{"id":2330,"date":"2023-05-12T09:05:58","date_gmt":"2023-05-12T12:05:58","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2330"},"modified":"2023-05-12T10:27:30","modified_gmt":"2023-05-12T13:27:30","slug":"o-teorema-da-decomposicao-ciclica","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/o-teorema-da-decomposicao-ciclica\/","title":{"rendered":"O Teorema da Decomposi\u00e7\u00e3o C\u00edclica"},"content":{"rendered":"
\n

Se $f:V\\to V$ \u00e9 um operador linear, e $A\\leq V$, ent\u00e3o definimos a pr\u00e9-imagem de $A$ por $f$ como
\n\\[
\nf^{-1}(A)=\\{v\\in V\\mid f(v)\\in A\\}.
\n\\]
\nNote que $f$ n\u00e3o precisa ser invertivel.<\/p>\n

Demonstre as seguintes aforma\u00e7\u00f5es para um endomorfismo $f:V\\to V$ e para $A,B\\leq V$:<\/p>\n
    \n
  1. $f^{-1}(A)\\leq V$;<\/li>\n
  2. $\\ker f\\leq f^{-1}(A)$;<\/li>\n
  3. $f^{-1}(f(A))=A+\\ker f$;<\/li>\n
  4. $f^{-1}(A+B)=f^{-1}(A)+f^{-1}(B)$;<\/li>\n
  5. $f(A\\cap B)=f(A)\\cap f(B)$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    Seja $V$ um espa\u00e7o vetorial de dimens\u00e3o n\u00e3o necessariamente finita e $f:V\\to V$ um operador nilpotente com grau de nilpot\u00eancia $d$ (ou seja, $m_f(t)=t^d$).<\/p>\n
      \n
    1. Existe um vetor $v\\in V$ tal que $f^{m-1}(v)\\neq 0$.<\/li>\n
    2. Pondo $U=\\langle v,f(v),\\ldots,f^{m-1}(v)\\rangle$, existe $W\\leq V$ $f$-invariante tal que $V=U\\oplus W$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
      Indu\u00e7\u00e3o por $m$. Se $d=0$, ent\u00e3o $f=0$, $U=\\langle v\\rangle$ e qualquer complemento $W$ de $U$ em $V$ serve.<\/p>\n

      Assuma que a afirma\u00e7\u00e3o est\u00e1 verdadeira para operadores de grau de nilpot\u00eancia $d-1$. Considere $X=\\mbox{Im}(f)$. Ent\u00e3o a restri\u00e7\u00e3o $f_X=f|_X$ tem grau de nilpot\u00eancia $m-1$ e $U_X=U\\cap X=\\langle f(v),\\ldots,f^{m-1}(v)\\rangle$ \u00e9 um espa\u00e7o $f$-c\u00edclico de dimens\u00e3o $m-1$ em $X$. Pela hip\u00f3tese da indu\u00e7\u00e3o, existe $W_X\\leq X$ espa\u00e7o $f$-invariante tal que
      \n$$
      \nX=U_X+W_X.
      \n$$
      \nPonha
      \n\\[
      \n\\widetilde W=f^{-1}(W_X)=\\{v\\in V\\mid f(v)\\in W_X\\}
      \n\\]
      \ne note que $W\\leq \\widetilde W_X$, pois $W_X$ \u00e9 $f$-invariante.<\/p>\n

      Afirma\u00e7\u00e3o 1:<\/i> $V=U+\\widetilde W$.<\/p>\n

      Prova da afirma\u00e7\u00e3o:<\/i> De fato,
      \n\\begin{align*}
      \nV&=f^{-1}(X)=f^{-1}(U_X+W_X)=f^{-1}(U_X)+f^{-1}(W_X)\\\\&=f^{-1}(f(U))+f^{-1}(W_X)=U+\\ker f+\\widetilde W\\\\&
      \nU+\\widetilde W.
      \n\\end{align*}
      \nA \u00faltima equa\u00e7\u00e3o vale, pois $\\ker f\\leq \\widetilde W=f^{-1}(W_X)$.<\/p>\n

      Afirma\u00e7\u00e3o 2:<\/i> $U\\cap W_X=0$.<\/p>\n

      Prova da afirma\u00e7\u00e3o:<\/i> Usando a defini\u00e7\u00e3o de $U_X$ e que $W_X$ \u00e9 $f$-invariante, obtemos que
      \n\\[
      \nf(U\\cap W_X)=f(U)\\cap f(W_X)\\leq U_X\\cap W_X=0.
      \n\\]
      \nOu seja, $U\\cap W_X\\leq \\ker f$. Ora,
      \n\\[
      \nU\\cap W_X\\leq U\\cap \\ker f\\cap W_X=\\langle f^{m-1}(v)\\rangle\\cap W_X\\leq U_X\\cap W_X=0.
      \n\\]<\/p>\n

      Afirma\u00e7\u00e3o 3:<\/i> $W_X\\cap (U\\cap \\widetilde W)=0$ e $W_X\\oplus (U\\cap \\widetilde W)\\leq \\widetilde W$.<\/p>\n

