{"id":2338,"date":"2023-05-17T08:07:59","date_gmt":"2023-05-17T11:07:59","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2338"},"modified":"2023-05-24T10:17:28","modified_gmt":"2023-05-24T13:17:28","slug":"formas-sesquilineares","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/formas-sesquilineares\/","title":{"rendered":"Formas sesquilineares"},"content":{"rendered":"
\n
\nSe $\\F$ \u00e9 um corpo, uma aplica\u00e7\u00e3o bijetiva $\\sigma:\\F\\to \\F$, $a\\mapsto a^\\sigma$, chama-se automorfismo<\/b>, se<\/p>\n
    \n
  1. $(a+b)^\\sigma=a^\\sigma+b^\\sigma$;<\/li>\n
  2. $(ab)^\\sigma=a^\\sigma b^\\sigma$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \n1. A bije\u00e7\u00e3o $\\mbox{id}_\\F$ \u00e9 automorfismo para todo corpo $\\F$. Este automorfismo chama-se automorfismo trivial<\/b>. Os corpos $\\Q$, $\\Z_p$ n\u00e3o t\u00eam automorfismos n\u00e3o triviais (consegue demonstrar?).<\/p>\n

    2. Se $\\F=\\C$, ent\u00e3o $\\sigma:\\C\\to \\C$, $z^\\sigma=\\bar z$ (conjugado complexo) \u00e9 um automorfismo de $\\C$.<\/p>\n

    3. Se $\\F$ \u00e9 um corpo de carater\u00edstica $p$ (primo), ent\u00e3o a aplica\u00e7\u00e3o $\\varphi:a\\mapsto a^p$ \u00e9 injetiva e satisfaz as duas propriedades na defini\u00e7\u00e3o de automorfismo. Para um corpo arbitr\u00e1rio, $\\varphi$ n\u00e3o precisa ser sobrejetiva, mas se $\\F$ \u00e9 finito, ent\u00e3o $\\varphi$, sendo injetiva, ser\u00e1 obrigatoriamente sobrejetiva e \u00e9 um automorfismo. O automorfismo $\\varphi$ de um corpo finito $\\F$ \u00e9 chamado de automorfismo de Frobenius<\/b>.<\/p>\n

    4. \u00c9 f\u00e1cil provar que a composi\u00e7\u00e3o de automorfismos \u00e9 automorfismo. Em particular, se $\\F$ \u00e9 um corpo finito de carater\u00edstica $p$, ent\u00e3o
    \n\\[
    \n\\varphi^k:\\F\\to \\F, \\quad a\\mapsto a^{p^k}
    \n\\]
    \n\u00e9 um automorfismo de $\\F$. Voc\u00eas v\u00e3o aprender na disciplina Grupos e Corpos que todos os automorfismos de corpos finitos t\u00eam esta forma.<\/p>\n

    5. Se
    \n\\[
    \n\\F=\\{a+b\\sqrt 2\\mid a,b \\in \\Q\\},
    \n\\]
    \nent\u00e3o $a+b\\sqrt 2\\mapsto a-b\\sqrt 2$ \u00e9 um automorfismo.<\/p>\n<\/div>\n

    \nSeja $V$ um $\\F$-espa\u00e7o vetorial e $\\sigma:\\F\\to\\F$ um automorfismo. Uma aplica\u00e7\u00e3o $B:V\\times V\\to \\F$ chama-se forma $\\sigma$-sesquilinear<\/b> se<\/p>\n
      \n
    1. $B(\\alpha u+\\beta v,w)=\\alpha B(u,w)+\\beta B(v,w)$.<\/li>\n
    2. $B(u,\\alpha v+\\beta w)=\\alpha^\\sigma B(u,v)+ \\beta^\\sigma B(u,w)$.<\/li>\n<\/ol>\n

      Ou seja, uma forma sesquilinear, \u00e9 uma forma de duas vari\u00e1veis que \u00e9 linear na primeira vari\u00e1vel e $\\sigma$-semilinear na segunda.<\/p>\n<\/div>\n

