{"id":2204,"date":"2023-04-13T10:41:12","date_gmt":"2023-04-13T13:41:12","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2204"},"modified":"2023-04-13T10:41:12","modified_gmt":"2023-04-13T13:41:12","slug":"o-teorema-de-cayley-hamilton","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/o-teorema-de-cayley-hamilton\/","title":{"rendered":"O Teorema de Cayley-Hamilton"},"content":{"rendered":"
\n
(Cayley-Hamilton<\/a>)
\nSeja $f:V\\to V$ um endomorfismo com $\\dim V=n$ (finita). Ent\u00e3o $\\mbox{pcar}_f(f)=0$. Em particular, $m_f(t)\\mid \\mbox{pcar}_f(t)$.<\/div>\n

Existem v\u00e1rias demonstra\u00e7\u00f5es do Teorema (veja a p\u00e1gina da Wikip\u00e9dia refenciada em cima), e todas t\u00eam as suas vantagens e desvantagens. Algumas demonstra\u00e7\u00f5es s\u00e3o mais elementares, mas as computa\u00e7\u00f5es s\u00e3o mais complicadas, algumas s\u00e3o computacionalmente mais simples, mas usam teoria mais profunda, outras funcionam apenas sobre corpo algebricamente fechado (tal como $\\C$).
\nAqui, eu escolhi uma demonstra\u00e7\u00e3o um pouco mais abstrata, mas tecnicamente mais f\u00e1cil. O leitor est\u00e1 encorajado consultar as notas do John e Rodney para demonstra\u00e7\u00f5es alternativas e decidir qual gosta mais.<\/p>\n

Antes da demonstra\u00e7\u00e3o, n\u00f3s precisamos de algumas ferramentas. Seja $R$ um anel comutativo e assuma que $A\\in M_{n\\times n}(R)$. Denote por $A_{i,j}$ a matriz $(n-1)\\times (n-1)$ que obtemos por apagar a $i$-\u00e9sima linha e $j$-\u00e9sima coluna de $A$. Denote por $\\mbox{adj}(A)=(b_{i,j})$ a matriz com entradas $b_{i,j}=(-1)^{i+j}\\det A_{j,i}$. A matriz $\\mbox{adj}(A)$ \u00e9 a adjunta<\/b> de $A$.<\/p>\n

\n$\\mbox{adj}(A)A=(\\det A)I_n$. Em particular, se $\\det A$ \u00e9 invert\u00edvel em $R$, ent\u00e3o $A^{-1}=(\\det A)^{-1}\\mbox{adj}(A)$.<\/div>\n
\nEste teorema est\u00e1 frequentemente mencionado, ou inclusive provado, nas disciplinas anteriores. Se isso for o caso, revisar a demonstra\u00e7\u00e3o; caso contr\u00e1rio, exerc\u00edcio.<\/div>\n
(A demonstra\u00e7\u00e3o do Teorema de Cayley-Hamilton)
\nSuponhamos que $B=\\{b_1,\\ldots,b_n\\}$ \u00e9 uma base de $V$ e seja $A=(a_{i,j})=[f]_B^B$. Considere o anel formada pelas combina\u00e7\u00f5es lineares das pot\u00eancias $f^0=\\mbox{id}_V,f,f^2,f^3,\\ldots$ dentro de $\\mbox{End}(V)$. Embora $\\mbox{End}(V)$ n\u00e3o seja comutativo, este $R$ \u00e9 um anel comutativo. Considere a matriz
\n$$
\nA = \\begin{pmatrix}
\nf-a_{1,1}\\mbox{id}_V & -a_{2,1}\\mbox{id}_V & \\cdots & -a_{n-1,1}\\mbox{id}_V & -a_{n,1}\\mbox{id}_V\\\\
\n-a_{1,2}\\mbox{id}_V & f-a_{2,2}\\mbox{id}_V & \\cdots & -a_{n-1,2}\\mbox{id}_V & -a_{n,2}\\mbox{id}_V\\\\
\n\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots & \\vdots\\\\
\n-a_{1,n-1}\\mbox{id}_V & -a_{2,n-1}\\mbox{id}_V & \\cdots & f-a_{n-1,n-1}\\mbox{id}_V & -a_{n,n-1}\\mbox{id}_V\\\\
\n-a_{1,n}\\mbox{id}_V & -a_{2,n}\\mbox{id}_V & \\cdots & -a_{n-1,n}\\mbox{id}_V & f-a_{n,n}\\mbox{id}_V\\\\
\n\\end{pmatrix}
\n$$
\nA matriz $A$ \u00e9 um elemento de $M_{n\\times n}(R)$ e note que $\\det A =\\mbox{pcar}_f(f)$. Pondo $b=(b_1,\\ldots,b_n)^t$ (vetor coluna), temos que $Ab=0$. Por outro lado
\n$$
\n0=\\mbox{adj}(A)Ab=(\\det A)I_nb=(\\det A)b=\\mbox{pcar}_f(f)b.
\n$$
\nLogo $\\mbox{pcar}_f(f)b_i=0$ para todo $i$. Como os $b_i$ formam uma base de $V$, obtemos que $\\mbox{pcar}_f(f)=0$.<\/p>\n

O fato que $m_f(t)\\mid \\mbox{pcar}_f(t)$ segue das propriedades do polin\u00f4mio m\u00ednimo na p\u00e1gina anterior.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

(Cayley-Hamilton) Seja $f:V\\to V$ um endomorfismo com $\\dim V=n$ (finita). Ent\u00e3o $\\mbox{pcar}_f(f)=0$. Em particular, $m_f(t)\\mid \\mbox{pcar}_f(t)$. Existem v\u00e1rias demonstra\u00e7\u00f5es do Teorema (veja a p\u00e1gina da Wikip\u00e9dia refenciada em cima), e todas t\u00eam as suas vantagens e desvantagens. Algumas demonstra\u00e7\u00f5es s\u00e3o mais elementares, mas as computa\u00e7\u00f5es s\u00e3o mais complicadas, algumas s\u00e3o computacionalmente mais simples, mas usam … Continue reading O Teorema de Cayley-Hamilton<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2204"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2204"}],"version-history":[{"count":20,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2204\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2224,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2204\/revisions\/2224"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2204"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}