{"id":2384,"date":"2023-06-05T08:23:50","date_gmt":"2023-06-05T11:23:50","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2384"},"modified":"2023-06-14T10:26:33","modified_gmt":"2023-06-14T13:26:33","slug":"operadores-autoadjuntos","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/operadores-autoadjuntos\/","title":{"rendered":"Operadores autoadjuntos"},"content":{"rendered":"
\nNesta p\u00e1gina $V$ \u00e9 um $\\F$-espa\u00e7o vetorial, $\\sigma\\in\\mbox{Aut}(\\F)$ com $\\sigma^2=\\mbox{id}_\\F$ e $B$ \u00e9 uma forma $\\sigma$-hermitiana n\u00e3o degenerada sobre $V$.<\/p>\n
\nUm operador $f:V\\to V$ \u00e9 autoadjunto<\/b> se existe $f^*$ e $f^*=f$. Em outras palavras,
\n\\[
\nB(f(v),w)=B(v,f(w))
\n\\]
\npara todo $v,w\\in V$.<\/p>\n<\/div>\n
\nSeja $f:V\\to V$ autoadjunto.<\/p>\n
    \n
  1. Se $\\lambda\\in\\F$ \u00e9 um autovalor de $f$ tal que $V_\\lambda$ cont\u00e9m um vetor n\u00e3o isotr\u00f3pico, ent\u00e3o $\\lambda\\in\\mbox{Fix}(\\sigma)$.<\/li>\n
  2. Sejam $v_1$ e $v_2$ autovetores de $f$ associados com autovalores $\\lambda_1$ e $\\lambda_2$, respetivamente, tais que $\\lambda_1^\\sigma\\neq \\lambda_2$. Ent\u00e3o $v_1\\perp v_2$ (ou seja, $B(v_1,v_2)=0$).<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \n1. Seja $v\\in V\\setminus\\{0\\}$ tal que $f(v)=\\lambda v$ e assuma que $v$ n\u00e3o \u00e9 isotr\u00f3pico; ou seja $Q(v)=B(v,v)\\neq 0$. Ora,
    \n\\[
    \n\\lambda B(v,v)=B(\\lambda v,v)=B(f(v),w)=B(v,f(v))=B(v,\\lambda v)=\\lambda^\\sigma B(v,v).
    \n\\]
    \nPortanto, $(\\lambda-\\lambda^\\sigma)B(v,v)=0$ e $\\lambda-\\lambda^\\sigma=0$. Logo $\\lambda=\\mbox{Fix}(\\sigma)$.
    \n2. Assuma que $v_1$ e $v_2$ s\u00e3o autovetores associados com autovalores $\\lambda_1$ e $\\lambda_2$ com $\\lambda_1\\neq \\lambda_2^\\sigma$. Temos que
    \n\\begin{align*}
    \n\\lambda_1 B(v_1,v_2)&=B(f(v_1),w_2)=B(v_1,f(v_2))=B(v_1,\\lambda_2 v_2)\\\\&=\\lambda_2^\\sigma B(v_1,v_2).
    \n\\end{align*}
    \nIsso implica que $(\\lambda_1-\\lambda_2^\\sigma)B(v_1,v_2)=0$. Ou seja, $\\lambda_1=\\lambda_2^\\sigma$ ou $B(v_1,v_2)=0$.
    \nComo $\\lambda_1\\neq \\lambda_2^\\sigma$, nos resta que $B(v_1,v_2)=0$.<\/div>\n
    \nSeja $V$ um espa\u00e7o vetorial sobre $\\F$ onde $\\F=\\R$ ou $\\F=\\C$ e seja $\\sigma=\\mbox{id}_\\R$ se $\\F=\\R$ e $\\sigma$ o conjugado complexo se $\\F=\\C$. Um produto interno<\/b> sobre $V$ \u00e9 uma forma $\\sigma$-hermitiana que satisfaz a propriedade de positividade; ou seja,
    \n\\[
    \nQ(v)=B(v,v)\\geq 0\\quad\\mbox{para todo}\\quad v\\in V
    \n\\]
    \ne $Q(v)=0$ se e somente se $v=0$. Neste caso dizemos que $V$ \u00e9 um espa\u00e7o com produto interno<\/b>. A forma $B(-,-)$ \u00e9 frquentamente escrita como $\\langle -,-\\rangle$. Se $V$ \u00e9 espa\u00e7o com produto interno e $v\\in V$, ent\u00e3o $Q(v)\\geq 0$ e definimos
    \n\\[
    \n\\|v\\|=\\sqrt{Q(v)}=\\sqrt{\\langle v,v\\rangle}\\in \\R.
    \n\\]
    \nO n\u00famero $\\|v\\|$ \u00e9 chamado norma<\/b> de $v$. Temos que $\\|v\\|\\geq 0$ e $\\|v\\|=0$ se e somente se $v=0$.<\/div>\n
    \nUma forma $B$ que define produto interno \u00e9 n\u00e3o degenerada. Al\u00e9m disso, se $\\dim V=n$ for finita, ent\u00e3o $(V,B)$ \u00e9 isom\u00e9trico ao espa\u00e7o $\\R^{0+n}$ ou $\\C^{0+n}$.<\/div>\n
    \nSe $v\\in\\mbox{Rad}(B)$, ent\u00e3o $v\\perp v$ e $Q(v,v)=B(v,v)=0$. Logo, $v=0$ e $B$ \u00e9 n\u00e3o degenerada.<\/p>\n

