xi^k|=r^k$ e isso implica que $r=1$ e $\\xi=\\cos\\vartheta+i\\sen\\vartheta$. Ademais,
        \n$$
        \n1=\\xi^k=\\cos{(k\\xi)}+i\\sen{(k\\xi)}.
        \n$$
        \nPortanto $k\\xi=2j\\pi$ com algum $j\\in\\Z$. Assumindo sem perder generalidade que $\\xi\\in[0,2\\pi)$, $j=0,\\ldots,k-1$ e $\\xi=2j\\pi\/k$ com $j=0,\\ldots,k-1$. Isso implica que $\\xi=\\xi_j$.<\/p>\n<\/div>\n

        Note que $\\xi_0=1$ e quando $k$ for par, ent\u00e3o $\\xi_{k\/2}=-1$.<\/p>\n

        \n Seja $z\\in\\C$ um n\u00famero complexo n\u00e3o nulo e $k\\geq 1$. Existem exatamente $k$ n\u00fameros distintos $z_0,\\ldots,z_{k-1}\\in\\C$ tais que $z_j^k=z$. Os n\u00fameros $z_j$ s\u00e3o chamados $k$-\u00e9simas ra\u00edzes de $z$.<\/div>\n
        \n Seja $z=r(\\cos\\vartheta+\\sen\\vartheta)$ e ponha
        \n$$
        \nz_0=\\sqrt[k]r(\\cos{(\\vartheta\/k)}+i\\sen{(\\vartheta\/k)}).
        \n$$
        \nClaramente,
        \n$$
        \nz_0^k=(\\sqrt[k]r)^k(\\cos\\vartheta+i\\sen\\vartheta)=z.
        \n$$
        \nAl\u00e9m disso, sejam $\\xi_0,\\ldots,\\xi_{k-1}$ as $k$-\u00e9simas ra\u00edzes da unidade com $\\xi_0=1$ e defina
        \n$$
        \nz_j=\\xi_jz_0\\quad\\mbox{para todo}\\quad j\\in\\{0,\\ldots,k-1\\}.
        \n$$
        \nTemos que
        \n$$
        \n(z_j)^k=(\\xi_jz_0)^k=\\xi_j^jz_0^k=z.
        \n$$
        \nPara provar que $z_0,\\ldots,z_{k-1}$ s\u00e3o distintos, note que se $z_j=z_m$, ent\u00e3o $\\xi_jz_0=\\xi_mz_0$ e a lei cancelativa implica que $\\xi_j=\\xi_m$ e $j=m$.<\/p>\n

        Para provar que n\u00e3o tem mais $k$-\u00e9simas ra\u00edzes de $z$, note que se se $\\zeta\\in\\C$ tal que $\\zeta^k=z$, ent\u00e3o $(\\zeta z_0^{-1})^k=1$ e $\\zeta z_0^{-1}$ \u00e9 uma $k$-\u00e9sima raiz da unidade. Isso implica que $\\zeta z_0^{-1}=\\xi_j$ com algum $j$. Portanto $\\zeta=\\xi_jz_0$ e assim obtivemos todas as $k$-\u00e9simas ra\u00edzes de $z$.<\/p>\n<\/div>\n

        O argumento da prova anterior d\u00e1 express\u00f5es expl\u00edcitas para as $k$-\u00e9simas ra\u00edzes de $z\\in\\C$.<\/p>\n

        \n Assuma que $z=r(\\cis{\\vartheta})\\in\\C$ com $r\\neq 0$ e $k\\geq 0$. As $k$-\u00e9simas ra\u00edzes de $z$ s\u00e3o
        \n\\[
        \nz_j=\\sqrt[k]r\\left(\\cis{\\frac{\\vartheta+2j\\pi}{k}}\\right)\\quad\\mbox{com}\\quad j=0,\\ldots,k-1.
        \n\\]<\/div>\n
        \nCalculando o produto $z_j=z_0\\xi_j$ na demonstra\u00e7\u00e3o anterior, temos que
        \n\\begin{align*}
        \nz_j&=z_0\\xi_j=\\sqrt[k]r(\\cos{(\\vartheta\/k)}+i\\sen{(\\vartheta\/k)})\\left(\\cos{\\frac{2j\\pi}{k}}+i\\sen{\\frac{2j\\pi}{k}}\\right)\\\\&=\\sqrt[k]r\\left(\\cis{\\frac{\\vartheta+2j\\pi}{k}}\\right)x.
        \n\\end{align*}<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

        $\\newcommand{\\real}[1]{\\mathfrak R(#1)}\\newcommand{\\imag}[1]{\\mathfrak I(#1)}\\newcommand{\\argz}[1]{\\mbox{arg}(#1)}\\DeclareMathOperator{\\sen}{sen}\\newcommand{\\cis}[1]{\\cos #1+i\\sen #1}$ Um n\u00famero complexo \u00e9 uma express\u00e3o na forma $a+bi$ onde $a,b\\in \\R$ e $i$ \u00e9 uma quantidade com a propriedade que $$ i^2=-1. $$ As opera\u00e7\u00f5es da soma e multiplica\u00e7\u00e3o entre n\u00fameros complexos s\u00e3o definidos na seguinte maneira: \\begin{align*} (a_1+a_2i)+(b_1+b_2i)&=(a_1+b_1)+(a_2+b_2)i;\\\\ (a_1+a_2i)(b_1+b_2i)&=a_1b_1-a_2b_2+(a_1b_2+a_2b_1)i.\\\\ \\end{align*} Ou seja, a soma est\u00e1 calculada por coordenadas, … Continue reading N\u00fameros complexos<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":1193,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2456"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2456"}],"version-history":[{"count":7,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2456\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2466,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2456\/revisions\/2466"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/1193"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2456"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}