{"id":2433,"date":"2023-06-16T08:13:26","date_gmt":"2023-06-16T11:13:26","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2433"},"modified":"2023-06-16T10:16:28","modified_gmt":"2023-06-16T13:16:28","slug":"so_2-e-so_3","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/so_2-e-so_3\/","title":{"rendered":"$SO_2$ e $SO_3$"},"content":{"rendered":"
\n$\\newcommand{\\rot}[1]{\\mbox{Rot}(#1)}\\newcommand{\\refl}[1]{\\mbox{Ref}(#1)}\\newcommand{\\sen}{\\textrm{sen}\\,}$
\nVamos estudar com mais detalhes os grupos $SO_2$ e $SO_3$. Seja $f:\\R^2\\to \\R^2$ uma transforma\u00e7\u00e3o ortogonal e seja $A$ a sua matriz na base can\u00f4nica. Assuma que
\n\\[
\nA=\\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d\\end{pmatrix}
\n\\]
\nNote que $a^2+c^2=1$ e assim, podemos assumir sem perder generalidade que $a=\\cos\\alpha$ e $b=\\mbox{sen}\\,\\alpha$ com algum \u00e2ngulo $\\alpha$. Al\u00e9m disso, $(a,c)\\perp (b,d)$ e temos que $(b,d)=(-\\mbox{sen}\\,\\alpha,\\cos\\alpha)$ ou $(b,d)=(\\mbox{sen}\\,\\alpha,-\\cos\\alpha)$. Obtivemos o seguinte resultado<\/p>\n
\nSeja $A\\in O_2$ uma matriz ortogonal. Ent\u00e3o, existe um \u00e2ngulo $\\alpha\\in [0,2\\pi)$ tal que
\n\\[
\nA=\\begin{pmatrix} \\cos \\alpha & -\\mbox{sen}\\,\\alpha\\\\ \\mbox{sen}\\,\\alpha & \\cos \\alpha\\end{pmatrix}
\n\\]
\nou
\n\\[
\nA=\\begin{pmatrix} \\cos \\alpha & \\mbox{sen}\\,\\alpha\\\\ \\mbox{sen}\\,\\alpha & -\\cos \\alpha\\end{pmatrix}.
\n\\]
\nAl\u00e9m disso, $A\\in SO_2$ se e somente se $A$ \u00e9 como no primeiro caso.<\/div>\n

Note que a primeira matriz da teorema anterior \u00e9 a matriz de uma rota\u00e7\u00e3o por $\\alpha$ ao redor da origem no sentido antihor\u00e1rio. A segunda matriz \u00e9 a matriz da reflex\u00e3o em rela\u00e7\u00e3o a um eixo que tem \u00e2ngulo $\\alpha\/2$ com o eixo $x$.<\/p>\n

\nUma transforma\u00e7\u00e3o de $O_2$ ou \u00e9 uma rota\u00e7\u00e3o ao redor da origem ou uma reflex\u00e3o em rela\u00e7\u00e3o a um eixo que passa pela origem. As transforma\u00e7\u00f5es de $SO_2$ s\u00e3o precisamente as rota\u00e7\u00f5es ao redor da origem e as transforma\u00e7\u00f5es com determinante $-1$ s\u00e3o as reflex\u00f5es.<\/div>\n
\nSeja $R_\\alpha:\\R^2\\to \\R^2$ o elemento de $SO_2$ realizada pela rota\u00e7\u00e3o por \u00e2ngulo $\\alpha$. Seja
\n\\[
\nz_\\alpha=\\cos\\alpha+i\\mbox{sen}=\\exp(i\\alpha),\\alpha\\in\\R
\n\\]
\nDenote por $S^1$ o c\u00edrculo $S^1=\\{z\\in \\C\\mid |z|=1\\}$ e defina $f:SO_2\\to S^1$ pela regra $R_\\alpha\\mapsto z_\\alpha$. Demonstre que<\/p>\n
    \n
  1. $f$ \u00e9 uma bije\u00e7\u00e3o;<\/li>\n
  2. $f(R_\\alpha R_\\beta)=f(R_\\alpha)f(R_\\beta)$ para todo $R_\\alpha,R_\\beta\\in SO_2$.<\/li>\n<\/ol>\n

    Na lingu\u00e1vem alg\u00e9brica, podemos dizer que $SO_2$ e $S^1$ s\u00e3o grupos isomorfos.<\/p>\n<\/div>\n