    Sabe-se do resultado anterior que quando $\\dim V=n$ finita, ent\u00e3o $(V,B)$ \u00e9 isom\u00e9trica ao espa\u00e7o $\\R^{p+q}$ ou $\\C^{p+q}$ com $p+q=n$. Se $p\\geq 1$, ent\u00e3o $B(b_1,b_1)=-1$, que n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel pela positividade da forma.<\/p>\n<\/div>\n

    Note que a nota\u00e7\u00e3o $\\langle u,v\\rangle$ foi usada anteriormente para o espa\u00e7o gerado por $u$ e $v$. A partir deste ponto, este espa\u00e7o ser\u00e1 denotado por $\\mbox{span}\\langle u,v\\rangle$.<\/p>\n

    \nAssuma que $V$ \u00e9 espa\u00e7o com produto interno e $f:V\\to V$ \u00e9 autoadjunto.<\/p>\n
      \n
    1. Os autovalores de $v$ s\u00e3o n\u00fameros reais.<\/li>\n
    2. Se $v_1$ e $v_2$ s\u00e3o autovetores de $f$ com autovalores distintos, ent\u00e3o $v_1\\perp v_2$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
      \n1. Se $v$ \u00e9 uma autovetor n\u00e3o nulo de $f$ com autovalor $\\lambda$, ent\u00e3o $v$ n\u00e3o \u00e9 isotr\u00f3pico (pela positividade do produto interno) e temos pelo lema anterior que $\\lambda\\in\\mbox{Fix}(\\sigma)=\\R$.<\/p>\n

      2. Sejam $v_1$ e $v_2$ autovetores de $f$ com autovalores distintos $\\lambda_1$ e $\\lambda_2$, respetivamente. Temos pelo item 1. que $\\lambda_1,\\lambda_2\\in\\R$ e $\\lambda_1\\neq \\lambda_2^\\sigma=\\lambda_2$. O lema acima implica que $v_1\\perp v_2$.<\/p>\n<\/div>\n

