{"id":2233,"date":"2023-04-19T08:06:41","date_gmt":"2023-04-19T11:06:41","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2233"},"modified":"2023-04-27T13:13:48","modified_gmt":"2023-04-27T16:13:48","slug":"o-teorema-da-decomposicao-primaria-e-o-teorema-espectral","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/o-teorema-da-decomposicao-primaria-e-o-teorema-espectral\/","title":{"rendered":"O Teorema da Decomposi\u00e7\u00e3o Prim\u00e1ria e o Teorema Espectral"},"content":{"rendered":"
\n

O Teorema da Fatora\u00e7\u00e3o para Polin\u00f4mios<\/a> (revis\u00e3o da disciplina Fundamentos de \u00c1lgebra).<\/p>\n

Nesta p\u00e1gina $V$ \u00e9 um $\\F$-espa\u00e7o de dimens\u00e3o finita a $f\\in\\mbox{End}(V)$.<\/p>\n

Come\u00e7amos por tr\u00eas exemplos motivadores.<\/p>\n

\nSeja $f:\\F^5\\to \\F^5$ um endomorfismo e $B$ \u00e9 base de $\\F^5$ tal que
\n$$
\n[f]_B^B=\\begin{pmatrix}
\n2 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0 & 0& 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 0& 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 3& 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0& 3\\\\
\n\\end{pmatrix}.
\n$$
\nOu seja, $f$ \u00e9 diagonaliz\u00e1vel com autovalores $2$ e $3$. O polin\u00f4mio minimal de $f$ \u00e9 $m_f(t)=(t-2)(t-3)=t^2-5t+6$ enquanto o polin\u00f4mio carater\u00edstico \u00e9 $\\mbox{pcar}_f(t)=(t-2)^3(t-3)^2$. O espa\u00e7o $\\F^5$ decomp\u00f5e-se
\n$$
\n\\F^5=\\langle b_1,b_2,b_3\\rangle\\oplus\\langle b_4,b_5\\rangle=V_2\\oplus V_3=\\ker(f-2\\mbox{id})\\oplus\\ker(f-3\\mbox{id}).
\n$$
\nOu seja, a fatora\u00e7\u00e3o do polin\u00f4mio minimal $m_f(t)$ em produto de irredut\u00faveis est\u00e1 refletida em uma fatora\u00e7\u00e3o de $V$ em uma soma direta de autoespa\u00e7os.<\/div>\n
\nA fatora\u00e7\u00e3o do dom\u00ednio do endomorfismo como no exemplo anterior n\u00e3o \u00e9 sempre poss\u00edvel. Considere por exemplo
\n$f:\\F^5\\to \\F^5$ um endomorfismo e $B$ \u00e9 base de $\\F^5$ tal que
\n$$
\n[f]_B^B=\\begin{pmatrix}
\n2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 0& 0\\\\ 0 & 0 & 2 & 0& 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 3& 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0& 3\\\\
\n\\end{pmatrix}.
\n$$
\nO polin\u00f4mio carater\u00edstico de $f$ \u00e9 o mesmo que no exemplo anterior: $\\mbox{pcar}_f(t)=(t-2)^3(t-3)^2$. Logo, operador $f$ tem dois autovalores $2$ e $3$, mas os autoespa\u00e7os s\u00e3o $V_2=\\langle b_1,b_3\\rangle$ e $V_3=\\langle b_4\\rangle$. Em particular $\\F^5\\neq V_2\\oplus V_3$. Por outro lado, note que as matrizes de $f-2\\mbox{id}$ e $f-3\\mbox{id}$ s\u00e3o
\n$$
\n\\begin{pmatrix}
\n0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0& 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0& 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1& 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0& 1\\\\
\n\\end{pmatrix}\\quad e\\quad
\n\\begin{pmatrix}
\n-1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 0 & 0& 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 0& 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0& 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0& 0\\\\
\n\\end{pmatrix}.
\n$$
\nLogo o polin\u00f4mio minimal de $f$ \u00e9 $m_f(t)=(t-2)^2(t-3)^2$. Al\u00e9m disso,
\n$$
\nW_2=\\langle b_1,b_2,b_3\\rangle =\\ker[(f-2\\mbox{id})^2]\\mbox{ e }W_3=\\langle b_4,b_5\\rangle =\\ker[(f-3\\mbox{id})^2]
\n$$
\ne
\n$$
\n\\F^5=W_2\\oplus W_3.
\n$$
\nEm outras palavras, $\\F^5$ n\u00e3o se decomp\u00f5es como soma direta dos autoespa\u00e7os, mas existe uma decomposi\u00e7\u00e3o de $\\F^5$ reletindo a decomposi\u00e7\u00e3o de $m_f(t)$. Os espa\u00e7os $W_2$ e $W_3$ s\u00e3o chamados de autoespa\u00e7os generalizados<\/b>.<\/div>\n
\nSeja $f:\\R^4\\to \\R^4$ um endomorfismo com matriz
\n$$
\nX=[f]_B^B=\\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1\\\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\end{pmatrix}
\n$$
\nem uma base $B=\\{b_1,b_2,b_3,b_4\\}$. Note que a matriz $X$ \u00e9 a matriz companheira do polin\u00f4mio $t^4+t^2+1$. Por um exerc\u00edcio nas listas,
\n$$
\n\\mbox{pcar}_f(t)=m_f(t)=t^4+t^2+1=(t^2+t+1)(t^2-t+1).
\n$$
\nTemos ainda que os fatores no lado direito da linha anterior s\u00e3o irredut\u00edveis e $\\mbox{pcar}_f(t)$ n\u00e3o possui raiz em $\\R$. Portanto, $f$ n\u00e3o tem autovalores e nem tem autoespa\u00e7os generalizados n\u00e3o triviais.<\/p>\n

