{"id":2187,"date":"2023-04-10T08:13:24","date_gmt":"2023-04-10T11:13:24","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2187"},"modified":"2023-04-10T09:42:22","modified_gmt":"2023-04-10T12:42:22","slug":"autovalores-e-autovetores","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/autovalores-e-autovetores\/","title":{"rendered":"Autovalores e autovetores"},"content":{"rendered":"
\n
\nConsidere a transforma\u00e7\u00e3o $R:\\R^2\\to \\R^2$ onde $R(v)$ \u00e9 a reflex\u00e3o de $v$ no eixo que tem $30$ graus com o eixo-$x$. A matriz da transforma\u00e7\u00e3o na base can\u00f4nica \u00e9
\n$$
\n\\begin{pmatrix} 1\/2 & \\sqrt{3}\/2\\\\ \\sqrt{3}\/2 & -1\/2 \\end{pmatrix}.
\n$$
\nOu seja, esta \u00e9 uma matriz complicada. Por outro lado, se usarmos a base que cont\u00e9m o eixo da reflex\u00e3o e uma outro vetor perpendicular ao eixo, temos que a matriz da transforma\u00e7\u00e3o fica na forma
\n$$
\n\\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & -1 \\end{pmatrix}.
\n$$<\/div>\n

Escolhendo os vetores na maneira “certa”, a matriz da transforma\u00e7\u00e3o fica bem mais simples. Nesta parte da disciplina n\u00f3s vamos estudar<\/p>\n

    \n
  1. como escolher a base de um espa\u00e7o vetorial para que a matriz de um endomorfismo seja a mais simples poss\u00edvel;<\/li>\n
  2. at\u00e9 qual ponto pode a matriz de uma endomorfismo ser simplificada.<\/li>\n<\/ol>\n
    \nSeja $f:V\\to V$ um endomorfismo de um $\\F$-espa\u00e7o vetorial $V$. Seja $\\lambda\\in\\F$. Se $v\\in V$ tal que $f(v)=\\lambda v$, ent\u00e3o $v$ chama-se autovetor<\/b> de $f$. Se $v\\neq 0$, ent\u00e3o $\\lambda$ chama-se autovalor<\/b> de $\\F$. Denotamos por
    \n$$
    \nV_\\lambda=\\{v\\in V\\mid f(v)=\\lambda v\\}.
    \n$$<\/div>\n
    \nMostre que $V_\\lambda\\leq V$. Sejam $\\lambda_1,\\ldots,\\lambda_k\\in\\F$ distintos. Mostre que
    \n$$
    \nV_{\\lambda_1}+\\cdots+V_{\\lambda_k}=V_{\\lambda_1}\\oplus\\cdots\\oplus V_{\\lambda_k}.
    \n$$<\/div>\n

    O espa\u00e7o $V_\\lambda$ \u00e9 chamado de autoespa\u00e7o<\/b> do endomorfismo $f$ associado com $\\lambda$. Temos que $\\lambda$ \u00e9 autovalor de $f$ se e somente se $V_\\lambda\\neq 0$.<\/p>\n

    \n
      \n
    1. No primeiro exemplo desta p\u00e1gina, o eixo da reflex\u00e3o \u00e9 um autovetor com autovalor $1$ enquanto um vetor perpendicular ao eixo \u00e9 autovetor com autovalor $-1$.<\/li>\n
    2. Se $f:C^\\infty(\\R)$ \u00e9 a deriva\u00e7\u00e3o, ent\u00e3o a fun\u00e7\u00e3o $x\\mapsto \\exp(\\lambda x)$ \u00e9 autovetor com autovalor $\\lambda$.<\/li>\n
    3. Se $f:V\\to V$ \u00e9 um endomorfismo, ent\u00e3o $V_0=\\ker f$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
      \nUm endomorfismo $f:V\\to V$ de um espa\u00e7o vetorial $V$ de dimens\u00e3o finita \u00e9 chamada diagonaliz\u00e1vel<\/b> se $V$ possui uma base formada por autovetores de $f$.<\/div>\n

      O endomorfismo no primeiro exemplo \u00e9 diagonaliz\u00e1vel.<\/p>\n

      \nSe $V$ \u00e9 um espa\u00e7o de dimens\u00e3o finita e $f:V\\to V$ \u00e9 um endomorfismo, ent\u00e3o definimos $\\det f$ como $\\det [f]^B_B$ onde $B$ \u00e9 uma base arbitr\u00e1ria de $V$. Pelas regras da mudan\u00e7a de base, $\\det f$ \u00e9 independente da escolha de $B$.<\/div>\n
      \nSeja $f:V\\to V$ um endomorfismo e $\\lambda\\in\\F$.<\/p>\n
        \n
      1. Ent\u00e3o $V_\\lambda=\\ker(\\lambda\\cdot \\mbox{id}_V-f)$.<\/li>\n
      2. Assumindo que $\\dim V$ \u00e9 finita, $\\lambda$ \u00e9 autovalor de $f$ se e somente se $\\det(\\lambda\\cdot \\mbox{id}_V-f)=0$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
        \n1. Seja $v\\in V$. Ent\u00e3o $f(v)=\\lambda v$ se e somente se $f(v)-\\lambda v=0$ que \u00e9 e mesma coisa que $\\lambda\\mbox{id}_V(v)-f(v)=0$. A \u00faltima equa\u00e7\u00e3o pode ser escrita na forma $(\\lambda\\mbox{id}_V-f)(v)=0$; ou seja, $v\\in \\ker (\\lambda\\cdot \\mbox{id}_V-f)$.<\/p>\n