      \nDada uma forma $B:V\\times V\\to \\F$ sesquilinear, definimos os radicais da forma
      \n\\[
      \n\\mbox{Rad}_L(B)=\\{v\\in V\\mid B(v,w)=0\\mbox{ para todo }w\\in V\\}
      \n\\]
      \ne
      \n\\[
      \n\\mbox{Rad}_R(B)=\\{w\\in V\\mid B(v,w)=0\\mbox{ para todo }v\\in V\\}.
      \n\\]
      \nO $\\mbox{Rad}_L(B)$ chama-se radical \u00e0 esquerda<\/b>, enquanto $\\mbox{Rad}_R(B)$ chama-se radical \u00e0 direita<\/b>.<\/div>\n
      \nAssuma que $B:V\\times V\\to \\F$ \u00e9 uma forma sesquilinear sobre um espa\u00e7o $V$ de dimens\u00e3o $n$, finita. Seja $X=\\{b_1,\\ldots,b_n\\}$ uma base de $V$. Definimos a matriz de Gram<\/b> de $B$ como a matriz $G_X(B)=(B(b_i,b_j))_{i,j}$.<\/div>\n
      \nSejam $V$ e $B$ como na defini\u00e7\u00e3o anterior, assuma que $u,v\\in V$ e denote por $[u]_X$ e $[v]_X$ os vetores colunas das coordenadas de $u$ e $v$ na base $X$, respetivamente. Se $(\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_n)\\in\\F^n$, ent\u00e3o denote
      \n\\[
      \n(\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_n)^\\sigma=(\\alpha_1^\\sigma,\\ldots,\\alpha_n^\\sigma).
      \n\\]
      \nTemos que
      \n\\[
      \nB(u,v)=([u]_X)^t G_X(B) ([v]_X)^\\sigma.
      \n\\]<\/div>\n
      \nExerc\u00edcio.<\/div>\n
      \nDemonstre que se $\\dim V$ \u00e9 finita, ent\u00e3o $\\dim \\mbox{Rad}_L=\\dim \\mbox{Rad}_R$. (Dica: Use o Lema anterior para obter sistemas de equa\u00e7\u00f5es lineares para caraterizar $\\mbox{Rad}_L$ e $\\mbox{Rad}_R$ e mostre que os espa\u00e7os de solu\u00e7\u00f5es t\u00eam a mesma dimens\u00e3o.)<\/div>\n
      \nSeja $A=(a_{i,j})\\in M_{n\\times n}(\\F)$ e denote por $A^\\sigma$ a matriz $(a_{i,j}^\\sigma)$. Demonstre que
      \n\\[
      \n(A+B)^\\sigma =A^\\sigma+B^\\sigma\\quad\\mbox{e}\\quad (AB)^\\sigma=A^\\sigma B^\\sigma.
      \n\\]<\/div>\n
      \nAssuma que $V$ tem dimens\u00e3o finita e sejam $X$ e $Y$ bases de $V$. Ent\u00e3o
      \n\\[
      \nG_Y(B)=([\\mbox{id}]^Y_X)^t G_X(B) [\\mbox{id}^Y_X]^\\sigma
      \n\\]
      \nonde $[\\mbox{id}^Y_X]^\\sigma$ denota a matriz que obtemos de $[\\mbox{id}^Y_X]$ aplicando $\\sigma$ em todas as suas entradas.<\/div>\n
      \nSejam $v,w\\in V$. Vamos calcular que
      \n\\begin{align*}
      \n&([v]_Y)^t([\\mbox{id}]^Y_X)^t G_X(B) [\\mbox{id}^Y_X]^\\sigma ([w]_Y)^\\sigma\\\\
      \n&=([\\mbox{id}]^Y_X [v]_Y)^tG_X(B)([\\mbox{id}^Y_X][w]_Y)^\\sigma\\\\
      \n&=([v]_X)^tG_X(B)([w]_X)^\\sigma =B(v,w).
      \n\\end{align*}
      \nIsso implica que $G_Y(B)=([\\mbox{id}]^Y_X)^t G_X(B) [\\mbox{id}^Y_X]^\\sigma$.<\/div>\n
      \nUma forma $\\sigma$-sesquilinear $B$ chama-se reflexiva<\/b>, se $B(u,v)=0$ implica que $B(v,u)=0$. Se $B$ \u00e9 uma forma refexiva, ent\u00e3o $\\mbox{Rad}_L(B)=\\mbox{Rad}_R(B)$ e este espa\u00e7o \u00e9 chamado de radical<\/b> de $B$ e ser\u00e1 denotado por $\\mbox{Rad}(B)$. A forma $B$ \u00e9 dita n\u00e3o degenerada<\/b> se $\\mbox{Rad}(B)=0$.<\/div>\n
      \nSeja $B$ uma forma $\\sigma$-sesquilinear.<\/p>\n
        \n
      1. $B$ \u00e9 chamada $\\sigma$-Hermitiana<\/b> se $B(u,v)=B(v,u)^\\sigma$ para todo $u,v\\in V$.<\/li>\n
      2. $B$ \u00e9 chamada alternada<\/b> se $B(u,u)=0$ para todo $u\\in U$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
        \nAs seguintes s\u00e3o verdadeiras para uma forma $\\sigma$-sesquilinear n\u00e3o trivial:<\/p>\n
          \n
        1. Se $B$ \u00e9 $\\sigma$-Hermitiana, ent\u00e3o $\\sigma^2=\\mbox{id}_\\F$.<\/li>\n
        2. Se $B$ \u00e9 alternada, ent\u00e3o $B(u,v)=-B(v,u)$ para todo $u,v\\in V$.<\/li>\n
        3. Se $B$ \u00e9 alternada, ent\u00e3o $\\sigma=\\mbox{id}_\\F$.<\/li>\n
        4. Se $\\mbox{car}(\\F)\\neq 2$, e $B(u,v)=-B(v,u)$ para todo $u,v\\in V$, ent\u00e3o $B$ \u00e9 alternada.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
          \n1. Seja $\\alpha\\in \\F$ tal que $\\alpha=B(u,v)$ (tais $u,v$ existem pois $B$ \u00e9 n\u00e3o trivial). Ent\u00e3o
          \n\\[
          \n\\alpha=B(u,v)=B(v,u)^\\sigma=B(u,v)^{\\sigma^2}=\\alpha^{\\sigma^2}.
          \n\\]
          \nLogo $\\alpha^{\\sigma^2}=\\alpha$ e $\\sigma^2=\\mbox{id}_\\F$.<\/p>\n