Por outro lando, observe que substituindo $f$ nos dois fatores de $\\mbox{pcar}_f(t)$, obtemos os endomorfismos com as seguintes matrizes:
\n$$
\n\\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -1 \\\\ 1 & 1 & 0 & -1 \\\\ 1 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\end{pmatrix}\\quad\\mbox{e}\\quad
\n\\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & 1 \\\\ -1 & 1 & 0 & -1 \\\\ 1 & -1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 & 0\\end{pmatrix}.
\n$$
\nCalculando as forma escalonadas destas matrizes, os n\u00facleos destes endomorfismos s\u00e3o
\n$$
\n\\ker (f^2+f+1)=\\langle b_1+b_4,b_2-b_3+b_4\\rangle
\n$$
\ne
\n$$
\n\\ker (f^2-f+1)=\\langle b_1-b_4,b_2+b_3+b_4\\rangle.
\n$$
\nObtemos neste caso a decomposi\u00e7\u00e3o
\n$$
\n\\R^4=\\ker(f^2+f+1)\\oplus \\ker(f^2-f+1).
\n$$<\/p>\n<\/div>\n

\nSeja $p:V\\to V$ uma proje\u00e7\u00e3o. Ent\u00e3o $p$ comuta com $f$ (ou seja $pf=fp$) se e somente se $\\ker p$ e $\\mbox{Im}(p)$ s\u00e3o invariantes por $f$.<\/div>\n
(O Teorema da Decomposis\u00e3o Prim\u00e1ria)
\nAssuma que
\n$$
\nm_f(t)=q_1(t)^{\\alpha_1}\\cdots q_k(t)^{\\alpha_k}
\n$$
\ncom $\\alpha_i\\geq 1$ e os $q_is$ s\u00e3o polin\u00f4mios irredut\u00faveis distintos em $\\F[x]$. Ponha $W_i=\\ker (q_i^{\\alpha_i}(f))$. Ent\u00e3o as seguintes s\u00e3o verdadeiras:<\/p>\n
    \n
  1. $V=W_1\\oplus\\cdots\\oplus W_k$;<\/li>\n
  2. cada $W_i$ \u00e9 $f$-invariante;<\/li>\n
  3. o polin\u00f4mio m\u00ednimo de $f|_{W_i}$ \u00e9 $q_i^{\\alpha_i}(t)$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \nSeja
    \n$$
    \nr_i=m_f(t)\/q_i^{\\alpha_i}(t)=q_1(t)^{\\alpha_1}\\cdots q_{i-1}(t)^{\\alpha_{i-1}}q_{i+1}(t)^{\\alpha_{i+1}}\\cdots q_k(t)^{\\alpha_k}.
    \n$$
    \nOs polin\u00f4mios $r_1,\\ldots,r_k$ s\u00e3o primos entre si, e existem $h_1(t),\\ldots,h_k(t)\\in\\F[x]$ tais que
