{"id":2227,"date":"2023-04-16T11:58:08","date_gmt":"2023-04-16T14:58:08","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2227"},"modified":"2023-04-16T15:09:07","modified_gmt":"2023-04-16T18:09:07","slug":"projecoes","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/projecoes\/","title":{"rendered":"Proje\u00e7\u00f5es"},"content":{"rendered":"
\n
\nUma transforma\u00e7\u00e3o $f\\in\\mbox{End}(V)$ chama-se proje\u00e7\u00e3o<\/b> (ou idempotente<\/b> em outros contextos) se $f^2=f$.<\/div>\n
\nSeja $f\\in\\mbox{End}(V)$ e $U\\leq V$. O subespa\u00e7o $U$ chama-se $f$-invariante se $f(u)\\in U$ para todo $u\\in U$. Neste caso a restri\u00e7\u00e3o $f|_U:U\\to U$ \u00e9 uma transforma\u00e7\u00e3o linear de $U$; ou seja $f|_U\\in\\mbox{End}(U)$.<\/div>\n

Seja $V=U\\oplus W$ uma decomposi\u00e7\u00e3o para soma direta. Se $v\\in V$, ent\u00e3o $v$ pode ser escrito unicamente como $v=u+w$ com $u\\in U$ e $w\\in W$ e pode-se definir $f:V\\to V$ como $f(v)=u$. O endomorfismo $f$ \u00e9 uma proje\u00e7\u00e3o tal que $\\mbox{Im}(f)=U$ e $\\ker f=W$.<\/p>\n

\nAs seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o v\u00e1lidas para uma proje\u00e7\u00e3o $f:V\\to V$.<\/p>\n
    \n
  1. $\\mbox{Im}(f)$ \u00e9 $f$-invariante e $f|_{\\textrm{Im}(f)}=\\mbox{id}_{\\textrm{Im}(f)}$.<\/li>\n
  2. Os poss\u00edveis autovalores de $f$ s\u00e3o $1$ e $0$.<\/li>\n
  3. $f$ \u00e9 raiz do polin\u00f4mio $t^2-t$ e $m_f(t)\\in\\{t,t-1,t^2-t\\}$.<\/li>\n
  4. $V_0=\\ker f$, enquanto $V_1=\\ker(\\mbox{id}_V-f)=\\mbox{Im}(f)$.<\/li>\n
  5. $V=V_0\\oplus V_1=\\ker f\\oplus\\ker(\\mbox{id}_V-f)$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \n1. Segue da defini\u00e7\u00e3o. Para provar 2., assuma que $\\lambda$ \u00e9 autovalor com autovetor n\u00e3o nulo $v$. Tem-se que
    \n$$
    \n\\lambda^2 v=f(f(v))=f^2(v)=f(v)=\\lambda v.
    \n$$
    \nLogo $\\lambda^2=\\lambda$ ou seja $\\lambda\\in\\{0,1\\}$.<\/p>\n

    3. A defini\u00e7\u00e3o da proje\u00e7\u00e3o implica que $f$ \u00e9 raiz de $t^2-t$. Logo $m_f(t)$ \u00e9 um divisor de $t^2-t$ e as possibilidades s\u00e3o $t$, $t-1$, $t^2-t$.<\/p>\n

    4. $V_0=\\ker f$ e $V_1=\\ker(\\mbox{id}_V-f)$ valem para qualquer $f$ (n\u00e3o precisa ser proje\u00e7\u00e3o). Se $f(v)\\in \\mbox{Im}(f)$, ent\u00e3o $f(f(v))=f(v)$ e $f(v)\\in V_1$. Vice versa, se $v\\in V_1$, ent\u00e3o $v=f(v)\\in \\mbox{Im}(V)$. Logo $V_1=\\mbox{Im}(V)$.<\/p>\n

    5. Para concluir que $V=\\mbox{Im}(f)+\\ker f$, escreva $v\\in V$ como $v=v-f(v)+f(v)$ e note que $v-f(v)\\in\\ker f$. Como $\\ker f$ e $\\mbox{Im}(f)$ s\u00e3o autoespa\u00e7os com autovalor distinto, temos que $\\ker f\\cap \\mbox{Im}(f)=0$. Portanto $V= \\mbox{Im}(f)\\oplus\\ker f$.<\/p>\n<\/div>\n