          2. Com $u,v\\in V$, calculemos que
          \n\\begin{align*}
          \n0&=B(u+v,u+v)=B(u,u)+B(u,v)+B(v,u)+B(v,v)\\\\&=B(u,v)+B(v,u).
          \n\\end{align*}
          \nLogo $B(u,v)=-B(v,u)$.<\/p>\n

          3. Escolhe $u,v\\in V$ tal que $B(u,v)=-B(v,u)=1$ (\u00e9 poss\u00edvel trocando $u$ por um m\u00faltiplo escalar) e seja $\\alpha\\in \\F$. Agora
          \n\\[
          \n\\alpha^\\sigma=B(u,\\alpha v)=-B(\\alpha v,u)=-\\alpha B(v,u)=\\alpha.
          \n\\]
          \nOu seja $\\alpha^\\sigma=\\alpha$ para todo $\\alpha\\in\\F$ e $\\sigma=\\mbox{id}_\\F$.<\/p>\n

          4. Assuma que $B(u,v)=-B(v,u)$ para todo $u,v$. Ent\u00e3o $B(u,u)=-B(u,u)$ ou seja $2B(u,u)=0$ para todo $u\\in V$. Se a carater\u00edstica do corpo \u00e9 diferente de $2$, isso implica que $B(u,u)=0$ para todo $u\\in V$.<\/p>\n<\/div>\n