    \n$$
    \nh_1(t)r_1(t)+\\cdots+h_k(t)r_k(t)=1;
    \n$$
    \nou seja
    \n$$
    \nh_1(f)r_1(f)+\\cdots+h_k(f)r_k(f)=\\mbox{id}_V;
    \n$$
    \nAfirmamos que a composi\u00e7\u00e3o de duas parcelas na soma anterior \u00e9 o endomorfismo zero. De fato, note que se $i\\neq j$, ent\u00e3o $m_f(t)\\mid r_i(t)r_j(t)$ e
    \n$$
    \nh_i(f)r_i(f)h_j(f)r_j(f)=h_i(f)h_j(f)r_i(f)r_j(f)=[(h_ih_j)(f)][(r_ir_j)(f)]=0.
    \n$$
    \nAqui usamos que $r_i(f)$ $h_j(f)$ comutam pois eles s\u00e3o membros do anel comutativo $\\F[f]$.<\/p>\n

    Ora usamos o Teorema que provamos na p\u00e1gina Proje\u00e7\u00f5es<\/a> para concluir que cada $h_i(f)r_i(f)$ \u00e9 uma proje\u00e7\u00e3o e
    \n$$
    \nV=\\mbox{Im}(h_1(f)r_1(f))\\oplus\\cdots\\oplus \\mbox{Im}(h_k(f)r_k(f)).
    \n$$<\/p>\n

    Pr\u00f3ximo afirmamos que $\\mbox{Im}(h_i(f)r_i(f))=\\ker(q_i(f)^{\\alpha_i})$ para todo $i$.
    \nSe $v\\in \\mbox{Im}(h_i(f)r_i(f))$, ent\u00e3o $v=(h_i(f)r_i(f))(w)$ e
    \n$$
    \nq_i^{\\alpha_i}(f)(v)=q_i^{\\alpha_i}(f)h_i(f)r_i(f)(w)=h_i(f)q_i^{\\alpha_i}(f)r_i(f)(w)=0.
    \n$$
    \nLogo, $\\mbox{Im}(h_i(f)r_i(f))\\leq \\ker(q_i(f)^{\\alpha_i})$. Agora, assuma que $v\\in \\ker(q_i(f)^{\\alpha_i})$ e note que $q_i^{\\alpha_i}(t)\\mid r_j(t)$ para todo $j\\neq i$ e portanto $h_j(f)r_j(f)(v)=0$. Ora,
    \n\\begin{align*}
    \nv&=\\mbox{id}_V(v)=(h_1(f)r_1(f)+\\cdots+h_i(f)r_i(f)+\\cdots+h_k(f)r_k(f))(v)\\\\&=h_i(f)r_i(f)(v)\\in \\mbox{Im}(h_i(f)r_i(f)).
    \n\\end{align*}
    \nIsso monstra que a decomposi\u00e7\u00e3o no item 1. est\u00e1 v\u00e1lida. O fato que $W=\\ker(q_i^{\\alpha_i}(f))=\\mbox{Im}(h_i(f)r_i(f))$ \u00e9 $f$-invariante, segue do fato que $f$ comuta com a proje\u00e7\u00e3o $h_i(f)r_i(f)$ e do exerc\u00edcio em cima.<\/p>\n

