{"id":2402,"date":"2023-06-07T10:17:51","date_gmt":"2023-06-07T13:17:51","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2402"},"modified":"2023-06-12T16:03:37","modified_gmt":"2023-06-12T19:03:37","slug":"operadores-normais","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/operadores-normais\/","title":{"rendered":"Operadores normais"},"content":{"rendered":"
\nNesta p\u00e1gina $\\F=\\R$ ou $\\F=\\C$ e $V$ \u00e9 um $\\F$-espa\u00e7o com produto interno $\\langle -,-\\rangle$. Alguns resultados s\u00e3o v\u00e1lidos para espa\u00e7os vetoriais sobre corpos arbitr\u00e1rios com formas $\\sigma$-hermitianas, mas n\u00f3s vamos trabalhar com as suposi\u00e7\u00f5es da frase anterior.<\/p>\n
\nUm operador $f:V\\to V$ \u00e9 dito normal se existe $f^*$ e $ff^*=f^*f$. Ou seja, um operador \u00e9 normal se e somente se existe o adjunto e ele comuta com seu adjunto.<\/div>\n
\nSeja $f:V\\to V$ um operador.<\/p>\n
    \n
  1. Se $f$ \u00e9 autoadjunto, ent\u00e3o $f$ \u00e9 normal.<\/li>\n
  2. Se $\\dim V$ \u00e9 finita e $f$ \u00e9 diagonaliz\u00e1vel por uma base ortonormal, ent\u00e3o $f$ \u00e9 normal.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \nA primeira afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 \u00f3bvia, pois $f$ e $f$ claramente comutam. Para a segunda afirma\u00e7\u00e3o, assuma que existe uma base ortonormal $\\{b_1,\\ldots,b_n\\}$ de $V$ composta de autovetores de $f$. A matriz de $f$ nesta base \u00e9 uma matriz diagonal $D$ com os autovalores $\\lambda_1,\\ldots,\\lambda_n$ no diagonal principal. Na mesma base, a matriz $\\overline D$ de $f^*$ \u00e9 diagonal com $\\overline \\lambda_1,\\ldots,\\overline \\lambda_n$ no diagonal principal. Como as matrizes diagonais $D$ e $\\overline D$ comutam, temos que $f$ tamb\u00e9m comuta com $f^*$.<\/div>\n
    \nUm operador normal n\u00e3o precisa ser autoadjunto. Considere por exemplo o operador $R_\\alpha:\\R^2\\to \\R^2$ que \u00e9 a rota\u00e7\u00e3o por $\\alpha$ graus. A matriz deste operador na base can\u00f4nica (que \u00e9 ortonormal) \u00e9
    \n\\[
    \n\\begin{pmatrix}
    \n\\cos\\alpha &-\\mbox{sen}\\,\\alpha\\\\ \\mbox{sen}\\,\\alpha & \\cos\\alpha\\end{pmatrix}.
    \n\\]
    \nA matriz da adjunta de $R_\\alpha$ na mesma base \u00e9
    \n\\[
    \n\\begin{pmatrix}
    \n\\cos\\alpha &\\mbox{sen}\\,\\alpha\\\\ -\\mbox{sen}\\,\\alpha & \\cos\\alpha\\end{pmatrix};
    \n\\]
    \nou seja, $(R_\\alpha)^*=R_{-\\alpha}$. Como rota\u00e7\u00f5es do plano comutam, $R_\\alpha$ comuta com $R_\\alpha^*=R_{-\\alpha}$ e $R_\\alpha$ \u00e9 normal. Por outro lado se $\\alpha$ n\u00e3o \u00e9 m\u00faltipo de $180$ graus, $R_\\alpha\\neq R_{-\\alpha}$ e neste caso $R_\\alpha$ n\u00e3o \u00e9 autoadjunto.<\/div>\n
    \nAssuma que $f:V\\to V$ \u00e9 normal.<\/p>\n
      \n
    1. $\\|f(v)\\|=\\|f^*(v)\\|$ para todo $v\\in V$.<\/li>\n
    2. Se $v$ \u00e9 autovetor de $f$ com autovalor $\\lambda$, ent\u00e3o o mesmo $v$ \u00e9 autovetor de $f^*$ com autovalor $\\overline\\lambda$.<\/li>\n
    3. Se $v_1$ e $v_2$ s\u00e3o autovetores de $f$ com autovalores $\\alpha_1$ e $\\alpha_2$ distintos, ent\u00e3o $v_1\\perp v_2$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
      \n1. Seja $v\\in V$. Ent\u00e3o
      \n\\begin{align*}
      \n\\|f(v)\\|^2&=\\langle f(v),f(v)\\rangle =\\langle v,f^*(f(v))\\rangle=\\overline{\\langle f(f^*(v),v\\rangle}\\\\&=\\overline{\\langle f^*(v),f^*(v)\\rangle}\\\\&=\\overline{\\| f^*(v)\\|}=\\|f^*(v)\\|.
      \n\\end{align*}<\/p>\n

