{"id":2416,"date":"2023-06-14T08:12:21","date_gmt":"2023-06-14T11:12:21","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2416"},"modified":"2023-06-16T08:06:03","modified_gmt":"2023-06-16T11:06:03","slug":"as-transformacoes-ortogonais-de-rn","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/as-transformacoes-ortogonais-de-rn\/","title":{"rendered":"As transforma\u00e7\u00f5es ortogonais de $\\R^n$"},"content":{"rendered":"
\n$\\newcommand{\\rot}[1]{\\mbox{Rot}(#1)}\\newcommand{\\refl}[1]{\\mbox{Ref}(#1)}$
\nNesta p\u00e1gina consideramos $\\R^n$ com o produto interno usual $\\langle-,-\\rangle$.<\/p>\n
\nA dist\u00e1ncia<\/b> de $v,w\\in \\R^n$ est\u00e1 definida como
\n\\[
\nd(v,w)=\\|v-w\\|=\\langle v-w,v-w\\rangle^{1\/2}.
\n\\]
\nUma aplica\u00e7\u00e3o (n\u00e3o necessariamente linear) $f:\\R^n\\to \\R^n$ \u00e9 chamada de isometria<\/b> se ela preserva dist\u00e1ncia. Ou seja,
\n\\[
\nd(f(v),f(w))=d(v,w)\\quad\\mbox{para todo}\\quad v,w\\in \\R^n.
\n\\]<\/div>\n
\nSe $v_0\\in \\R^n$, ent\u00e3o $T_{v_0}:v\\mapsto v+v_0$ \u00e9 uma isometria. Este exemplo mostra que uma isometria n\u00e3o precisa ser linear. Em $\\R^2$, a rota\u00e7\u00e3o $R_{\\alpha}$ no redor da origem por $\\alpha$ graus \u00e9 tamb\u00e9m uma isometria. Note que $R_\\alpha$ \u00e9 linear.<\/div>\n

\u00c9 imediato observar que uma isometria $f:\\R^n\\to \\R^n$ \u00e9 injetiva. Acontece que uma isometria precisa ser tamb\u00e9m sobrejetiva, mas n\u00f3s n\u00e3o provaremos esta afirma\u00e7\u00e3o por falta de tempo.<\/p>\n

As seguintes s\u00e3o equivalentes para uma transforma\u00e7\u00e3o linear $f:\\R^n\\to \\R^n$.<\/p>\n
    \n
  1. $f$ preserva o produto interno em $\\R^n$.<\/li>\n
  2. $f$ preserva a norma em $\\R^n$.<\/li>\n
  3. $f$ preserva a dist\u00e2ncia em $\\R^n$<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \nAssuma que $f$ preserva produto interno. Ent\u00e3o, para todo $v\\in V$,
    \n\\[
    \n\\|f(v)\\|^2=\\langle f(v),f(v)\\rangle =\\langle v,v\\rangle=\\|v\\|.
    \n\\]
    \nOu seja, $f$ preserva a norma.<\/p>\n

    Agora, assuma que $f$ preserva a norma. Ent\u00e3o temos para todo $v,w\\in V$ que
    \n\\[
    \nd(f(v),f(w))=\\|f(v)-f(w)\\|=\\|f(v-w)\\|=\\|v-w\\|=d(v,w).
    \n\\]
    \nLogo $f$ preserva dist\u00e2ncia. Note que no meio da equa\u00e7\u00e3o anterior, usamos que $f$ \u00e9 linear.<\/p>\n

    Assuma agora que $f$ preserva dist\u00e2ncia. Note para $v\\in V$ que
    \n\\[
    \n\\|f(v)\\|=d(0,f(v))=d(0,v)=\\|v\\|
    \n\\]
    \ne assim $f$ preserva a norma. Note que no meio da linha anterior, usamos que $f(0)=0$. Ora, temos pela identidade de polariza\u00e7\u00e3o para $v,w\\in V$, que
    \n\\begin{align*}
    \n\\langle f(v),f(w)\\rangle&=\\frac 12(\\|f(v)+f(w)\\|-\\|f(v)\\|-\\|f(w)\\|)\\\\
    \n&=\\frac 12(\\|f(v+w)\\|-\\|f(v)\\|-\\|f(w)\\|)\\\\&=\\frac 12(\\|v+w\\|-\\|v\\|-\\|w\\|)\\\\
    \n&=\\langle v,w\\rangle.
    \n\\end{align*}
    \nLogo, $f$ preserva produto interno.<\/p>\n<\/div>\n