          \nUma forma $\\sigma$-Hermitiana \u00e9 chamada sim\u00e9trica<\/b> se $\\sigma=\\mbox{id}_\\F$. Se $B$ \u00e9 sim\u00e9trica, ent\u00e3o $B(u,v)=B(v,u)$ para todo $u,v\\in V$.<\/div>\n
          \nSeja $B$ uma forma $\\sigma$-Hermitiana (incluindo sim\u00e9trica) ou alternada sobre $V$ de dimens\u00e3o finita. Seja $G=G_X(B)$ a matriz de Gram de $B$ em uma base $X$ de $V$. Mostre que<\/p>\n
            \n
          1. $B$ \u00e9 sim\u00e9trica se e somente se $G^t=G$;<\/li>\n
          2. $B$ \u00e9 alternada se e somente se $G^t=-G$;<\/li>\n
          3. $B$ \u00e9 $\\sigma$-Hermitiana se e somente se $G^t=G^\\sigma$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
            \nSeja $B$ uma forma $\\sigma$-sesquilinear reflexiva com $\\dim (V\/\\mbox{Rad}(B))\\geq 3$. Ent\u00e3o<\/p>\n
              \n
            1. $B$ \u00e9 alternada; ou<\/li>\n
            2. $B$ \u00e9 sim\u00e9trica; ou<\/li>\n
            3. $B$ \u00e9 m\u00faltiplo escalar de uma forma $\\sigma$-Hermitiana com $\\sigma\\neq \\sigma^2=\\mbox{id}_\\F$<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
              \nN\u00f3s n\u00e3o demonstramos este teorema. A leitora interessada na demonstra\u00e7\u00e3o pode consultar as notas de Nick Gill<\/a>.<\/div>\n
              \nSe $V$ \u00e9 um espa\u00e7o com forma sesquilinear reflexiva $B$, ent\u00e3o $u,v\\in V$ s\u00e3o ditos ortogonais<\/b> se $B(u,v)=0$. Escrevemos neste caso que $u\\perp v$.<\/div>\n
              \nSe $B$ \u00e9 alternada e $v\\in V$, ent\u00e3o $v\\perp v$.<\/div>\n
              \nSeja $\\sigma:\\F\\to\\F$ um automorfismo. Denote por $\\mbox{Fix}(\\F)=\\{a\\in\\F\\mid a^\\sigma=a\\}$. Mostre que $\\mbox{Fix}(\\sigma)$ \u00e9 um corpo.<\/div>\n
              \nSeja $B:V\\times V\\to \\F$ uma forma $\\sigma$-Hermitiana (incluindo formas sim\u00e9tricas). Defina $Q:V\\to \\F$ como $Q(v)=B(v,v)$. Ent\u00e3o $Q$ \u00e9 chamada de forma quadr\u00e1tica<\/b> associada com $B$.<\/div>\n
              \nUsando a nota\u00e7\u00e3o da defini\u00e7\u00e3o anterior, as seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o v\u00e1lidas para todo $u,v\\in V$ e $\\alpha\\in\\F$:<\/p>\n
                \n
              1. $Q(v)\\in\\mbox{Fix}(\\sigma)$;<\/li>\n
              2. $Q(\\alpha v)=\\alpha\\alpha^\\sigma Q(v)=\\alpha^{\\sigma+1}Q(v)$;<\/li>\n
              3. se $B$ \u00e9 sim\u00e9trica, ent\u00e3o $Q(\\alpha v)=\\alpha^2 Q(v)$;<\/li>\n
              4. $Q(u+v)-Q(u)-Q(v)=B(u,v)+B(v,u)=B(u,v)+B(u,v)^\\sigma$;<\/li>\n
              5. se $u\\perp v$, ent\u00e3o $Q(u+v)=Q(u)+Q(v)$ (Teorema de Pit\u00e1goras);<\/li>\n
              6. $Q(u+v)+Q(u-v)=2Q(u)+2Q(v)$ (Regra do Paralelogramo);<\/li>\n
              7. se $B$ for sim\u00e9trica, ent\u00e3o $Q(u+v)-Q(u)-Q(v)=2B(u,v)$.<\/li>\n<\/ol>\n

