{"id":2348,"date":"2023-05-19T07:48:36","date_gmt":"2023-05-19T10:48:36","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2348"},"modified":"2023-05-24T11:20:30","modified_gmt":"2023-05-24T14:20:30","slug":"isometrias-de-formas-sesquilineares","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/isometrias-de-formas-sesquilineares\/","title":{"rendered":"Isometrias de formas sesquilineares"},"content":{"rendered":"
\n
\nSejam $(V,B)$ e $(W,C)$ $\\F$-espa\u00e7os vetoriais com formas sesquilineares reflexivas. Um morfismo<\/b> entre $(V,B)$ e $(W,C)$ \u00e9 uma transforma\u00e7\u00e3o linear $f:V\\to W$ tal que $C(f(v),f(w))=B(v,w)$ para todo $v,w\\in V$. Um morfismo bijetivo $f:V\\to W$ \u00e9 chamado isometria<\/b>. Dois espa\u00e7os $(V,B)$ e $(W,C)$ s\u00e3o isom\u00e9tricos<\/b> se existir uma isometria $f:V\\to W$.<\/div>\n
\nAssuma que $f$ \u00e9 um morfismo entre $(V,B)$ e $(W,C)$. Ent\u00e3o $\\ker f\\leq \\mbox{Rad}(B)$. Em particular, se $B$ \u00e9 n\u00e3o degenerada, ent\u00e3o $f$ \u00e9 injetiva.<\/div>\n
\nSeja $v\\in\\ker f$ e $w\\in V$ arbitr\u00e1rio. Ent\u00e3o $B(v,w)=C(f(v),f(w))=0$ e $v\\in \\mbox{Rad}(B)$. Se $B$ for n\u00e3o degenerada, ent\u00e3o $\\mbox{Rad}(B)=0$ e $\\ker f=0$ e, consequentemente, $f$ \u00e9 injetiva.<\/div>\n
\nSeja $V$ um espa\u00e7o vetorial de dimens\u00e3o finita com forma sesquilinear reflexiva e n\u00e3o degenerada $B$. Se $f:V\\to V$ \u00e9 um morfismo, ent\u00e3o $f$ \u00e9 uma isometria de $V$. Em particular $f$ \u00e9 um automorfismo de $V$.<\/div>\n
\nSeja $V$ um espa\u00e7o com forma sesquilinear reflexiva $B$. Um sistema de vetores $X$ de $V$ \u00e9 dito ortogonal<\/b> se $B(b_i,b_j)=0$ (ou seja, $b_i\\perp b_j$) para todo $b_i,b_j\\in X$ distintos. O sistema $X$ \u00e9 dito ortonormal<\/b> se ele \u00e9 ortogonal e $Q(b_i)=B(b_i,b_i)=1$ para todo $b_i\\in X$.<\/div>\n
\nSeja $B$ uma forma $\\sigma$-sesquilinear reflexiva sobre um espa\u00e7o $V$.<\/p>\n
    \n
  1. Mostre que um sistema $X$ ortogonal com $Q(b,b)\\neq 0$ para todo $b\\in X$ \u00e9 l.i.<\/li>\n
  2. Seja $X$ uma base ortogonal com $Q(b,b)\\neq 0$ para todo $b\\in X$. Mostre para $v\\in V$ que
    \n\\[
    \nv=\\sum_{b\\in X} \\frac{B(v,b)}{B(b,b)}b
    \n\\]
    \n(mostre que a soma na linha anterior \u00e9 finita mesmo que $X$ seja infinita).<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \nSeja $V$ um $\\F$-espa\u00e7o de dimens\u00e3o finita sobre um corpo de carater\u00edstica diferente de $2$ e $B$ uma forma $\\sigma$-Hermitiana (incluindo sim\u00e9trica). Ent\u00e3o $V$ possui uma base ortogonal.<\/div>\n
    \nSeja $V_0=\\mbox{Rad}(V)$ e escreva $V=W\\perp V_0$ com um complemento $W$ de $V_0$ qualquer. A restri\u00e7\u00e3o de $B$ para $W$ \u00e9 n\u00e3o degenerada. Se $X_W$ \u00e9 uma base ortogonal de $W$ e $X_0$ \u00e9 uma base qualquer de $V_0$, ent\u00e3o $X_W\\cup X_0$ \u00e9 base ortogonal de $V$. Ent\u00e3o precisamos achar base ortogonal no espa\u00e7o $W$ e assumimos sem perder a generalidade que $B$ \u00e9 n\u00e3o degenerada em $V$.<\/p>\n

