{"id":2375,"date":"2023-05-31T08:26:09","date_gmt":"2023-05-31T11:26:09","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2375"},"modified":"2023-06-14T18:29:49","modified_gmt":"2023-06-14T21:29:49","slug":"operadores-adjuntos","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/operadores-adjuntos\/","title":{"rendered":"Operadores adjuntos"},"content":{"rendered":"
\nNesta p\u00e1gina, $V$ \u00e9 um $\\F$-espa\u00e7o vetorial com $\\mbox{car}(\\F)\\neq 2$ e $B$ \u00e9 uma forma $\\sigma$-hermitiana ou alternada n\u00e3o degenerada sobre $V$. Note que no caso de $\\sigma$-hermitiana, $\\sigma^2=\\mbox{id}_\\F$. Quando $\\sigma=\\mbox{id}_\\F$, ent\u00e3o $B$ \u00e9 uma forma sim\u00e9trica. Quando $B$ \u00e9 alternada, ent\u00e3o $\\sigma=\\mbox{id}_\\F$.<\/p>\n

Lembre que $V^*$ \u00e9 o espa\u00e7o dual de $V$; ou seja,
\n\\[
\nV^*=\\mbox{Hom}(V,\\F)=\\{f:V\\to \\F\\mid \\mbox{$f$ \u00e9 linear}\\}.
\n\\]
\nPara $v\\in V$, definimos $\\varphi_v\\in V^*$ com
\n\\[
\n\\varphi_v(w)=B(w,v).
\n\\]
\nO fato que $\\varphi_v\\in V^*$ segue do fato que $B$ \u00e9 linear na primeira vari\u00e1vel.
\nDefina
\n\\[
\n\\Phi:V\\to V^*,\\quad \\Phi(v)=\\varphi_v.
\n\\]<\/p>\n

\nTemos para todo $\\alpha_1,\\alpha_2\\in\\F$ e $v_1,v_2\\in V$ que
\n\\[
\n\\Phi(\\alpha_1v_1+\\alpha_2v_2)=\\alpha_1^\\sigma \\Phi(v_1)+\\alpha_2^\\sigma\\Phi(v_2).
\n\\]
\nOu seja, a transforma\u00e7\u00e3o $\\Phi$ \u00e9 $\\sigma$-semilinear. Al\u00e9m disso, $\\Phi$ \u00e9 injetiva, e quando $\\dim V$ \u00e9 finita, ent\u00e3o $\\Phi$ \u00e9 sobrejetiva. Portanto, quando $\\dim V$ for finita, $\\Phi:V\\to V^*$ \u00e9 uma bije\u00e7\u00e3o semilinear.<\/div>\n
\nO fato que $\\Phi$ \u00e9 $\\sigma$-semilinear segue do fato que $B$ \u00e9 $\\sigma$-semilinear na segunda vari\u00e1vel. Vamos mostrar que $\\Phi$ \u00e9 injetiva. Note que se $\\Phi(v_1)=\\Phi(v_2)$ com $v_1,v_2\\in V$, ent\u00e3o $B(w,v_1)=B(w,v_2)$ vale para todo $w\\in V$ e assim $v_1-v_2\\in\\mbox{Rad}(B)=0$. Logo $v_1=v_2$ e segue que $\\Phi$ \u00e9 injetiva.<\/p>\n

Assuma agora que $\\dim V$ \u00e9 finita e mostremos que $\\Phi$ \u00e9 sobrejetiva. Aqui n\u00f3s tratamos apenas formas $\\sigma$-hermitianas; o caso das formas alternadas \u00e9 exerc\u00edcio. Escolha uma base ortogonal $B=\\{b_1,\\ldots,b_n\\}$ em $V$. Note que $Q(b_i)=B(b_i,b_i)\\neq 0$. Por exerc\u00edcio anterior, temos, para $v\\in V$ que
\n\\[
\nv=\\sum_{i=1}^n \\frac{B(v,b_i)}{Q(b_i)}b_i.
\n\\]
\nSeja $\\varphi\\in V^*$ e defina
\n\\[
\nv=\\frac{\\varphi(b_1)^\\sigma}{Q(b_1)}b_1+\\cdots+\\frac{\\varphi(b_n)^\\sigma}{Q(b_n)}b_n.
\n\\]
\nAfirmamos que $\\varphi=\\Phi(v)=\\varphi_v$. Para isso, precisa-se provar que $\\varphi(w)=\\varphi_v(w)=B(w,v)$ para todo $w\\in V$, mas \u00e9 suficiente verificar esta igualdade nos elementos na base; ou seja precisamos provar que $\\varphi(b_i)=B(b_i,v)$ para todo $i$. Vamos calcular que
\n\\[
\n\\varphi_v(b_i)=B(b_i,v)=B\\left(b_i,\\frac{\\varphi(b_1)^\\sigma}{Q(b_1)}b_1+\\cdots+\\frac{\\varphi(b_n)^\\sigma}{Q(b_n)}b_n\\right)=\\varphi(b_i).
\n\\]<\/p>\n<\/div>\n

