{"id":2297,"date":"2023-05-07T20:21:20","date_gmt":"2023-05-07T23:21:20","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2297"},"modified":"2023-05-19T07:39:41","modified_gmt":"2023-05-19T10:39:41","slug":"a-unicidade-da-forma-normal-de-jordan","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/a-unicidade-da-forma-normal-de-jordan\/","title":{"rendered":"A unicidade da forma normal de Jordan"},"content":{"rendered":"
\n

Vamos denotar por $J_k(\\lambda)$ a matriz que \u00e9 um bloco de Jordan $k\\times k$ com autovalor $\\lambda$.<\/p>\n

\nSeja $f:V\\to V$ um endomorfismo com matriz $J_{k}(\\lambda)$. Ent\u00e3o $m_f(t)=(t-\\lambda)^k$.<\/div>\n
\nExercise.<\/div>\n
\nSeja $f:V\\to V$ um endomorfismo e assuma que $V=V_1\\oplus \\cdots \\oplus V_k$ \u00e9 uma decomposi\u00e7\u00e3o $f$-invariante. Ponha $f_i=f|_{V_i}$ para $i\\in\\{1,\\ldots,k\\}$. Demonstre que
\n\\[
\nm_f(t)=\\mbox{mmc}(m_{f_1}(t),\\ldots,m_{f_k}(t)).
\n\\]<\/div>\n
\nExercise.<\/div>\n
\nAssuma que $f:V\\to V$ \u00e9 um endomorfismo cuja matriz est\u00e1 na forma normal de Jordan com blocos
\n\\[
\nJ_{i_{1,1}}(\\lambda_1),\\ldots,J_{i_{1,m_1}}(\\lambda_1), J_{i_{2,1}}(\\lambda_2),\\ldots, J_{i_{2,m_2}}(\\lambda_2),
\n\\ldots,J_{i_{k,1}}(\\lambda_k),\\ldots, J_{i_{k,m_k}}(\\lambda_k)
\n\\]
\ncom $i_{j,1}\\geq i_{j,2}\\geq\\cdots \\geq i_{j,m_j}$ para todo $j$. Ent\u00e3o
\n\\[
\nm_f(t)=(t-\\lambda_1)^{i_{1,1}}\\cdots (t-\\lambda_k)^{i_{k,1}}.
\n\\]
\nEm particular, os autovalores de $f$ s\u00e3o $\\lambda_1,\\ldots,\\lambda_k$.<\/div>\n
\nSeja $f:V\\to V$ um endomorfismo tal que a matriz de $f$ \u00e9 diagonal em blocos e cada bloco \u00e9 um bloco de Jordan. Assuma que estes blocos s\u00e3o
\n\\[
\nJ_{i_{1,1}}(\\lambda_1),\\ldots,J_{i_{1,m_1}}(\\lambda_1), J_{i_{2,1}}(\\lambda_2),\\ldots, J_{i_{2,m_2}}(\\lambda_2),
\n\\ldots,J_{i_{k,1}}(\\lambda_k),\\ldots, J_{i_{k,m_k}}(\\lambda_k)
\n\\]
\ncom $i_{j,1}\\geq i_{j,2}\\geq\\cdots \\geq i_{j,m_j}$ para todo $j$. Ent\u00e3o os $\\lambda_1,\\ldots,\\lambda_k$ s\u00e3o os autovalores de $f$ e em particular estes s\u00e3o determinados unicamente. Al\u00e9m disso, as dimens\u00f5es $i_{j,l}$ tamb\u00e9m s\u00e3o determinados unicamente.<\/div>\n
\nUsamos indu\u00e7\u00e3o pela dimens\u00e3o de $V$. Se $\\dim V=1$, ent\u00e3o o teorema est\u00e3 trivialmente v\u00e1lido.<\/p>\n

