{"id":2199,"date":"2023-04-12T09:22:51","date_gmt":"2023-04-12T12:22:51","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2199"},"modified":"2023-04-13T10:01:21","modified_gmt":"2023-04-13T13:01:21","slug":"o-polinomio-minimo-de-um-operador","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/o-polinomio-minimo-de-um-operador\/","title":{"rendered":"O polin\u00f4mio m\u00ednimo de um operador"},"content":{"rendered":"
\nNesta p\u00e1gina, $V$ \u00e9 um espa\u00e7o vetorial sobre um corpo $\\F$ de dimens\u00e3o $n$ (finita) e $t$ \u00e9 uma inc\u00f4gnita sobre $\\F$.<\/p>\n

Note que $\\mbox{End}(V)=\\mbox{Hom}(V,V)\\cong M_{n\\times n}(\\F)$ \u00e9 um espa\u00e7o de dimens\u00e3o $n^2$ (finita). Al\u00e9m disso, no espa\u00e7o $\\mbox{End}(V)$ temos que os elementos (endomorfismos) podem ser somados, multiplicados por escalar e tamb\u00e9m compostos. Se $f,g\\in \\mbox{End}(V)$, ent\u00e3o $fg=f\\circ g$ e $f^k=f\\circ\\cdots\\circ f$ ($k$ vezes). Dizemos que $\\mbox{End}(V)$ \u00e9 uma \u00e1lgebra<\/b>.<\/p>\n

Se $f\\in\\mbox{End}(V)$, ent\u00e3o a sequ\u00eancia infinita, $f^0=\\mbox{id}_V,f,f^2,f^3,\\ldots$ \u00e9 L.D. Assuma que $m\\geq 0$ \u00e9 tal que a seq\u00eancia $f^0,f,f^2,\\ldots,f^m$ \u00e9 linearmente dependente. Ent\u00e3o existem coeficientes $\\alpha_0,\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_m\\in\\F$ tais que eles n\u00e3o s\u00e3o todos iguais a zero e
\n$$
\n\\alpha_0 f^0+\\alpha_1 f+\\cdots+\\alpha_m f^m=0
\n$$
\nonde $0$ denota o operador $0\\in\\mbox{End}(V)$.
\nDefina
\n$$
\np(t)=\\alpha_0+\\alpha_1t+\\cdots+\\alpha_{m-1}t^{m-1}+\\alpha_mt^m\\in\\F[t].
\n$$
\nEnt\u00e3o temos que $p(t)\\in\\F[t]$ \u00e9 um polin\u00f4mio n\u00e3o nulo e $p(f)=0$; ou seja $f$ \u00e9 ra\u00edz de $p(t)$.<\/p>\n