      \nSeja $A\\in M_{n\\times n}(\\C)$ tal que $A^t=\\overline A$ (a transposta \u00e9 igual \u00e0 conjugada complexa). Ent\u00e3o os autovalores de $A$ s\u00e3o n\u00fameros reais. Em particular, se $A\\in M_{n\\times n}(\\R)$ tal que $A^t = A$ e $\\lambda\\in\\C$ \u00e9 autovalor de $A$, ent\u00e3o $\\lambda\\in \\C$.<\/div>\n
      \nConsidere $A$ como a matriz de uma transforma\u00e7\u00e3o linear $f_A:\\C^n\\to \\C^n$ em uma base ortonormal em rela\u00e7\u00e3o ao produto interno usual de $\\C^n$. A matriz de $f_A^*$ \u00e9 $\\overline A^t=A$ e assim $f_A^*=f_A$; ou seja $f_A$ \u00e9 autoadjunta. Pelo resultado anterior os autovalores de $f_A$ (que s\u00e3o os mesmos que os autovalores de $A$) s\u00e3o n\u00fameros reais. A segunda afirma\u00e7\u00e3o segue da primeira, observando que se $A\\in M_{n\\times n}(\\R)$, ent\u00e3o $\\overline A=A$.<\/div>\n
      (O Teorema de Diagonaliza\u00e7\u00e3o para Operadores Autoadjuntos)
      \nSeja $V$ um espa\u00e7o com produto interno e assuma que $\\dim V=n$ \u00e9 finita e seja $f:V\\to V$ um operador autoadjunto. Ent\u00e3o os autovalores de $f$ s\u00e3o n\u00fameros reais e $V$ possui uma base $B$ ortonormal formada por autovetores de $f$. Em particular, $f$ \u00e9 diagonaliz\u00e1vel e $[f]_B^B=D$ \u00e9 diagonal.<\/div>\n
      \nUsamos indu\u00e7\u00e3o por $\\dim V$. Seja $\\F=\\R$ ou $\\F=\\C$ o corpo para o espa\u00e7o $V$. Quando $\\dim V=1$, ent\u00e3o $(V,\\langle-,-\\rangle)$ \u00e9 isom\u00e9trico ao espa\u00e7o $\\F^{0+1}$ e existe uma base $\\{b_1\\}$ tal que $\\langle b_1,b_1\\rangle=1$. Como $\\dim V=1$, $b_1$ \u00e9 autovetor de $f$ e a base $\\{b_1\\}$ \u00e9 ortonormal formada por autovetores de $f$.<\/p>\n

      Assuma que o teorema est\u00e1 verdadeiro para espa\u00e7os de dimens\u00e3o menor que $n$ e assuma que $\\dim V=n$. Seja inicialmente $X$ uma base ortonormal de $V$ qualquer (existe por resultado anterior). A matriz $A$ de $f$ nesta base $X$ satisfaz $X^t=\\overline X$ (ou $X^t=X$ quando $\\F=\\R$). Por resultado anterior $A$ e $f$ possuem autovalor $\\lambda\\in \\R$. Seja $b_1’$ um autovetor para autovalor $\\lambda$. Ponha $\\alpha_1=\\langle b_1′,b_1’\\rangle$ e note que a positividade do produto interno implica que $\\alpha_1\\in \\R$ e $\\alpha_1 > 0$. Pondo $b_1=(\\alpha_1)^{-1\/2}b_1’$ obtemos que $\\langle b_1,b_1\\rangle =1$.<\/p>\n

      Considere $U=\\mbox{span}\\{b_1\\}$. Ent\u00e3o $\\dim U^\\perp=n-1$, $U^{\\perp}\\cap U=0$ e $V=U\\perp U^\\perp$. Al\u00e9m disso, $U$ sendo $f$-invariante, $U^\\perp$ \u00e9 invariante por $f^*=f$. Por hip\u00f3tese de indu\u00e7\u00e3o, $U^\\perp$ possui uma base ortonormal $\\{b_2,\\ldots,b_n\\}$ que composta de autovetores de $f$. Ora, $\\{b_1,\\ldots,b_n\\}$ \u00e9 base ortonormal de $V$ composta de autovetores de $f$.<\/p>\n<\/div>\n

      \nPara uma matriz $A\\in M_{n\\times n}(\\C)$, denotamos $A^*=\\overline A^t$ (conjugada transposta). Uma matrix $A\\in M_{n\\times n}(\\C)$ \u00e9 chamada hermitiana<\/b> se $A=A^*$. Uma matriz $A\\in M_{n\\times n}(\\R)$ \u00e9 chamada ortogonal<\/b> se as colunas de $A$ s\u00e3o ortonormais. Uma matriz $A\\in M_{n\\times n}(\\C)$ \u00e9 chamada de unit\u00e1ria<\/b> as colunas de $A$ s\u00e3o ortonormais (no produto interno de $\\C^n$).<\/div>\n
      \nMostre que<\/p>\n
        \n
      1. $A$ \u00e9 ortogonal se e somente se $A^tA=I$ e $A^{-1}=A^t$;<\/li>\n
      2. $A$ \u00e9 unit\u00e1ria se e somente se $A^*A=I$ e $A^{-1}=A^*$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
        \n