    Se $V=V_1\\oplus\\cdots\\oplus V_k$, pode-se definir $p_i:V\\to V$ por
    \n$$
    \np_i(v)=v_i
    \n$$
    \nonde $v=v_1+\\cdots+v_k$ com $v_i\\in V_i$. Definindo assim, temos que $p_i$ \u00e9 uma proje\u00e7\u00e3o para cada $i$, $p_1+\\cdots+p_k=\\mbox{id}_V$ e $p_ip_j=0$ quando $i\\neq j$. O teorema seguinte diz que este argumento pode ser revertido.<\/p>\n

    \nSejam $p_1,\\ldots,p_k:V\\to V$ tais que<\/p>\n
      \n
    1. $p_1+\\cdots+p_k=\\mbox{id}_V$;<\/li>\n
    2. $p_ip_j=0$ para todo $i\\neq j$.<\/li>\n<\/ol>\n

      Ent\u00e3o os $p_i$ s\u00e3o proje\u00e7\u00f5es e $V=\\mbox{Im}(p_1)\\oplus\\cdots\\oplus\\mbox{Im}(p_k)$.<\/p>\n<\/div>\n

      \nTemos para $v\\in V$ que
      \n\\begin{align*}
      \np_i(v)&=p_i(\\mbox{id}_V(v))=p_i((p_1+\\cdots+p_k)(v))=p_i(p_1(v)+\\cdots+p_k(v))\\\\
      \n&=p_i(p_1(v))+\\cdots+p_i(p_i(v))+\\cdots+p_i(p_k(v))=p_i(p_i(v)).
      \n\\end{align*}
      \nLogo $p_i^2=p_i$ e $p_i$ \u00e9 uma proje\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

      Se $v\\in V$, ent\u00e3o
      \n$$
      \nv=\\mbox{id}_V(v)(p_1+\\cdots+p_k)(v)=p_1(v)+\\cdots+p_k(v)\\in \\mbox{Im}(p_1)+\\cdots+\\mbox{Im}(p_k).
      \n$$
      \nPara provar que a soma \u00e9 direta, seja $p_i(v)\\in\\mbox{Im}(p_i)\\cap\\sum_{j\\neq i}\\mbox{Im}(p_j)$ e escreva
      \n$$
      \np_i(v)=p_1(v_1)+\\cdots+p_{i-1}(v_{i-1})+p_{i+1}(v_{i+1})+\\cdots+p_k(v_k).
      \n$$
      \nOra,
      \n\\begin{align*}
      \np_i(v)&=p_i(p_i(v))=p_i(p_1(v_1)+\\cdots+p_{i-1}(v_{i-1})+p_{i+1}(v_{i+1})+\\cdots+p_k(v_k))\\\\&=0.
      \n\\end{align*}
      \nPortanto, $\\mbox{Im}(p_i)\\cap\\sum_{j\\neq i}\\mbox{Im}(p_j)=0$ e a soma \u00e9 direta.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      Uma transforma\u00e7\u00e3o $f\\in\\mbox{End}(V)$ chama-se proje\u00e7\u00e3o (ou idempotente em outros contextos) se $f^2=f$. Seja $f\\in\\mbox{End}(V)$ e $U\\leq V$. O subespa\u00e7o $U$ chama-se $f$-invariante se $f(u)\\in U$ para todo $u\\in U$. Neste caso a restri\u00e7\u00e3o $f|_U:U\\to U$ \u00e9 uma transforma\u00e7\u00e3o linear de $U$; ou seja $f|_U\\in\\mbox{End}(U)$. Seja $V=U\\oplus W$ uma decomposi\u00e7\u00e3o para soma direta. Se $v\\in V$, … Continue reading Proje\u00e7\u00f5es<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2227"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2227"}],"version-history":[{"count":3,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2227\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2232,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2227\/revisions\/2232"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2227"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}