\nSeja
\n$$
\nI_f=\\{p(t)\\in\\F[t]\\mid p(f)=0\\}\\subseteq \\F[t].
\n$$
\nEnt\u00e3o $I_f$ \u00e9 fechado para soma e m\u00faltiplo escalar. Al\u00e9m disso, se $p(t)\\in I_f$ e $q(t)\\in \\F[t]$, ent\u00e3o $p(t)q(t)\\in I_f$. (Em outras pal\u00e1vras, $I_f$ \u00e9 um ideal em $\\F[t]$). Ademais, $I_f$ cont\u00e9m polin\u00f4mios n\u00e3o nulos, existe \u00fanico polin\u00f4mio m\u00f4nico $m_f(t)\\in I_f$ de menor grau e
\n$$
\nI_f=m_f(t)\\F[t]=\\{m_f(t)q(t)\\mid q(t)\\in\\F[t]\\}.
\n$$
\n(Ou seja, $I_f$ \u00e9 o conjunto de m\u00faltiplos de $m_f(t)$).<\/div>\n
\n\u00c9 f\u00e1cil verificar que $I_f$ \u00e9 fechado para a soma, m\u00faltiplo escalar e para o produto no sentido do enunciado do lema. O argumento antes do lema mostra que existe polin\u00f4mio n\u00e3o nulo em $I_f$. Seja $m_f(t)$ um polin\u00f4mio de menor grau e assuma (por dividir pelo coeficiente l\u00edder de $m_f(t)$) que $m_f(t)$ \u00e9 m\u00f4nico. Pela propriedade de ser fechado para o produto, temos que $m_f(t)\\F[t]\\subseteq I_f$. Para provar a outra inclus\u00e3o, seja $p(t)\\in I_f$ arbitr\u00e1rio. Pelo Teorema de Divis\u00e3o de Euclides, temos que
\n$$
\np(t)=q(t)m_f(t)+r(t)
\n$$
\nonde $r(t)=0$ ou o grau de $r(t)$ \u00e9 menor que o grau de $m_f(t)$. Por outro lado
\n$$
\nr(f)=p(f)-q(f)m_f(f)=0
\n$$
\ne $r(t)\\in I_f$. Pela minimalidade do grau de $m_f(t)$, temos que $r(t)=0$; ou seja, $p(t)=q(t)m_f(t)$. Portanto $I_f\\subseteq m_f(t)\\F[t]$ e $I_f=m_f(t)\\F[t]$. Finalmente, se $p(t)\\in I_f$ m\u00f4nico com o mesmo grau que $m_f(t)$, ent\u00e3o $p(t)=1\\cdot m_f(t)=m_f(t)$ e assim verificamos a unicidade de $m_f(t)$.<\/div>\n
\nO polin\u00f4mio $m_f(t)\\in\\F[t]$ no lema anterior e chamado polin\u00f4mio m\u00ednimo<\/b> do endomorfismo $f$.<\/div>\n
\nSeja $f:\\F^3\\to\\F^3$ definido como $f(x,y,z)=(0,x,y+z)$. A matriz de $f$ na base can\u00f4nica \u00e9
\n$$
\n\\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\\end{pmatrix},
\n$$
\nenquanto as matrizes de $f^2$ e $f^3$ s\u00e3o
\n$$
\n\\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1\\end{pmatrix}\\quad\\mbox{e}\\quad
\n\\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1\\end{pmatrix}.
\n$$
\nLogo $f^2=f^3$ ou seja $f^3-f^2=0$. Como (as matrizes de ) $f^0$, $f$, $f^2$ s\u00e3o L.I., temos que $m_f(t)=t^3-t^2$.<\/div>\n
\nSe $\\lambda$ for um autovalor de $f:V\\to V$, ent\u00e3o $m_f(\\lambda)=0$, ou equivalentemente, $t-\\lambda\\mid m_f(t)$. Em particular, se $\\mbox{Spec}(f)=\\{\\lambda_1,\\ldots,\\lambda_k\\}$, ent\u00e3o
\n$$
\n(t-\\lambda_1)\\cdots (t-\\lambda_k)\\mid m_f(t)
\n$$
\ne $\\deg m_f(t)\\geq k$.<\/div>\n
\nPrimeiro, escreva, usando o Teorema de Divis\u00e3o de Euclides, que
\n$$
\nm_f(t)=q(t)(t-\\lambda)+\\alpha
\n$$
\nonde $\\alpha\\in\\F$.
\nAssuma que $v\\in V_\\lambda$ n\u00e3o nulo. Ora
\n$$
\n0=m_f(f)(v)=(q(f)(f-\\lambda\\mbox{id}_V)+\\alpha\\mbox{id}_V)v=\\alpha v.
\n$$
\nComo, $v\\neq 0$, temos que $\\alpha=0$, ou seja, $m_f(t)=q(t)(t-\\lambda)$. A segunda afirma\u00e7\u00e3o segue do fato que os polin\u00f4mios $t-\\lambda_i$ s\u00e3o primos entre si dois a dois.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Nesta p\u00e1gina, $V$ \u00e9 um espa\u00e7o vetorial sobre um corpo $\\F$ de dimens\u00e3o $n$ (finita) e $t$ \u00e9 uma inc\u00f4gnita sobre $\\F$. Note que $\\mbox{End}(V)=\\mbox{Hom}(V,V)\\cong M_{n\\times n}(\\F)$ \u00e9 um espa\u00e7o de dimens\u00e3o $n^2$ (finita). Al\u00e9m disso, no espa\u00e7o $\\mbox{End}(V)$ temos que os elementos (endomorfismos) podem ser somados, multiplicados por escalar e tamb\u00e9m compostos. Se $f,g\\in … Continue reading O polin\u00f4mio m\u00ednimo de um operador<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2199"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2199"}],"version-history":[{"count":4,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2199\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2203,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2199\/revisions\/2203"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2199"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}