Assuma que $\\dim V\\geq 2$. Note que os autovalores de $f$ s\u00e3o $\\lambda_1,\\ldots,\\lambda_k$ e estes s\u00e3o determinados unicamente por $f$. Seja $\\lambda$ um autovalor de $f$ e assuma sem perder generalidade que $\\lambda=\\lambda_1$. Temos que $(t-\\lambda_1)$ divide $m_f(t)$. Pelas considera\u00e7\u00f5es anteriores, $(t-\\lambda_1)^{i_{1,1}}$ \u00e9 a maior pot\u00eancia de $t-\\lambda_1$ que divide $m_f(t)$. Em particular, $i_{1,1}$ est\u00e3 determinado por $f$. Seja $W$ o subespa\u00e7o que corresponde ao bloco $J_{i_{1,1}}(\\lambda_1)$. Ent\u00e3o $W$ \u00e9 $f$-invariante. Se $W=V$, ent\u00e3o obtemos que a decomposi\u00e7\u00e3o de $f$ est\u00e1 unicamente determinada. No caso contr\u00e1rio, considere o endomorfismo
\n\\[
\n\\bar f:V\/W\\to V\/W
\n\\]
\ninduzido por $f$. A matriz de $\\bar f$ \u00e9 diagonal em blocos com os blocos sendo os blocos de $f$ exceto $J_{i_{1,1}}(\\lambda_1)$. Pela hip\u00f3tese da indu\u00e7\u00e3o, os blocos de $\\bar f$ est\u00e3o unicamente determinados e assim os blocos de $f$ est\u00e3o tamb\u00e9m unicamente determinados.<\/p>\n<\/div>\n

Uma maneira alternativa para provar a unicidade \u00e9 consequ\u00eancia do exerc\u00edcio seguinte.<\/p>\n

\nAssuma que $V$ \u00e9 um $\\C$-espa\u00e7o e $f:V\\to V$ com polin\u00f4mio minimal
\n\\[
\nm_f(t) = (t-\\lambda_1)^{\\alpha_1}\\cdots (t-\\lambda_k)^{\\alpha_k}.
\n\\]
\nSeja $\\lambda=\\lambda_i$ e $\\alpha=\\alpha_i$ com algum $i$. Assuma que a matriz de $f$ est\u00e1 na forma normal de Jordan. Pelo que vimos nesta p\u00e1gina, o maior bloco com autovalor $\\lambda$ \u00e9 $J_\\alpha(\\lambda)$. Assuma que $[f]$ tem $\\mu_i$ blocos de tamanho $i\\times i$ para $i=1,\\ldots,\\alpha$ e seja $\\delta_i=\\dim\\ker(f-\\lambda\\mbox{id})^i$ para $i=1,\\ldots,\\alpha$.<\/p>\n
    \n
  1. Mostre que
    \n\\begin{align*}
    \n\\mu_1+\\mu_2+\\mu_3+\\cdots +\\mu_{\\alpha-1}+\\mu_\\alpha&=\\delta_1\\\\
    \n\\mu_1+2\\mu_2+2\\mu_3+\\cdots +2\\mu_{\\alpha-1}+2\\mu_\\alpha&=\\delta_2\\\\
    \n\\mu_1+2\\mu_2+3\\mu_3+\\cdots +3\\mu_{\\alpha-1}+3\\mu_\\alpha&=\\delta_3\\\\
    \n&\\vdots\\\\
    \n\\mu_1+2\\mu_2+3\\mu_3+\\cdots +(\\alpha-1)\\mu_{\\alpha-1}+(\\alpha-1)\\mu_\\alpha&=\\delta_1\\\\
    \n\\mu_1+2\\mu_2+3\\mu_3+\\cdots +(\\alpha-1)\\mu_{\\alpha-1}+r\\mu_\\alpha&=\\delta_1.
    \n\\end{align*}<\/li>\n
  2. Mostre que o sistema no item anterior tem \u00fanica solu\u00e7\u00e3o.<\/li>\n
  3. Deduza que a forma normal de $f$ \u00e9 \u00fanica.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Vamos denotar por $J_k(\\lambda)$ a matriz que \u00e9 um bloco de Jordan $k\\times k$ com autovalor $\\lambda$. Seja $f:V\\to V$ um endomorfismo com matriz $J_{k}(\\lambda)$. Ent\u00e3o $m_f(t)=(t-\\lambda)^k$. Exercise. Seja $f:V\\to V$ um endomorfismo e assuma que $V=V_1\\oplus \\cdots \\oplus V_k$ \u00e9 uma decomposi\u00e7\u00e3o $f$-invariante. Ponha $f_i=f|_{V_i}$ para $i\\in\\{1,\\ldots,k\\}$. Demonstre que \\[ m_f(t)=\\mbox{mmc}(m_{f_1}(t),\\ldots,m_{f_k}(t)). \\] Exercise. Assuma … Continue reading A unicidade da forma normal de Jordan<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2297"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2297"}],"version-history":[{"count":11,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2297\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2347,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2297\/revisions\/2347"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2297"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}