{"id":2273,"date":"2023-05-07T16:15:19","date_gmt":"2023-05-07T19:15:19","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2273"},"modified":"2023-05-08T21:14:56","modified_gmt":"2023-05-09T00:14:56","slug":"exercicio-computacional-ii-sistemas-lineares","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/geometria-algebrica-e-algebra-linear\/exercicio-computacional-ii-sistemas-lineares\/","title":{"rendered":"Exerc\u00edcio computacional II: Sistemas lineares"},"content":{"rendered":"
\n
\nConsidere o seguinte sistema de equa\u00e7\u00f5es lineares:
\n\\begin{align*}
\nx + y – z &= -2\\\\
\nx -y +2z &= -1\\\\
\n2x – y – z &= 1
\n\\end{align*}
\nPrimeiro, definimos a matriz do sistema e o vetor dos valores no lado direito:<\/p>\n
\n\/\/ a matriz do sistema\n\/\/ observe que a matriz pode ser definida sem usar ";"\n--> A = [1 1 -1 \n   1 -1 2\n   2 -1 -1 ]\n A  = \n\n   1.   1.  -1.\n   1.  -1.   2.\n   2.  -1.  -1.\n\n\/\/ o vetor b\n--> b = [ -2\n   -1\n   1]\n b  = \n\n  -2.\n  -1.\n   1.\n<\/code><\/pre>\n
Vamos resolver o sistema usando os tr\u00eas m\u00e9todos estudados na disciplina. Come\u00e7amos pela elimina\u00e7\u00e3o de Gauss-Jordan.<\/p>\n
\n\/\/ primeiro, vamos criar uma c\u00f3pia A0 de A. \n\/\/ Queremos usar A mais tarde\n--> A0 = A\n A0  = \n\n   1.   1.  -1.\n   1.  -1.   2.\n   2.  -1.  -1.\n\n\/\/ Adicionamos o vetor b \u00e0 matriz A0 como 4a coluna\n\/\/ observe o uso de ":"\n--> A0(:,4) = b\n A0  = \n\n   1.   1.  -1.  -2.\n   1.  -1.   2.  -1.\n   2.  -1.  -1.   1.\n\n\/\/ Usando a fun\u00e7\u00e3o rref (Row Reduced Echelon Form), \ncomputamos a forma escalondada de A0.\n--> rref( A0 )\n ans  =\n\n   1.   0.   0.  -1.\n   0.   1.   0.  -2.\n   0.   0.   1.  -1.\n  <\/code><\/pre>\n
Os n\u00fameros que aparecem na \u00faltima coluna representam a solu\u00e7\u00e3o do sistema: $x=-1$, $y=-2$, $z=-1$.<\/p>\n
Ora, vamos usar o m\u00e9todo da matriz inversa.<\/p>\n
\n\/\/ calculamos a inversa da matriz A\n--> A^-1\n ans  =\n\n   0.4285714285714285476381   0.2857142857142856984254   0.1428571428571429047238\n   0.7142857142857141905523   0.1428571428571428492127  -0.4285714285714284921269\n   0.1428571428571428492127   0.4285714285714285476381  -0.2857142857142856984254\n\n\/\/ computamos o produto A^-1*b\n--> A^-1*b\n ans  =\n\n  -0.999999999999999888978\n  -1.999999999999999555911\n  -0.999999999999999888978\n<\/code><\/pre>\n
Note que as solu\u00e7\u00f5es que obtivemos s\u00e3o similares \u00e0s solu\u00e7\u00f5es que foram dadas pelo m\u00e9todo da elimina\u00e7\u00e3o de Gauss-Jordan, mas n\u00e3o s\u00e3o n\u00fameros inteiros. De novo, o problema \u00e9 devido ao fato que o sistema Scilab usa aproxima\u00e7\u00f5es para fazer as computa\u00e7\u00f5es.<\/p>\n
Finalmente, resolveremos o problema usando o Regra do Cramer.<\/p>\n
\n\/\/ calculemos primeiro a matriz A1 que obtemos \n\/\/ de A por colocar b na primeira coluna\n--> A1 = A; A1(:,1) = b\n A1  = \n\n  -2.   1.  -1.\n  -1.  -1.   2.\n   1.  -1.  -1.\n\n\/\/ a matriz A2 que obtemos \n\/\/ de A por colocar b na segunda coluna\n--> A2 = A; A2(:,2) = b\n A2  = \n\n   1.  -2.  -1.\n   1.  -1.   2.\n   2.   1.  -1.\n\n\/\/ a matriz A3 que obtemos \n\/\/ de A por colocar b na terceira coluna\n--> A3 = A; A3(:,3) = b\n A3  = \n\n   1.   1.  -2.\n   1.  -1.  -1.\n   2.  -1.   1.\n\n\/\/ a solu\u00e7\u00e3o ser\u00e1 obtida por calcular os determinantes de \n\/\/ A1, A2, A3 e dividir pelo detarminante de A\n--> [det(A1)\/det(A); det(A2)\/det(A); det(A3)\/det(A)]\n ans  =\n\n  -0.999999999999999888978  \n  -2.  \n  -0.999999999999999888978\n<\/code><\/pre>\n
Observem de novo que uma solu\u00e7\u00e3o aproximada foi obtida.<\/p>\n<\/div>\n
\nResolvem usando os tr\u00eas m\u00e9todos no exemplo anterior o seguinte sistema de equa\u00e7\u00f5es lineares:
\n\\begin{align*}
\n4x_1 +  x_2 +   2x_3+   4 x_4   +2 x_5 +   2 x_6 & = -2\\\\
\n2x_1 +    2x_2 +    2x_3 +    3x_4 +    3x_5 +    4x_6 & = -1\\\\
\n4x_1 +    2x_2 +    x_3 +    4x_4  +    2x_6 & = 1\\\\
\nx_1 +       2x_3 +    4x_4 +    3x_5    & = 0\\\\
\n4x_2 +       4x_4  & = 0\\\\
\n2x_1 +    3x_2 +    4x_3 +    x_4 +    2x_5 +    x_6 & = 2
\n\\end{align*}
\nPara ajudar, coloquei aqui a matriz do sistema e o vetor $b$ para serem copiados e colados na janela do Scilab.<\/p>\n
\n\/\/ matriz A\n[ 4.   1.   2.   4.   2.   2. \n  2.   2.   2.   3.   3.   4. \n  4.   2.   1.   4.   0.   2. \n  1.   0.   2.   4.   3.   0. \n  0.   4.   0.   4.   0.   0. \n  2.   3.   4.   1.   2.   1. ]\n \/\/ vetor b\n [ -2; -1; 1; 0; 0; 2 ]\n  <\/code><\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Considere o seguinte sistema de equa\u00e7\u00f5es lineares: \\begin{align*} x + y – z &= -2\\\\ x -y +2z &= -1\\\\ 2x – y – z &= 1 \\end{align*} Primeiro, definimos a matriz do sistema e o vetor dos valores no lado direito: \/\/ a matriz do sistema \/\/ observe que a matriz pode ser definida … Continue reading Exerc\u00edcio computacional II: Sistemas lineares<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2265,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2273"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2273"}],"version-history":[{"count":10,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2273\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2318,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2273\/revisions\/2318"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2265"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2273"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}