    \nUma transforma\u00e7\u00e3o ortogonal<\/b> de $\\R^n$ \u00e9 uma isometria linear de $\\R^n$.<\/div>\n
    \nSeja $f:\\R^n\\to \\R^n$ uma transforma\u00e7\u00e3o ortogonal e seja $A$ a sua matriz na base can\u00f4nica. Ent\u00e3o $A^tA=I$; ou seja, as colunas de $A$ s\u00e3o ortonormais e $A$ \u00e9 uma matriz ortogonal. Em particular, uma transforma\u00e7\u00e3o ortogonal de $\\R^n$ \u00e9 invert\u00edvel.<\/div>\n
    \nNote que a base can\u00f4nica $e_1,\\ldots,e_n$ \u00e9 ortonormal. As colunas de $A$ s\u00e3o $f(e_1),\\ldots,f(e_n)$. Como $f$ preserva produto interno, estes vetores formam uma base ortonormal.<\/div>\n
    \nSeja $f:\\R^n \\to \\R^n$ uma transforma\u00e7\u00e3o ortogonal.<\/p>\n
      \n
    1. O determinante de $f$ \u00e9 $\\pm 1$.<\/li>\n
    2. Se $\\lambda\\in\\C$ \u00e9 um autovalor de $f$, ent\u00e3o $\\overline \\lambda$ tamb\u00e9m \u00e9 um autovalor de $f$.<\/li>\n
    3. Se $\\lambda\\in \\C$ \u00e9 um autovalor de $f$, ent\u00e3o $|\\lambda|=1$.<\/li>\n
    4. Se $\\lambda\\in \\R$ \u00e9 uma autovalor de $f$, ent\u00e3o $\\lambda=\\pm 1$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
      \nSeja $A$ a matriz de $f$ na base can\u00f4nica e note que
      \n\\[
      \n1=\\det I=\\det AA^{-1}=\\det AA^t=(\\det A)^2.
      \n\\]
      \nLogo $\\det A=\\pm 1$. Se $\\lambda\\in\\C$ \u00e9 um autovalor de $f$, ent\u00e3o $\\overline \\lambda$ tamb\u00e9m \u00e9, pois $\\mbox{pcar}_f(t)\\in\\R[t]$. Para provar afirma\u00e7\u00e3o 3., considere o operador $f_\\C:\\C^n\\to\\C^n$, $f_\\C(v)=Av$ para todo $v\\in \\C^n$ considerado como vetor coluna. Note que $f_\\C^*$ \u00e9 a transforma\u00e7\u00e3o $v\\mapsto A^tv$. Seja $v\\in \\C^n$ um autovetor com autovalor $\\lambda\\in \\C$. Agora
      \n\\[
      \n\\lambda\\overline \\lambda\\|v\\|=\\langle\\lambda v,\\lambda v\\rangle = \\langle Av,Av\\rangle=\\langle v,A^tAv\\rangle=\\langle v,v\\rangle.
      \n\\]
      \nComo $v\\neq 0$, temos que $\\langle v,v\\rangle\\neq 0$ e $\\lambda\\overline\\lambda=\\|\\lambda\\|^2=1$.
      \nFinalmente, afirma\u00e7\u00e3o 4. segue trivialmente da afirma\u00e7\u00e3o 3.<\/div>\n
      \nO conjunto das transforma\u00e7\u00f5es ortogonais de $\\R^n$ \u00e9 denotado por $O_n$. O conjunto das transforma\u00e7\u00f5es ortogonais com determinante igual a $1$ \u00e9 denotado por $SO_n$. O nome de $O_n$ \u00e9 grupo ortogonal<\/b> enquanto $SO_n$ \u00e9 chamado de grupo ortogonal especial<\/b>. Os grupos $O_n$ e $SO_n$ podem ser identificados com os conjuntos das matrizes ortogonais e matrizes ortogonais com determinante $1$.<\/div>\n
      \nSejam $f,g\\in O_n$. Ent\u00e3o<\/p>\n
        \n
      1. $f\\circ g\\in O_n$<\/li>\n
      2. Se $f,g\\in SO_n$, ent\u00e3o $f\\circ g\\in SO_n$.<\/li>\n
      3. $f^{-1}\\in O_n$<\/li>\n
      4. Se $f\\in SO_n$, ent\u00e3o $f^{-1}\\in SO_n$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
        \nExercise.<\/div>\n

        O lema anterior diz essentialmente que $O_n$ e $SO_n$ s\u00e3o grupos. Nesta disciplina n\u00f3s n\u00e3o definimos o conceito dos grupos, eles v\u00e3o aparecer muito na disciplina Grupos e Corpos. Os grupos $O_n$ e $SO_n$ t\u00eam muitas aplica\u00e7\u00f5es nas \u00e1reas da f\u00edsica te\u00f3rica, mec\u00e1nica cl\u00e1ssica, rob\u00f3tica, gr\u00e1fica computacional, etc.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

        $\\newcommand{\\rot}[1]{\\mbox{Rot}(#1)}\\newcommand{\\refl}[1]{\\mbox{Ref}(#1)}$ Nesta p\u00e1gina consideramos $\\R^n$ com o produto interno usual $\\langle-,-\\rangle$. A dist\u00e1ncia de $v,w\\in \\R^n$ est\u00e1 definida como \\[ d(v,w)=\\|v-w\\|=\\langle v-w,v-w\\rangle^{1\/2}. \\] Uma aplica\u00e7\u00e3o (n\u00e3o necessariamente linear) $f:\\R^n\\to \\R^n$ \u00e9 chamada de isometria se ela preserva dist\u00e1ncia. Ou seja, \\[ d(f(v),f(w))=d(v,w)\\quad\\mbox{para todo}\\quad v,w\\in \\R^n. \\] Se $v_0\\in \\R^n$, ent\u00e3o $T_{v_0}:v\\mapsto v+v_0$ \u00e9 uma isometria. … Continue reading As transforma\u00e7\u00f5es ortogonais de $\\R^n$<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2416"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2416"}],"version-history":[{"count":6,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2416\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2432,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2416\/revisions\/2432"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2416"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}