\nSejam $V$ e $W$ espa\u00e7os vetoriais sobre $\\F$ e assuma que $B_V$ e $B_W$ s\u00e3o formas $\\sigma$-hermitianas n\u00e3o degeneradas sobre $V$ e $W$, respetivamente. Assuma que $f:V\\to W$ \u00e9 uma transforma\u00e7\u00e3o linear. Uma aplica\u00e7\u00e3o $g:W\\to F$ \u00e9 chamada adjunta<\/b> de $f$ se
\n\\[
\nB_W(f(v),w)=B_V(v,g(w))\\quad\\mbox{para todo}\\quad v\\in V,\\ w\\in W.
\n\\]<\/div>\n
\nSe existir a adjunta $g$ de $f$ na defini\u00e7\u00e3o anterior, ent\u00e3o ele \u00e9 linear e \u00e9 \u00fanica.<\/div>\n
\nPara provar que $g$ \u00e9 linear, calculemos para todo $v,w_1,w_2\\in V$ e $\\alpha_1,\\alpha_2\\in \\F$ que
\n\\begin{align*}
\nB_V(v,\\alpha_1g(w_1)+\\alpha_2g(w_2))&=
\n\\alpha_1^\\sigma B_V(v,g(w_1))+\\alpha_2^\\sigma B_V(v,g(w_2))\\\\&=\\alpha_1^\\sigma B_W(f(v),w_1)+\\alpha_2^\\sigma B_W(f(v),w_2)\\\\&=B_W(f(v),\\alpha_1 w_1+\\alpha_2 w_2)
\n\\\\&=B_V(v,g(\\alpha_1 w_1+\\alpha_2 w_2)).
\n\\end{align*}
\nIsso mostra que $\\alpha_1g(w_1)+\\alpha_2g(w_2)-g(\\alpha_1 w_1+\\alpha_2 w_2)$ est\u00e1 contido no radical de $B_V$, ou seja $\\alpha_1g(w_1)+\\alpha_2g(w_2)-g(\\alpha_1 w_1+\\alpha_2 w_2)=0$. Portanto
\n\\[
\n\\alpha_1g(w_1)+\\alpha_2g(w_2)=g(\\alpha_1 w_1+\\alpha_2 w_2)
\n\\]
\nvale para todo $w_1,w_2\\in V$ e $\\alpha_1,\\alpha_2\\in \\F$ que implica que $g$ \u00e9 linear.<\/p>\n

Assuma que $g_1$ e $g_2$ s\u00e3o adjuntos de $f:V\\to W$. Ent\u00e3o temos para todo $v\\in V$ e $w\\in W$ que
\n\\[
\nB_V(v,g_1(w))=B_W(f(v),g)=B_V(v,g_2(w)).
\n\\]
\nOu seja $g_1(w)-g_2(w)\\in\\mbox{Rad}(B_V)$ e $g_1=g_2$.<\/p>\n<\/div>\n