      Prova da afirma\u00e7\u00e3o:<\/i> A primeira afirma\u00e7\u00e3o (com a interse\u00e7\u00e3o) segue da Afirma\u00e7\u00e3o 2, enquanto a segunda segue da primeira e do fato que $W_X\\leq \\widetilde W$.<\/p>\n

      Agora escolha um complemento $Z$ de $W_X\\oplus (U\\cap \\widetilde W)$ em $\\widetilde W$. Qualquer complemento linear serve, n\u00e3o precisa ser $f$-invariante. Tendo escolhido $Z$, temos que
      \n\\begin{equation}\\label{eq:ds}
      \n\\widetilde W=(W_X\\oplus (U\\cap \\widetilde W))\\oplus Z;
      \n\\end{equation}
      \nem particular, $Z\\cap (W_X\\oplus (U\\cap \\widetilde W))=0$.<\/p>\n

      Afirma\u00e7\u00e3o 4:<\/i> $V=U\\oplus(W_X\\oplus Z)$.<\/p>\n

      Prova da afirma\u00e7\u00e3o:<\/i> Primeiro,
      \n\\[
      \nV=U+\\widetilde W= U+W_X\\oplus (U\\cap \\widetilde W)\\oplus Z=U+W_X\\oplus Z.
      \n\\]
      \nAdemais,$W_X\\oplus Z\\leq \\widetilde W$, e, usando o fato que $\\widetilde W$ \u00e9 soma direta como acima,
      \n\\[
      \nU\\cap (W_X\\oplus Z)\\leq (W_X\\oplus Z)\\cap(U\\cap \\widetilde W)=0.
      \n\\]<\/p>\n

      Afirma\u00e7\u00e3o 5:<\/i> $W_X\\oplus Z$ \u00e9 $f$-invariante.<\/p>\n

      Prova da afirma\u00e7\u00e3o:<\/i> $W_X$ \u00e9 $f$-invariante por escolha, enquanto $Z\\leq \\widetilde W=f^{-1}(W_X)$ que implica que $f(Z)\\leq W_X$. Logo $f(Z\\oplus W_X)\\leq W_X$ e $W_X\\oplus Z$ \u00e9 $f$-invariante.<\/p>\n<\/div>\n

      Assuma que $f:V\\to V$ \u00e9 um endomorfismo nilpotente de um espa\u00e7o $V$ de dimens\u00e3o finita. Ent\u00e3o
      \n\\[
      \nV=W_1\\oplus \\cdots\\oplus W_k
      \n\\]
      \nonde cada $W_i$ \u00e9 um espa\u00e7o $f$-c\u00edclico (em particular, $W_i$ \u00e9 $f$-invariante).<\/div>\n
      Indu\u00e7\u00e3o pela dimens\u00e3o de $V$. Se $\\dim V=1$, ent\u00e3o $V$ \u00e9 $f$-c\u00edclico e a afirma\u00e7\u00e3o vale com $k=1$ e $W_1=V$. Assuma que o corol\u00e1rio vale para espa\u00e7os de dimens\u00e3o menor que algum $k\\geq 2$ e seja $V$ um espa\u00e7o de dimens\u00e3o $k$ e $f:V\\to V$ nilpotente de grau $m$. Pelo resultado anterior, existe $v\\in V$ tal que $f^{m-1}(v)\\neq 0$ e defina $W_1=\\langle v,f(v),\\ldots,f^{m-1}(v)\\rangle$. Se $m=\\dim V$ e $W_1=V$, ent\u00e3o o corol\u00e1rio vale com $k=1$ e $W_1=V$ e n\u00e3o temos nada mais para provar. No caso contr\u00e1rio, o teorema anterior implica que $V=W_1\\oplus W$ com algum $W$ espa\u00e7o $f$-invariante. Agora $\\dim W < \\dim V$ e aplicamos a hip\u00f3tese da indu\u00e7\u00e3o para $W$:
      \n\\[
      \nW=W_2\\oplus \\cdots \\oplus W_k
      \n\\]
      \ncom $W_i$ sendo $f$-c\u00edclico para todo $i$. Ora
      \n\\[
      \nW=W_1\\oplus W_2\\oplus \\cdots \\oplus W_k.
      \n\\]
      \n\u00e9 uma decomposi\u00e7\u00e3o em espa\u00e7os $f$-c\u00edclicos.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      Se $f:V\\to V$ \u00e9 um operador linear, e $A\\leq V$, ent\u00e3o definimos a pr\u00e9-imagem de $A$ por $f$ como \\[ f^{-1}(A)=\\{v\\in V\\mid f(v)\\in A\\}. \\] Note que $f$ n\u00e3o precisa ser invertivel. Demonstre as seguintes aforma\u00e7\u00f5es para um endomorfismo $f:V\\to V$ e para $A,B\\leq V$: $f^{-1}(A)\\leq V$; $\\ker f\\leq f^{-1}(A)$; $f^{-1}(f(A))=A+\\ker f$; $f^{-1}(A+B)=f^{-1}(A)+f^{-1}(B)$; $f(A\\cap B)=f(A)\\cap … Continue reading O Teorema da Decomposi\u00e7\u00e3o C\u00edclica<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2330"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2330"}],"version-history":[{"count":3,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2330\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2336,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2330\/revisions\/2336"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2330"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}