{"id":2254,"date":"2023-05-04T16:29:09","date_gmt":"2023-05-04T19:29:09","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2254"},"modified":"2023-05-07T21:04:33","modified_gmt":"2023-05-08T00:04:33","slug":"endomorfismos-nilpotentes","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/endomorfismos-nilpotentes\/","title":{"rendered":"Endomorfismos nilpotentes e a exist\u00eancia da forma normal de Jordan"},"content":{"rendered":"
\nNesta p\u00e1gina, $V$ \u00e9 um espa\u00e7o vetorial de dimens\u00e3o finita sobre um corpo $\\F$.<\/p>\n
\nUm endomorfismo $f:V\\to V$ \u00e9 dito nilpotente<\/b> se $f^n=0$ para algum $n\\geq 1$.<\/div>\n
\nO endomorfismo de $\\F^3$ representado na b\u00e1se can\u00f4nica pela matriz
\n$$
\n\\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 \\end{pmatrix}
\n$$
\n\u00e9 nilpotente. \u00c9 f\u00e1cil verificar que $f^3=0$.<\/div>\n
\nAssuma que $f:V\\to V$ \u00e9 um endomorfismo tal que $m_f(t)=(t-\\lambda)^k$. Ou seja, $m_f(t)$ \u00e9 um fator que aparece na Teorema Espectral. De fato, a nossa motiva\u00e7\u00e3o de estudar enfomorfismos nilpotentes \u00e9 obter uma compreens\u00e3o mais profunda da situa\u00e7\u00e3o descrita pelo Teorema Espectral. Neste caso $(f-\\lambda\\mbox{id}_V)^k=0$; ou seja, $f-\\lambda\\mbox{id}_V$ \u00e9 nilpotente.<\/div>\n
\nSeja $f:V\\to V$ \u00e9 nilpotente.<\/p>\n
    \n
  1. O \u00fanico autovalor de $f$ \u00e9 $0$.<\/li>\n
  2. $f$ n\u00e3o \u00e9 invert\u00edvel; ou seja $\\ker f\\neq 0$ e $\\mbox{Im}(f) < V$.<\/li>\n
  3. $m_f(t)=t^k$ onde $k$ \u00e9 o menor inteiro positivo tal que $f^k=0$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \nExerc\u00edcio.<\/div>\n

    Seja $f$ nilpotente com $f^k=0$ e suponha que $k$ \u00e9 o menor tal inteiro positivo. Ent\u00e3o
    \n\\[
    \nV > \\mbox{Im}(f) > \\mbox{Im}(f^2) > \\cdots > \\mbox{Im}(f^{k-1}) > \\mbox{Im}(f^k)=0
    \n\\]
    \nOu seja, pondo $V_i=\\mbox{Im}(f^{k-i})$, obtemos uma cadeia
    \n\\[
    \n0 = V_0 < V_1 < V_2 < \\cdots < V_{k-1} < V_k = V
    \n\\]
    \ntal que $f(V_i)=V_{i-1}$ para todo $i\\geq 1$. Escolha uma base $\\{b_1,\\ldots,b_{i_1}\\}$ para $V_1$. Estenda esta basa para uma base
    \n\\[
    \n\\{b_1,\\ldots,b_{i_1},b_{i_1+1},\\ldots,b_{i_2}\\}
    \n\\]
    \nde $V_2$. Continuando assim, obtemos uma base
    \n\\[
    \n\\{b_1,\\ldots,b_{i_1},b_{i_1+1},\\ldots,b_{i_2},\\ldots,b_{i_{k-1}+1},\\ldots,b_{i_k}\\}
    \n\\]
    \nde $V$ tal que, para todo $j\\in\\{1,\\ldots,k\\}$,
    \n\\[
    \n\\{b_1,\\ldots,b_{i_j}\\}
    \n\\]
    \n\u00e9 uma base de $V_j$. Observamos que nesta base, a matriz de $f$ \u00e9 triangular superior com zeros no diagonal. Isso nos levou ao seguinte teorema.<\/p>\n