                Em particular, se $B$ for sim\u00e9trica e $\\mbox{car}(\\F)\\neq 2$, ent\u00e3o
                \n\\[
                \nB(u,v)=\\frac 12(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))
                \n\\]
                \ne $B$ est\u00e1 determinada por $Q$.<\/p>\n<\/div>\n

                \nSimples, s\u00f3 aplicar a defini\u00e7\u00e3o de $Q$.<\/div>\n
                \nSeja $V$ com forma $\\sigma$-hermitiana $B$. Um vetor $v\\in V$ \u00e9 dito isotr\u00f3pico<\/b> se $Q(v)=B(v,v)=0$.<\/div>\n
                \nSe $V=\\R^n$ ou $\\C^n$ e $B$ \u00e9 o produto interno usual, ent\u00e3o $0$ \u00e9 o \u00fanico vetor isotr\u00f4pico.<\/div>\n
                \nSeja $V$ um espa\u00e7o de dimens\u00e3o maior ou igual a $2$ sobre $\\C$ e seja $B$ uma forma sim\u00e9trica em $V$. Mostre que $V$ possui um vetor n\u00e3o nulo isotr\u00f3pico. Este exerc\u00edcio mostra que \u00e9 mesmo necess\u00e1rio usar o conjugado complexo na segunda vari\u00e1vel na defini\u00e7\u00e3o do produto interno para $\\C$-espa\u00e7os. Usando formas sim\u00e9tricas, n\u00e3o \u00e9 poss\u00edvel obter um produto interno que resulta em uma m\u00e9trica.<\/div>\n
                \nSeja $B$ uma forma sesquilinear reflexiva sobre um espa\u00e7o $V$ de dimens\u00e3o finita. Assuma que $G$ \u00e9 a matriz da forma em uma base de $V$. Mostre que $\\dim \\mbox{Rad}(V)=\\dim V-\\mbox{posto}(G)$. Em particular, $B$ \u00e9 n\u00e3o degenerada se e somente se $G$ \u00e9 invert\u00edvel.<\/div>\n
                \nSeja $V$ um espa\u00e7o com forma sesquilinear reflexiva $B$ e $U\\leq V$. Definimos o espa\u00e7o ortogonal<\/b> $U^\\perp$ de $U$ como
                \n\\[
                \nU^\\perp=\\{v\\in V\\mid B(v,u)=0\\mbox{ para todo }u\\in U\\}.
                \n\\]<\/div>\n
                \nAs seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o v\u00e1lidas para o espa\u00e7o ortogonal em rela\u00e7\u00e3o a uma forma $\\sigma$-sesquilinear reflexiva:<\/p>\n
                  \n
                1. $U^\\perp\\leq V$;<\/li>\n
                2. Se $U\\leq W$, ent\u00e3o $W^\\perp\\leq U^\\perp$;<\/li>\n
                3. $\\mbox{Rad}(V)=V^\\perp$ e $V^\\perp\\leq U^\\perp$ para todo $U\\leq V$;<\/li>\n
                4. Se $B$ \u00e9 n\u00e3o degenerada e $\\dim V$ \u00e9 finita, ent\u00e3o $\\dim U^\\perp+\\dim U=\\dim V$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
                  \nAs afirma\u00e7\u00f5es 1., 2., 3. s\u00e3o simples. Vamos provar apenas 4. Assuma que $\\dim V=n$, que $X=\\{b_1,\\ldots,b_n\\}$ \u00e9 uma base de $V$ tal que $\\{b_1,\\ldots,b_k\\}$ \u00e9 base de $U$, e seja $G=G_X(B)$ a matriz de $B$ na base $X$. Temos por resultado anterior que um vetor $v$ com $[v]_X=(\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_n)^t$ perten\u00e7e a $U^\\perp$ se e somente se
                  \n\\[
                  \n(\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_n)G [w]_B^\\sigma =0\\quad \\mbox{para todo}\\quad w\\in U
                  \n\\]
                  \nque vale se e somente se
                  \n\\[
                  \n(\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_n)G [b_i]_B^\\sigma =0\\quad \\mbox{para todo}\\quad i\\in\\{1,\\ldots,k\\}.
                  \n\\]
                  \nA equa\u00e7\u00e3o anterior \u00e9 equivalente ao sistema de equa\u00e7\u00f5es
                  \n\\[
                  \n(\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_n)G e_i =0\\quad \\mbox{para todo}\\quad i\\in\\{1,\\ldots,k\\}
                  \n\\]
                  \nonde $e_1,\\ldots,e_n$ \u00e9 a base can\u00f4nica de $\\F^n$. Mas o sistema anterior \u00e9 um sistema linear homog\u00eaneo com inc\u00f4gnitas $\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_n$ e a matriz desta sistema est\u00e1 formada pelas primeiras $k$ linhas de $G^t$. Como $B$ \u00e9 n\u00e3o degenerada, $G^t$ tem posto $k$ e o espa\u00e7o de solu\u00e7\u00f5es tem dimens\u00e3o $n-k$.<\/div>\n