    \nSejam $\\varphi$ e $\\psi$ \u00e2ngulos. Seja $\\rot{\\varphi}$ a rota\u00e7\u00e3o em $SO_2$ por $\\alpha$ graus e $\\refl{\\psi}$ a reflex\u00e3o pelo eixo que passa pela origem e tem \u00e2ngulo $\\psi$ com o eixo $x$. Demonstre que<\/p>\n
      \n
    1. $\\rot\\varphi\\rot\\psi=\\rot{\\varphi+\\psi}$<\/li>\n
    2. $\\refl\\psi\\refl\\varphi=\\rot{2(\\psi-\\varphi)}$<\/li>\n
    3. $\\refl\\psi \\rot\\varphi=\\refl{\\psi-\\varphi\/2}$;<\/li>\n
    4. $\\rot\\psi\\refl\\varphi=\\refl{\\varphi+\\psi\/2}$.<\/li>\n<\/ol>\n

      Deduza que toda rota\u00e7\u00e3o de $SO_2$ pode ser escrita como uma composi\u00e7\u00e3o de duas reflex\u00f5es.<\/p>\n<\/div>\n

      Para estudar as rota\u00e7\u00f5es em $\\R^3$, seja $k=(k_x,k_y,k_z)\\in\\R^3$ um vetor n\u00e3o nulo e defina a matiz
      \n\\[
      \nK=\\begin{pmatrix}0 & -k_z & k_y\\\\ k_z & 0 & -k_x \\\\ -k_y & k_x & 0\\end{pmatrix}.
      \n\\]<\/p>\n