    \nSe $f:V\\to V$ \u00e9 nilpotente, ent\u00e3o existe uma base $B$ tal que $[f]_B^B$ \u00e9 triangular superior com zeros no diagonal. Em particular, $\\mbox{pcar}_f(t)=t^{\\dim V}$.<\/div>\n

    Seja $f:V\\to V$ um endomorfismo e seja $v\\in V$. Definimos nos exerc\u00edcios o polin\u00f4mio $m_{f,v}(t)$ como o polin\u00f4mio m\u00f4nico (n\u00e3o nulo) de menor grau tal que $m_{f,v}(f)(v)=0$. Como no caso do polin\u00f4mio minimal $m_f(t)$, temos que $m_{f,v}(t)$ \u00e9 gerador do ideal
    \n\\[
    \nI_{f,v}=\\{p(t)\\in \\F[t]\\mid p(f)(v)=0\\}.
    \n\\]
    \nOu seja, se $p(t)$ \u00e9 um polin\u00f4mio qualquer com $p(f)(v)=0$, ent\u00e3o $m_{f,v}(t)\\mid p(t)$.<\/p>\n

    \nSeja $f:V\\to V$ um endomorfismo e $v\\in V$. Assuma que $v\\in V$ e que $f^m(v)=0$ com algum $m\\geq 1$ e seja $m$ o menor tal n\u00famero. Ent\u00e3o $f^0(v)=v,f(v),f^2(v),\\ldots,f^{m-1}(v)$ s\u00e3o linearmente independentes.<\/div>\n
    \nComo $f^m(v)=0$, temos que $m_{f,v}(t)$ \u00e9 um divisor de $t^m$. Por outro lado, a minimalidade de $m$ implica que $m_{f,v}(t)=t^m$.
    \nOra assuma que
    \n\\[
    \n\\alpha_0 v+\\alpha_1 f(v)+\\cdots+\\alpha_{m-1}f^{m-1}(v)=0.
    \n\\]
    \nEnt\u00e3o $p(t)=\\alpha_0+\\alpha_1 t+\\cdots+\\alpha_{m-1}t^{m-1}\\in I_{f,v}$; ou seja, $p^m\\mid p(t)$. Como $\\mbox{deg}(p(t))\\leq m-1$, temos que $p(t)=0$; ou seja, $\\alpha_0=\\alpha_1=\\cdots=\\alpha_{m-1}=0$.<\/div>\n

    Se $V$, $f$ e $v$ s\u00e3o como no lema anterior, ent\u00e3o o espa\u00e7o $U=\\langle v,f(v),\\ldots,f^{m-1}(v)\\rangle$ \u00e9 $f$-invariante. O vetor $v$ \u00e9 chamado de vetor $f$-c\u00edclico<\/b> e o espa\u00e7o $U$ \u00e9 dito $f$-c\u00edclico<\/b> gerado por $v$. Note que se $U$ \u00e9 um espa\u00e7o $f$-c\u00edclico, ent\u00e3o a matriz da restri\u00e7\u00e3o $f|_U$ na base $B=\\{f^{m-1}(v),f^{m-2}(v),\\ldots,f(v),v\\}$ tem a forma
    \n\\[
    \n\\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \\cdots & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & \\cdots & 0\\\\
    \n0 & 0 & 0 & \\ddots & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & \\cdots & 0 \\end{pmatrix}
    \n\\]<\/p>\n

    \nSeja $V$ um $f$-espa\u00e7o c\u00edclico com base $B=\\{f^{m-1}(v),f^{m-2}(v),\\ldots,f(v),v\\}$. Ent\u00e3o
    \n\\[
    \nm_f(t)=\\mbox{pcar}_f(t)=t^m.
    \n\\]<\/div>\n
    \nPodemos observar que a matriz $[f]_B^B$ \u00e9 a matriz companheira do polin\u00f4mio $t^n$. Por um exerc\u00edcio em uma lista anterior, $m_f(t)=\\mbox{pcar}_f(t)=t^m$.<\/p>\n