\nSejam $V$, $W$, $B_V$ e $B_W$ como no lema anterior e $f:V\\to W$ uma aplica\u00e7\u00e3o linear. Se $\\dim V$ e $\\dim W$ s\u00e3o finitas, existe a adjunta $f^*:W\\to V$ e ela \u00e9 \u00fanica.<\/div>\n
\nSeja $w\\in W$ e defina a funcional $\\psi_w\\in V^*$ com a regra
\n\\[
\n\\psi_w(v)=B_W(f(v),w).
\n\\]
\n\u00c9 f\u00e1cil verificar que $\\psi_w\\in V^*$. Pelo lema acima, existe \u00fanico $w^*\\in V$ tal que $\\psi_w=\\varphi_{w^*}$. Defina $f^*(w)=w^*=B_V(-,w^*)$. Assim temos que
\n\\[
\nB_W(f(v),w)=\\psi_w(v)=\\varphi_{w^*}(v)=B_V(v,w^*)=B_V(v,f^*(w)).
\n\\]
\nA unicidade segue do lema anterior.<\/div>\n
\nUsando a nota\u00e7\u00e3o do teorema anterior, assuma que $X_V$ e $X_W$ s\u00e3o bases de $V$ e $W$, respetivamente. Sejam $A$ e $A^*$ as matrizes de $f$ e $f^*$ nas bases $X_V$ e $X_W$, respetivamente e sejam $G_V$ e $G_W$ as matrizes de Gram das formas $B_V$ e $B_W$. Temos que
\n\\[
\nA^*=G_V^{-1\\sigma}A^{t\\sigma}G_W^\\sigma.
\n\\]
\nEm particular, se $X_V$ e $X_W$ s\u00e3o bases ortonormais, ent\u00e3o
\n\\[
\nA^*=A^{t\\sigma}.
\n\\]<\/div>\n
\nTemos pela defini\u00e7\u00e3o do operador adjunto que
\n\\[
\nB_W(f(v),w)=B_V(v,f^*(w))\\quad\\mbox{para todo}\\quad v\\in V\\mbox{ e }w\\in W.
\n\\]
\nEscrevendo a igualdade acima com matrizes, temos que
\n\\[
\n(A[v]_{X_V})^tG_W [w]_{X_W}^\\sigma=[v]_{X_V}^tG_V (A^*[w]_{X_W})^\\sigma.
\n\\]
\nDa\u00ed
\n\\[
\n[v]_{X_V}^t A^t G_W [w]_{X_W}^\\sigma=[v]_{X_V}^tG_V A^{*\\sigma}[w]_{X_W}^\\sigma.
\n\\]
\nComo a igualdade vale para todo $[v]_{X_V}\\in\\F^m$ e $[w]_{X_W}\\in\\F^n$, temos que
\n\\[
\nA^t G_W=G_V A^{*\\sigma}.
\n\\]
\nUsando que $G_V$ \u00e9 invert\u00edvel, temos que
\n\\[
\nA^*=A^{t\\sigma}.
\n\\]<\/div>\n
\nAssuma que $f,g: V\\to W$ e $\\alpha_1,\\alpha_2\\in \\F$. Assuma que existem $f^*$ e $g^*$. Ent\u00e3o temos que<\/p>\n
    \n
  1. $(\\alpha_1f+\\alpha_2g)^*=\\alpha_1^\\sigma f^*+\\alpha_2^\\sigma g^*$;<\/li>\n
  2. $f^{**}=f$;<\/li>\n
  3. Se $f$ \u00e9 invert\u00edvel e existe $(f^{-1})^*$, ent\u00e3o $(f^{-1})^*=(f^*)^{-1}$<\/li>\n
  4. se $f,g:V\\to V$, ent\u00e3o $(f\\circ g)^*=g^*\\circ f^*$<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \nExerc\u00edcio.<\/div>\n
    \nSejam $V$ e $B_V$ como nos resultados anteriores e seja $f:V\\to V$ um operador que possui adjunto $f^*$. Assuma que $W\\leq V$ \u00e9 $f$-invariante. Ent\u00e3o $W^\\perp$ \u00e9 $f^*$-invariante.<\/div>\n
    \nAssuma que $w\\in W^\\perp$. Precisamos provar que $f^*(w)\\perp z$ para todo $z \\in W$; ou seja $B_V(z,f^*(w))=0$ para todo $z\\in W$. Usando que $f(z)\\in W$, temos que $f(z)\\perp w$ e calculemos que
    \n\\[
    \nB_V(z,f^*(w))=B_V(f(z),w)=0.
    \n\\]<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Nesta p\u00e1gina, $V$ \u00e9 um $\\F$-espa\u00e7o vetorial com $\\mbox{car}(\\F)\\neq 2$ e $B$ \u00e9 uma forma $\\sigma$-hermitiana ou alternada n\u00e3o degenerada sobre $V$. Note que no caso de $\\sigma$-hermitiana, $\\sigma^2=\\mbox{id}_\\F$. Quando $\\sigma=\\mbox{id}_\\F$, ent\u00e3o $B$ \u00e9 uma forma sim\u00e9trica. Quando $B$ \u00e9 alternada, ent\u00e3o $\\sigma=\\mbox{id}_\\F$. Lembre que $V^*$ \u00e9 o espa\u00e7o dual de $V$; ou seja, \\[ … Continue reading Operadores adjuntos<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2375"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2375"}],"version-history":[{"count":8,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2375\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2430,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2375\/revisions\/2430"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2375"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}