      \nTemos para um vetor coluna $v\\in\\R^3$ que $k\\times v=Kv$ onde $k\\times v$ denota o produto vetorial. Em particular, $Kk=0$<\/div>\n
      \nTemos que
      \n\\begin{align*}
      \nk\\times v&=\\det\\begin{pmatrix} i & j & k \\\\ k_x & k_y & k_z \\\\ v_x & v_y & v_z \\end{pmatrix}
      \n=(k_yv_z-k_zv_y,-k_xv_z+k_zv_x,k_xv_y-k_yv_x)\\\\
      \n&=\\begin{pmatrix} 0 & -k_z & k_y \\\\ k_z & 0 & -k_x \\\\ -k_y & k_x & 0\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} v_x \\\\ v_y \\\\ v_z\\end{pmatrix}.
      \n\\end{align*}
      \nOra, $Kk=k\\times k=0$.<\/div>\n
      (A f\u00f3rmiula de Rodriguez)
      \nSeja $R:\\R^3\\to \\R^3$ a rota\u00e7\u00e3o ao redor de um eixo $k=(k_x,k_y,k_z)$ unit\u00e1rio por \u00e2ngulo $\\vartheta$. A matriz de $R$ na base can\u00f4nica \u00e9
      \n\\[
      \n[R]=I+(\\sen\\vartheta)K+(1-\\cos\\vartheta)K^2=I+(\\sen\\vartheta)K+(1-\\cos\\vartheta)k^tk
      \n\\]<\/div>\n
      \nEscolha uma base ortonormal de $\\R^3$ na forma $k,u,v$ em tal forma que
      \n$k\\times u = v$, $u\\times v=k$ e $v\\times k=u$ e seja $X=I+(\\sen\\vartheta)K+(1-\\cos\\vartheta)K^2$. Como $Kk=K^2k=0$, temos que
      \n\\[
      \nXk=(I+(\\sen\\vartheta) K+(1-\\cos\\vartheta)K^2)k=Ik=k.
      \n\\]
      \nAgora
      \n\\begin{align*}
      \nXu&=(I+(\\sen\\vartheta) K+(1-\\cos\\vartheta)K^2)u=u+(\\sen\\vartheta) v-(1-\\cos\\vartheta)u\\\\&=
      \n(\\cos\\vartheta) u +(\\sen\\vartheta) v
      \n\\end{align*}
      \ne
      \n\\begin{align*}
      \nXv&=(I+(\\sen\\vartheta) K+(1-\\cos\\vartheta)K^2)v=v-(\\sen\\vartheta)u-(1-\\cos\\vartheta)v\\\\&=
      \n-(\\sen\\vartheta)u +(\\cos\\vartheta)v
      \n\\end{align*}
      \nLogo a matriz de $R$ na base $k,u,v$ \u00e9
      \n\\[
      \n\\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & \\cos\\vartheta & -\\sen\\vartheta \\\\ 0 & \\sen\\vartheta & \\cos\\vartheta
      \n\\end{pmatrix}.
      \n\\]
      \nPortanto $[R]=X$.
      \nPara provar a segunda igualdade do lema, note que
      \n$\\|k\\|=k_x^2+k_y^2+k_z^2=1$ e assim
      \n\\begin{align*}
      \nK^2&=\\begin{pmatrix} 0 & -k_z & k_y \\\\ k_z & 0 & -k_x \\\\ -k_y & k_x & 0\\end{pmatrix}\\cdot \\begin{pmatrix} 0 & -k_z & k_y \\\\ k_z & 0 & -k_x \\\\ -k_y & k_x & 0\\end{pmatrix}\\\\
      \n&=\\begin{pmatrix} -k_z^2-k_y^2 & k_yk_x & k_zk_x \\\\
      \nk_xk_y & -k_z^2-k_x^2 & k_zk_y\\\\
      \nk_xk_z & k_yk_z & -k_y^2-k_x^2
      \n\\end{pmatrix}
      \n=k^t\\cdot k-I
      \n\\end{align*}
      \nLogo a matriz de $R$ \u00e9
      \n\\begin{align*}
      \nX&=I+(\\sen\\vartheta) K+(1-\\cos)K^2=I+(\\sen\\vartheta) K+(1-\\cos\\vartheta)(k^t\\cdot k-I)
      \n\\\\&=
      \n(\\cos\\vartheta) I+(\\sen\\vartheta) K+(1-\\cos\\vartheta)k^t\\cdot k\\\\
      \n\\end{align*}<\/div>\n
      \nMostre para um vetor unit\u00e1rio $k=(k_x,k_y,k_z)$ que a matriz $K$ em cima satisfaz $K^3=-K$. Deduza que para $n\\geq 1$ que
      \n\\begin{align*}
      \nK^{2n-1}&=(-1)^{n-1} K\\\\
      \nK^{2n}&=(-1)^{n-1}K^2.
      \n\\end{align*}<\/div>\n
      \nA matriz $[R]$ no resultado anterior pode ser escrito como
      \n\\[
      \n\\exp(\\vartheta K)=\\sum_{n\\geq 0}\\frac{(\\vartheta K)^n}{n!}.
      \n\\]<\/div>\n
      \nUsando o exerc\u00edcio anterior, obtemos que
      \n\\begin{align*}
      \n\\exp(\\vartheta K)&=
      \n\\sum_{n\\geq 0}\\frac{(\\vartheta K)^n}{n!}\\\\&=
      \nI+\\sum_{n\\geq 1}\\frac{\\vartheta^{2n-1}K^{2n-1}}{(2n-1)!}+\\sum_{n\\geq 1}\\frac{\\vartheta^{2n}K^{2n}}{(2n)!}\\\\
      \n&=
      \nI+\\sum_{n\\geq 1}(-1)^{n-1}\\frac{\\vartheta^{2n-1}K}{(2n-1)!}+\\sum_{n\\geq 1}(-1)^{n-1}\\frac{\\vartheta^{2n}K^2}{(2n)!}\\\\
      \n&=I+K\\sum_{n\\geq 1}(-1)^{n-1}\\frac{\\vartheta^{2n-1}}{(2n-1)!}+K^2\\sum_{n\\geq 1}(-1)^{n-1}\\frac{\\vartheta^{2n}}{(2n)!}
      \n\\\\
      \n&=I+K\\sum_{n\\geq 0}(-1)^{n}\\frac{\\vartheta^{2n+1}}{(2n+1)!}+K^2(1-\\sum_{n\\geq 0}(-1)^{n}\\frac{\\vartheta^{2n}}{(2n)!}
      \n\\\\
      \n&=I+K\\sen\\vartheta+K^2(1-\\cos\\vartheta).
      \n\\end{align*}
      \nOra o resultado segue do Teorema de Rodriguez.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      $\\newcommand{\\rot}[1]{\\mbox{Rot}(#1)}\\newcommand{\\refl}[1]{\\mbox{Ref}(#1)}\\newcommand{\\sen}{\\textrm{sen}\\,}$ Vamos estudar com mais detalhes os grupos $SO_2$ e $SO_3$. Seja $f:\\R^2\\to \\R^2$ uma transforma\u00e7\u00e3o ortogonal e seja $A$ a sua matriz na base can\u00f4nica. Assuma que \\[ A=\\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d\\end{pmatrix} \\] Note que $a^2+c^2=1$ e assim, podemos assumir sem perder generalidade que $a=\\cos\\alpha$ e $b=\\mbox{sen}\\,\\alpha$ com algum \u00e2ngulo … Continue reading $SO_2$ e $SO_3$<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2433"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2433"}],"version-history":[{"count":5,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2433\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2440,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2433\/revisions\/2440"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2433"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}