    Avan\u00e7amos por indu\u00e7\u00e3o em $\\dim V$. Se $\\dim V=1$, ent\u00e3o qualquer vetor $v\\in V\\setminus\\{0\\}$ \u00e9 uma base ortogonal. Assuma que espa\u00e7os de dimens\u00e3o $n-1$ com formas n\u00e3o degeneradas t\u00eam bases ortogonais e assuma que $\\dim V=n$. Seja $Q$ a forma quadr\u00e1tica associada com $B$; ou seja $Q(v)=B(v,v)$. Afirmamos que existe $v\\in V$ tal que $Q(v)\\neq 0$. Caso contr\u00e1rio, escolha $u,v\\in V$ tal que $B(u,v)=1$ (eles existem) e obtenha por um lema na p\u00e1gina anterior que
    \n\\[
    \n0=B(u,v)+B(v,u)=B(u,v)+B(u,v)^\\sigma=1+1^\\sigma.
    \n\\]
    \nOu seja, $1^\\sigma=-1$. Mas se $\\mbox{car}(\\F)\\neq 2$, isso \u00e9 imposs\u00edvel, pois $1^\\sigma=1$ para todo automorfismo de $\\F$. Logo existe vetor $b_1\\in V$ tal que $Q(b_1)=B(b_1,b_1)\\neq 0$. Seja $U=\\langle b_1\\rangle$ e considere $U^\\perp$. Temos que $\\dim U^\\perp=\\dim V-1$ ($B$ \u00e9 n\u00e3o degenerada). Al\u00e9m disso, se $w$ perten\u00e7e ao radical de $B$ restringida a $U^\\perp$, ent\u00e3o $w\\perp b_1$ e $w\\in\\mbox{Rad}(B)$. Logo a restri\u00e7\u00e3o de $B$ para $U^\\perp$ \u00e9 n\u00e3o degenerada. Pela hip\u00f3tese da indu\u00e7\u00e3o $U^\\perp$ possui uma base $\\{b_2,\\ldots,b_n\\}$ ortogonal. Ora $\\{b_1,\\ldots,b_n\\}$ \u00e9 base ortogonal de $V$.<\/p>\n<\/div>\n

    \nSeja $\\sigma\\in\\mbox{Aut}(\\R)$. Mostre que<\/p>\n
      \n
    1. se $x$ \u00e9 positivo, ent\u00e3o $x^\\sigma$ \u00e9 positivo;<\/li>\n
    2. $\\sigma$ \u00e9 n\u00e3o decrescente;<\/li>\n
    3. $\\sigma$ \u00e9 cont\u00ednua;<\/li>\n
    4. sabendo que $Q\\subseteq \\mbox{Fix}(\\sigma)$, deduza que $\\sigma=\\mbox{id}_\\R$.<\/li>\n<\/ol>\n

      [Dica: consulte a discuss\u00e3o<\/a> na p\u00e1gina de StackExchange.]<\/p>\n<\/div>\n

      \nSeja $\\sigma\\in\\mbox{Aut}(\\C)$ tal que $\\sigma$ \u00e9 cont\u00ednuo. Mostre que $\\sigma=\\mbox{id}_\\C$ ou $\\sigma$ \u00e9 o conjugado complexo. [Dica: considere as ra\u00edzes do polin\u00f4mio $t^2+1$.] Tem uma boa discuss\u00e3o<\/a> dos automorfismos de $\\C$ que n\u00e3o s\u00e3o cont\u00ednuos no StackExchange.<\/div>\n
      \nAssuma que $V$ e $B$ s\u00e3o como no resultado anterior e assuma que $B$ \u00e9 n\u00e3o-degenerada.<\/p>\n
        \n
      1. Se $\\F=\\C$ e $\\sigma=\\mbox{id}_\\C$, ent\u00e3o $V$ possui uma base ortonornal.<\/li>\n
      2. Se $\\F=\\R$ ou $\\F=\\C$ e $\\sigma$ \u00e9 o conjugado complexo, ent\u00e3o $V$ possui uma base ortogonal $\\{b_1,\\ldots,b_n\\}$ tal que $B(b_i,b_i)=\\pm 1$. Al\u00e9m disso, o n\u00famero $p$ de $b_i$ com $B(b_i,b_i)=-1$ \u00e9 independente a base escolhida.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
        \nAssuma que $\\{b_1,\\ldots,b_n\\}$ \u00e9 base ortogonal de $V$ e seja $\\alpha_i=B(b_i,b_i)\\neq 0$.<\/p>\n