    Alternativamente, podemos tamb\u00e9m observar que $f^m(b)=0$ para todo $b\\in B$. Portanto $f^m=0$ e obtemos que $m_f(t)\\mid t^m$. Por outro lado, $f^{m-1}(f)(v)\\neq 0$ e assim $t^{m-1}$ n\u00e3o \u00e9 m\u00faltiplo de $m_f(t)$. Portanto $m_f(t)=t^m$.<\/p>\n<\/div>\n

    \nSuponha que $f:V\\to V$ \u00e9 um endomorfismo tal que $m_f(t)=(t-\\lambda)^k$. J\u00e1 vimos em cima que $f_0=f-\\lambda\\mbox{id}_V$ \u00e9 nilpotente e agora assuma que $V$ \u00e9 $f_0$-c\u00edclico. Ou seja, existe $v\\in V$ tal que $B=\\{f_0^{n-1}(v),\\ldots,f_0(v),v\\}$ \u00e9 base de $V$. Tem-se que
    \n\\[
    \n[f]_B^B=\\begin{pmatrix} \\lambda & 1 & 0 & \\cdots & 0 \\\\ 0 & \\lambda & 1 & \\cdots & 0\\\\
    \n0 & 0 & 0 & \\ddots & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & \\cdots & \\lambda \\end{pmatrix}
    \n\\]
    \nAl\u00e9m disso, $m_f(t)=(t-\\lambda)^n$.<\/div>\n
    \nS\u00f3 notar que $f=f_0+\\lambda\\mbox{id}_V$ e ent\u00e3o
    \n\\[
    \n[f]_B^B=[f_0]_B^B+[\\lambda\\mbox{id}_V]_B^B=[f_0]_B^B+I_n
    \n\\]
    \nObserve tamb\u00e9m que $f_0=f-\\lambda\\mbox{id}_V$ tem polin\u00f4mio minimal $t^n$ pelo resultado anterior. Logo $m_f(t)=(t-\\lambda) ^n$.<\/div>\n
    \nA matriz no lema anterior chama-se bloco de Jordan<\/b> com autovalor $\\lambda$.<\/div>\n
    (O Teorema da Decomposi\u00e7\u00e3o em Espa\u00e7os C\u00edclicos)
    \nSeja $f:V\\to V$ um endomorfismo nilpotente. Ent\u00e3o $V$ pode ser decomposto em uma soma direta $V=W_1\\oplus W_2\\oplus \\cdots \\oplus W_k$ onde os $W_i$ s\u00e3o $f$-espa\u00e7os c\u00edclicos.<\/div>\n
    \nEste teorema vai ser provado nas aulas seguintes. Neste momento, \u00e9 mais interessante estudar as suas conseq\u00eancias.<\/div>\n
    \nSeja $f:V\\to V$ um endomorfismo e assuma que $V=W_1\\oplus W_2$ onde $W_i$ s\u00e3o $f$-invariantes. Sejam $B_1=\\{b_1,\\ldots,b_m\\}$ e $B_2=\\{b_{m+1},\\ldots,b_n\\}$ bases de $W_1$ e $W_2$, respetivamente. Ent\u00e3o $B=B_1\\cup B_2$ \u00e9 uma base de $V$. Mostre que $[f]_B^B$ \u00e9 diagonal em blocos com os blocos sendo $[f|_{W_1}]_{B_1}^{B_1}$ e $[f|_{W_2}]_{B_2}^{B_2}$.<\/div>\n
    \nSeja $f:V\\to V$ um endomorfismo com $m_f(t)=(t-\\lambda)^\\alpha$. Ent\u00e3o existe uma base de $V$ na qual a matriz de $f$ \u00e9 diagonal em blocos e cada bloco \u00e9 um bloco de Jordan com autovalor $\\lambda$.<\/div>\n
    \nComo foi observado em cima, $f_0=f-\\lambda\\mbox{id}_V$ \u00e9 nilpotente. Pelo Teorema da Decomposi\u00e7\u00e3o, $V=W_1\\oplus\\cdots\\oplus W_k$ onde cada $W_i$ \u00e9 $f_0$-c\u00edclico e assim $f_0$-invariante. Como todo subespa\u00e7o $U\\leq V$ \u00e9 invariante por $\\lambda\\mbox{id}_V$, temos que os $W_i$ s\u00e3o $f$-invariantes. Ora, escolhendo a base $B_i$ certa para $W_i$, a matriz da restri\u00e7\u00e3o $[f|_{W_i}]_{B_i}^{B_i}$ \u00e9 um bloco de Jordan com autovalor $\\lambda$. Tomando $B$ para a uni\u00e3o dos $B_i$, temos que a matriz $[f]_B^B$ \u00e9 diagonal em bloco com cada bloco sendo um bloco de Jordan com autovalor $\\lambda$.<\/div>\n