      2. Assuma que $f(v)=\\lambda v$; ou seja $(f-\\lambda\\mbox{id})(v)=0$. Obtemos que $\\|(f-\\lambda\\mbox{id})(v)\\|=0$. Pelo item anterior, $\\|(f-\\lambda\\mbox{id})^*(v)\\|=0$. Ent\u00e3o $(f-\\lambda\\mbox{id})^*(v)=0$; ou seja, $f^*(v)=\\overline \\lambda v$.<\/p>\n

      3. Temos que
      \n\\[
      \n\\alpha_1\\langle v_1,v_2\\rangle =\\langle f(v_1),v_2\\rangle=\\langle v_1,f^*(v_2)\\rangle = \\alpha_2 \\langle v_1,v_2\\rangle.
      \n\\]
      \nLogo $(\\alpha_1-\\alpha_2)\\langle v_1,v_2\\rangle=0$ e obtemos que $\\langle v_1,v_2\\rangle=0$.<\/p>\n<\/div>\n

      \nSeja $V$ um $\\C$-espa\u00e7o de dimens\u00e3o finita e $f:V\\to V$ um operador. Existe uma base ortonormal formada por autovetores de $V$ se e somente se $f$ \u00e9 um operador normal.<\/div>\n
      \nJ\u00e1 vimos que quando existe uma base ortonormal formada por autovetores de $f$, ent\u00e3o $f$ \u00e9 normal.<\/p>\n

      A outra dire\u00e7\u00e3o ser\u00e1 demonstrada por indu\u00e7\u00e3o na dimens\u00e3o de $V$. Quando $\\dim V=1$, ent\u00e3o escolhe qualquer vetor n\u00e3o nulo $v\\in V\\setminus\\{0\\}$ e tome $\\|v\\|^{-1}v$ para base ortonormal formada por autovetores de $f$. Assuma que o resultado vale para espa\u00e7os de dimens\u00e3o $n-1$ e assuma que $\\dim V=n$. Como o corpo \u00e9 $\\C$, $f$ possui autovalor $\\lambda$ e seja $v\\in V$ um autovetor n\u00e3o nulo. Seja $b_1=\\|v\\|^{-1}v$ um vetor unit\u00e1rio. Considere $U=\\langle v\\rangle$ e $W=U^\\perp$. Note que $U$ \u00e9 $f$-invariente. Mas $U$ tamb\u00e9m \u00e9 $f^*$-invariante, pois $b_1$ \u00e9 autovetor de $f^*$ com autovalor $\\overline \\lambda$. Assim, um resultado anterior implica que $W$ \u00e9 $f$-invariante (pois $f=(f^*)^*$). As restri\u00e7\u00f5es de $f$ e $f^*$ para $W$ claramente comutam e $(f|_W)^*=(f^*)|_W$. Logo, a hip\u00f3tese da indu\u00e7\u00e3o \u00e9 v\u00e1lida para $f|_W$ e $W$ e $W$ possui uma base $\\{b_2,\\ldots,b_n\\}$ ortonormal formada por autovetores de $f$. Ora, $\\{b_1,\\ldots,b_n\\}$ \u00e9 a base procurada.<\/p>\n<\/div>\n

      \nSeja $f:\\C^2\\to \\C^2$ o operador com matriz
      \n\\[
      \nA=\\begin{pmatrix} 1 & i \\\\ i & 1\\end{pmatrix}
      \n\\]
      \nna base can\u00f4nica. Note que a matriz de $f^*$ \u00e9
      \n\\[
      \nA^*=\\begin{pmatrix} 1 & -i \\\\ -i & 1\\end{pmatrix}
      \n\\]
      \ne $f$ n\u00e3o \u00e9 autoadjunto. Mas
      \n\\[
      \nAA^*=A^*A=\\begin{pmatrix} 2 & 0 \\\\ 0 & 2\\end{pmatrix}
      \n\\]
      \ne $f$ \u00e9 normal. Note que os autovalores de $f$ s\u00e3o ra\u00edzes do polin\u00f4mio carater\u00edstico $t^2-2t+2$ que s\u00e3o $1\\pm i$. Os autovetores ortonormais correspondentes s\u00e3o $(1\/\\sqrt{2})(1,1)$ e $(1\/\\sqrt{2})(1,-1)$. Logo pondo
      \n\\[
      \nP=\\frac 1{\\sqrt 2}\\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 1 & -1\\end{pmatrix}
      \n\\]
      \ntemos que
      \n\\[
      \nP^*AP=\\begin{pmatrix} 1+i & 0 \\\\ 0 & 1-i\\end{pmatrix}
      \n\\]<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      Nesta p\u00e1gina $\\F=\\R$ ou $\\F=\\C$ e $V$ \u00e9 um $\\F$-espa\u00e7o com produto interno $\\langle -,-\\rangle$. Alguns resultados s\u00e3o v\u00e1lidos para espa\u00e7os vetoriais sobre corpos arbitr\u00e1rios com formas $\\sigma$-hermitianas, mas n\u00f3s vamos trabalhar com as suposi\u00e7\u00f5es da frase anterior. Um operador $f:V\\to V$ \u00e9 dito normal se existe $f^*$ e $ff^*=f^*f$. Ou seja, um operador \u00e9 … Continue reading Operadores normais<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2402"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2402"}],"version-history":[{"count":7,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2402\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2414,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2402\/revisions\/2414"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2402"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}