        1. Se $\\F=\\C$ e $B$ \u00e9 sim\u00e9trica, ent\u00e3o podemos substituir $b_i$ por $b_i’=(\\alpha_i)^{1\/2} b_i$ e $\\{b_1′,\\ldots,b_n’\\}$ \u00e9 base ortonormal.<\/p>\n

        2. Ponha $b_i’=|\\alpha_i|^{1\/2}b_i$. Ora $\\{b_1′,\\ldots,b_n’\\}$ \u00e9 base com $B(b_i’,b_i’)=\\pm 1$.<\/p>\n

        Assuma agora que $X=\\{b_1,\\ldots,b_k,b_{k+1},\\ldots,b_n\\}$ \u00e9 base de $V$ tal que $Q(b_i)=-1$ para $i\\in\\{1,\\ldots,k\\}$ e $Q(b_i)=1$ para os demais $i$. Seja $Y=\\{c_1,\\ldots,c_m,c_{m+1},\\ldots,c_n\\}$ uma outra base com $Q(c_j)=-1$ para $j\\in\\{1,\\ldots,m\\}$ e $Q(c_j)=1$ para os demais $j$. Assuma que $k\\geq m$. Afirmamos que
        \n\\[
        \nb_1,\\ldots,b_k,c_{m+1},\\ldots,c_n
        \n\\]
        \n\u00e9 um sistema L.I. Assuma que
        \n\\[
        \n\\alpha_1b_1+\\cdots +\\alpha_kb_k+\\alpha_{m+1}c_{m+1}+\\cdots+\\alpha_nc_n=0.
        \n\\]
        \nLogo
        \n\\[
        \n\\alpha_1b_1+\\cdots+ \\alpha_kb_k=-\\alpha_{m+1}c_{m+1}-\\cdots-\\alpha_nc_n.
        \n\\]
        \nAplicando $Q$ nos vetores $v$ e $w$ nos dois lados da equa\u00e7\u00e3o acima, obtemos que $Q(v) \\leq 0$, enquanto $Q(w) \\geq 0$. Portanto $Q(v)=Q(w)=0$ e $\\alpha_i=0$ para todo $i$. Isso implica que $k+n-m\\leq n$; ou seja, $k\\leq m$; ou seja $k=m$.<\/p>\n<\/div>\n