    \nSeja $f:V\\to V$ um endomorfismo com $m_f(t)=(t-\\lambda_1)^{\\alpha_1}\\cdots (t-\\lambda_k)^{\\alpha_k}$. Ent\u00e3o existe uma base de $V$ na qual a matriz de $f$ \u00e9 diagonal em blocos e cada bloco \u00e9 um bloco de Jordan com autovalor $\\lambda_i$.<\/div>\n
    \nPelo Teorema Espectral, $V=W_1\\oplus\\cdots\\oplus W_k$ onde $W_i=\\ker(f-\\lambda\\mbox{id})^{\\alpha_i}$. Al\u00e9m disso, $W_i$ \u00e9 $f$-invariante e, pondo $f_i=f|_{W_i}$, $m_{f_i}(t)=(t-\\lambda_i)^{\\alpha_i}$. Escolha uma base $B_i$ para cada $W_i$ tal que $[f_i]_{B_i}^{B_i}$ \u00e9 diagonal em blocos onde cada bloco \u00e9 um bloco de Jordan com autovalor $\\lambda_i$. Juntando as bases $B_i$, obtemos que $B=B_1\\cup\\cdots\\cup B_k$ \u00e9 uma base que satisfaz a afirma\u00e7\u00e3o do Corol\u00e1rio.<\/div>\n
    \nSeja $f:V\\to V$ um endomorfismo de em $\\C$-espa\u00e7o $V$ (de dimens\u00e3o finita) Ent\u00e3o existe uma base de $V$ na qual a matriz de $f$ \u00e9 diagonal em blocos e cada bloco \u00e9 um bloco de Jordan.<\/div>\n
    \nDizemos que uma matriz est\u00e1 na forma normal de Jordan, se ela \u00e9 diagonal em blocos e cada bloco \u00e9 um bloco de Jordan.<\/div>\n
    \nSeja $A$ uma matriz $n\\times n$ em $M_{n\\times n}(\\C)$. Ent\u00e3o existe uma matriz $X\\in M_{n\\times n}(\\C)$ invert\u00edvel tal que $XAX^{-1}$ est\u00e1 na forma normal de Jordan. Ou seja, cada matriz $A\\in M_{n\\times n}(\\C)$ \u00e9 conjugada (semelhante) a uma matriz na forma normal de Jordan.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Nesta p\u00e1gina, $V$ \u00e9 um espa\u00e7o vetorial de dimens\u00e3o finita sobre um corpo $\\F$. Um endomorfismo $f:V\\to V$ \u00e9 dito nilpotente se $f^n=0$ para algum $n\\geq 1$. O endomorfismo de $\\F^3$ representado na b\u00e1se can\u00f4nica pela matriz $$ \\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & … Continue reading Endomorfismos nilpotentes e a exist\u00eancia da forma normal de Jordan<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2254"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2254"}],"version-history":[{"count":9,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2254\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2309,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2254\/revisions\/2309"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2254"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}