                  Na situa\u00e7\u00e3o do item 4. do resultado anterior, se $U\\cap U^\\perp=0$, ent\u00e3o $V=U\\oplus U^\\perp$ e $U^\\perp$ \u00e9 chamado de complemento ortogonal<\/b> de $U$. Neste caso, escrevemos que $V=U\\perp U^\\perp$ para indicar que os dois espa\u00e7os na decomposi\u00e7\u00e3o s\u00e3o ortogonais.<\/p>\n

                  \nConsidere $V=\\C^2$ com a forma bilinear sim\u00e9trica $B(v,w)=v_1w_1+v_2w_2$ para $v=(v_1,v_2)$ e $w=(w_1,w_2)$ pertencentes a $\\C^2$. Observe que n\u00e3o aplicamos o conjugado complexo na segunda vari\u00e1vel! Note que esta forma est\u00e1 n\u00e3o degenerada, pois na base can\u00f4nica a sua matriz \u00e9 a matriz identidade. Considere a base $\\{(1,i),(1,-i)\\}$ de $\\C^2$. Nesta base, a matriz da forma \u00e9
                  \n\\[
                  \n\\begin{pmatrix} 0 & 2 \\\\ 2 & 0\\end{pmatrix}
                  \n\\]
                  \nSe $U=\\langle (1,i)\\rangle$, ent\u00e3o $U^\\perp =U$ e $\\C^2\\neq U\\oplus U^\\perp$. Ou seja, o espa\u00e7o ortogonal $U^\\perp$ n\u00e3o \u00e9 complemento ortogonal de $U$.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

                  Se $\\F$ \u00e9 um corpo, uma aplica\u00e7\u00e3o bijetiva $\\sigma:\\F\\to \\F$, $a\\mapsto a^\\sigma$, chama-se automorfismo, se $(a+b)^\\sigma=a^\\sigma+b^\\sigma$; $(ab)^\\sigma=a^\\sigma b^\\sigma$. 1. A bije\u00e7\u00e3o $\\mbox{id}_\\F$ \u00e9 automorfismo para todo corpo $\\F$. Este automorfismo chama-se automorfismo trivial. Os corpos $\\Q$, $\\Z_p$ n\u00e3o t\u00eam automorfismos n\u00e3o triviais (consegue demonstrar?). 2. Se $\\F=\\C$, ent\u00e3o $\\sigma:\\C\\to \\C$, $z^\\sigma=\\bar z$ (conjugado complexo) \u00e9 … Continue reading Formas sesquilineares<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2338"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2338"}],"version-history":[{"count":10,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2338\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2368,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2338\/revisions\/2368"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2338"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}