        O par $(p,n-p)$ no resultado anterior \u00e9 chamado assinatura<\/b> de $B$. A assinatura est\u00e1 bem definida nas situa\u00e7\u00f5es do item 2. no corol\u00e1rio anterior.<\/div>\n
        \nO espa\u00e7o $\\R^{p+q}$ (tamb\u00e9m denotado por $\\R^{p,q}$) \u00e9 o espa\u00e7o vetorial $\\R^{p+q}$ com forma sim\u00e9trica $B$ com matriz diagonal com $-1,\\ldots,-1,1,\\ldots,1$ na diagonal ($-1$ repetendo $p$ vezes e $1$ repetendo $q$ vezes). O espa\u00e7o $\\C^{p+q}$ est\u00e1 definido na mesma forma, mas tomamos uma forma $\\sigma$-hermitiana com $\\sigma$ sendo o conjugado complexo.<\/div>\n
        \nNote que $\\R^{0+q}$ \u00e9 o espa\u00e7o $\\R^q$ com o produto interno usual em $\\R^q$. O espa\u00e7o $\\R^{1+3}$ \u00e9 o espa\u00e7o de Lorentz usado na relatividade especial.<\/div>\n
        \nSeja $V$ um $\\F$-espa\u00e7o vetorial de dimens\u00e3o $n$ com uma forma $\\sigma$-hermitiana $B$ n\u00e3o degenerada.<\/p>\n
          \n
        1. Se $\\F=\\R$, ent\u00e3o $\\sigma=\\mbox{id}_\\R$ e $(V,B)$ \u00e9 isom\u00e9trico ao espa\u00e7o $\\R^{p+q}$ com alguns $q,p$ tais que $p+q=n$.<\/li>\n
        2. Se $\\F=\\C$ e $\\sigma$ \u00e9 o conjugado complexo, ent\u00e3o $(V,B)$ \u00e9 isom\u00e9trico ao espa\u00e7o $\\C^{p+q}$ com alguns $q,p$ tais que $p+q=n$.<\/li>\n
        3. Se $\\F=\\C$ e $\\sigma=\\mbox{id}_\\C$, ent\u00e3o $V$ \u00e9 isom\u00e9trico ao espa\u00e7o $\\C^n$ com forma $B_0$ onde
          \n\\[
          \nB_0(v,w)=v_1w_1+\\cdots+v_nw_n.
          \n\\]
          \npara $v=(v_1,\\ldots,v_n)$ e $w=(w_1,\\ldots,w_n)$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
          \nSeja $A$ uma matiz com entradas em um corpo $\\F$ de carater\u00edstica diferente de $2$.<\/p>\n
            \n
          1. Se $A$ \u00e9 sim\u00e9trica, ent\u00e3o existe uma matriz $X$ com entradas em $\\F$ tal que
            \n\\[
            \nXAX^t
            \n\\]
            \n\u00e9 diagonal.<\/li>\n
          2. Se $\\F=\\C$ e $A^t=\\overline A$ (conjugada complexa de $A$), ent\u00e3o existe $X$ com entradas em $\\C$ tal que
            \n\\[
            \nXA\\overline X^t=I_{\\pm 1,0}
            \n\\]
            \nonde $I_{\\pm 1,0}$ \u00e9 uma matriz diagonal com entradas $-1,\\ldots,-1,1,\\ldots,1,0,\\ldots,0$ na diagonal.<\/li>\n
          3. Se $\\F=\\C$ e $A$ \u00e9 sim\u00e9trica, ent\u00e3o existe $X$ com entradas em $\\C$ tal que
            \n\\[
            \nXA X^t=I_0
            \n\\]
            \nonde $I_0$ \u00e9 matriz diagonal com entradas $1,\\ldots,1,0,\\ldots,0$ na diagonal principal.<\/li>\n
          4. Se $\\F=\\R$ e $A$ \u00e9 sim\u00e9trica, ent\u00e3o existe $X$ com entradas em $\\R$ tal que
            \n\\[
            \nXAX^t=I_{\\pm 1,0}
            \n\\]
            \nonde $I_{\\pm 1,0}$ \u00e9 uma matriz diagonal com entradas $-1,\\ldots,-1,1,\\ldots,1,0,\\ldots,0$ na diagonal.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
            \nEm todos os casos considere a forma $B_A$ com matriz $A$ em uma base. Diagonalize a forma e aplique a formula para mudan\u00e7a de base na p\u00e1gina anterior.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

            Sejam $(V,B)$ e $(W,C)$ $\\F$-espa\u00e7os vetoriais com formas sesquilineares reflexivas. Um morfismo entre $(V,B)$ e $(W,C)$ \u00e9 uma transforma\u00e7\u00e3o linear $f:V\\to W$ tal que $C(f(v),f(w))=B(v,w)$ para todo $v,w\\in V$. Um morfismo bijetivo $f:V\\to W$ \u00e9 chamado isometria. Dois espa\u00e7os $(V,B)$ e $(W,C)$ s\u00e3o isom\u00e9tricos se existir uma isometria $f:V\\to W$. Assuma que $f$ \u00e9 um … Continue reading Isometrias de formas sesquilineares<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2348"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2348"}],"version-history":[{"count":10,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2348\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2372,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2348\/revisions\/2372"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2348"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}