    Finalmente, provamos a afirma\u00e7\u00e3o sobre o polin\u00f4mio m\u00ednimo de $f|_{W_i}$. Seja $m_i(t)$ este polin\u00f4mio m\u00ednimo. Como $W_i=\\ker(q_i^{\\alpha_i}(f))$, temos que $m_i(t)\\mid q_i^{\\alpha_i}(t)$. Ou seja, $m_i(t)=q_i^{\\beta_i}(t)$ com algum $\\beta_i\\in\\{1,\\ldots,\\alpha_i\\}$ e isso vale para todo $i$. Se $v\\in V$, escreva $v=v_1+\\cdots+v_k$ com $v_i\\in W_i$ e
    \n\\begin{align*}
    \nq_1^{\\beta_1}(f)\\cdots q_k^{\\beta_k}(f)(v)&=q_1^{\\beta_1}(f)\\cdots q_k^{\\beta_k}(f)(v_1+\\cdots+v_k)\\\\&=
    \nq_1^{\\beta_1}(f)\\cdots q_k^{\\beta_k}(f)(v_1)+\\cdots+q_1^{\\beta_1}(f)\\cdots q_k^{\\beta_k}(f)(v_k)\\\\&=0.
    \n\\end{align*}
    \nObtemos que $m_f(t)=q_1^{\\alpha_1}\\cdots q_k^{\\alpha_k}$ divide $q_1^{\\beta_1}\\cdots q_k^{\\beta_k}$. Pelo Teorema da Fatora\u00e7\u00e3o para Polin\u00f4mios, obtemos que $\\alpha_i\\leq \\beta_i$ para todo $i$ e $\\alpha_i=\\beta_i$ segue para todo $i$. Logo $m_i(t)=q_i^{\\alpha_i}$.<\/p>\n<\/div>\n

    O Teorema espectral \u00e9 o caso particilar $\\F=\\C$ do Teorema da Decomposi\u00e7\u00e3o Prim\u00e1ria. Neste caso
    \n$$
    \nm_f(t)=(t-\\lambda_1)^{\\alpha_1}\\cdots (t-\\lambda_k)^{\\alpha_k}
    \n$$
    \ncom $\\lambda_1,\\ldots,\\lambda_k\\in \\C$ distintos e $\\alpha_i\\geq 1$.<\/p>\n

    (O Teorema Espectral)
    \nAssuma que $\\F=\\C$ e $f:V\\to V$ \u00e9 como acima. Neste caso,
    \n$$
    \nm_f(t)=(t-\\lambda_1)^{\\alpha_1}\\cdots (t-\\lambda_k)^{\\alpha_k}
    \n$$
    \ncom $\\lambda_i\\in\\C$ distintos e $\\alpha_i\\geq 1$. Ponha $W_i=\\ker (f-\\lambda_i\\mbox{id}_V)^{\\alpha_i}$. Ent\u00e3o as seguintes s\u00e3o verdadeiras:<\/p>\n
      \n
    1. $V=W_1\\oplus\\cdots\\oplus W_k$;<\/li>\n
    2. cada $W_i$ \u00e9 $f$-invariante;<\/li>\n
    3. o polin\u00f4mio m\u00ednimo de $f|_{W_i}$ \u00e9 $(t-\\lambda_i)^{\\alpha_i}$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      O Teorema da Fatora\u00e7\u00e3o para Polin\u00f4mios (revis\u00e3o da disciplina Fundamentos de \u00c1lgebra). Nesta p\u00e1gina $V$ \u00e9 um $\\F$-espa\u00e7o de dimens\u00e3o finita a $f\\in\\mbox{End}(V)$. Come\u00e7amos por tr\u00eas exemplos motivadores. Seja $f:\\F^5\\to \\F^5$ um endomorfismo e $B$ \u00e9 base de $\\F^5$ tal que $$ [f]_B^B=\\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 … Continue reading O Teorema da Decomposi\u00e7\u00e3o Prim\u00e1ria e o Teorema Espectral<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2233"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2233"}],"version-history":[{"count":8,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2233\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2251,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2233\/revisions\/2251"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2233"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}