        2. $\\lambda$ \u00e9 autovalor de $f$ se e somente se $V_\\lambda\\neq 0$ que equivale \u00e0 afirma\u00e7\u00e3o $\\ker(\\lambda\\mbox{id}_V-f)\\neq 0$; ou seja $\\lambda\\mbox{id}_V-f$ n\u00e3o \u00e9 invert\u00edvel. Neste caso $\\det(\\lambda\\mbox{id}_V-f)=0$.<\/p>\n<\/div>\n

        \nSeja $f:\\F^2\\to \\F^2$ definida por $f(x,y)=(x+y,y)$. A matriz de $f$ na base can\u00f4nica \u00e9
        \n$$
        \n\\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}
        \n$$
        \nSe $\\lambda\\in\\F$, ent\u00e3o $\\lambda$ \u00e9 autovalor de $f$ se e somente se
        \n$$
        \n0=\\det\\begin{pmatrix} \\lambda-1 & -1 \\\\ 0 & \\lambda-1 \\end{pmatrix}=(\\lambda-1)^2.
        \n$$
        \nObtemos que $\\det(\\lambda\\mbox{id}_V-f)=0$ apenas para $\\lambda=1$. Ent\u00e3o o \u00fanico autovalor de $f$ \u00e9 $\\lambda=1$. Neste caso, o autoespa\u00e7o $V_1$ coincide com o n\u00facleo da matriz
        \n$$
        \n\\begin{pmatrix} 0 & -1 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}
        \n$$
        \nque \u00e9 $\\langle(1,0)\\rangle$. Obtemos que os autovetores de $f$ s\u00e3o os m\u00faltiplos de $(1,0)$, ent\u00e3o n\u00e3o existe base de $V$ tal que a matriz desta transforma\u00e7\u00e3o seja diagonaliz\u00e1vel. Ou seja, $f$ n\u00e3o \u00e9 diagonaliz\u00e1vel.<\/div>\n
        \nSeja $V$ um $\\F$-espa\u00e7o de dimens\u00e3o finita e seja $f:V\\to V$ um endomorfismo. Seja $t$ uma inc\u00f4gnita sobre o corpo $\\F$. Ent\u00e3o o determinante $\\det(t\\cdot \\mbox{id}_V-f)$ pode ser visto como um polin\u00f4mio em $\\F[t]$. Este polin\u00f4mio chama-se o polin\u00f4mio carater\u00edstico<\/b> de $f$ e est\u00e1 escrito como $\\mbox{pcar}_f(t)$.<\/div>\n

        Note que precisamos escolher uma base para calcular o polin\u00f4mio carater\u00edstico, mas o resultado ser\u00e1 independente da escolha da base.<\/p>\n

        \nNo exemplo anterior $\\mbox{pcar}_f(t)=(t-1)^2$.<\/div>\n

        O polin\u00f4mio carater\u00edstico \u00e9 um polin\u00f4mio m\u00f4nico de grau $n=\\dim V$:
        \n$$
        \n\\mbox{pcar}_f(t)=t^n+\\alpha_{n-1}t^{n-1}+\\cdots+\\alpha_1t+\\alpha_0\\in\\F[t].
        \n$$<\/p>\n

        \nSeja $V$ um espa\u00e7o vetorial de dimens\u00e3o $n$ (finita) sobre um corpo $\\F$ e seja $f:V\\to V$ um endomorfismo.<\/p>\n
          \n
        1. O conjunto dos autovalores de $f:V\\to V$ \u00e9 igual ao conjunto das ra\u00edzes do seu polin\u00f4mio carater\u00edstico.<\/li>\n
        2. $f$ possui no m\u00e1ximo $n$ autovalores distintos.<\/li>\n
        3. Se $\\F=\\C$, ent\u00e3o $f$ possui pelo menos um autovalor.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
          \nO conjunto dos autovalores de $f$ chama-se o espectro<\/b> de $f$. A multiplicidade alg\u00e9brica<\/b> de um autovalor $\\lambda$ \u00e9 a multiplicidade como raiz de $\\mbox{pcar}_f(t)$. A multiplicidade geom\u00e9trica<\/b> \u00e9 $\\dim V_\\lambda$.<\/div>\n
          \nA multiplicidade geom\u00e9trica de um autovalor de um endomorfismo \u00e9 menor ou igual a sua multiplicidade alg\u00e9brica.<\/div>\n
          \nExerc\u00edcio: Use uma base que cont\u00e9m uma base para $V_\\lambda$ para calcular o polin\u00f4mio carater\u00edstico.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

          Considere a transforma\u00e7\u00e3o $R:\\R^2\\to \\R^2$ onde $R(v)$ \u00e9 a reflex\u00e3o de $v$ no eixo que tem $30$ graus com o eixo-$x$. A matriz da transforma\u00e7\u00e3o na base can\u00f4nica \u00e9 $$ \\begin{pmatrix} 1\/2 & \\sqrt{3}\/2\\\\ \\sqrt{3}\/2 & -1\/2 \\end{pmatrix}. $$ Ou seja, esta \u00e9 uma matriz complicada. Por outro lado, se usarmos a base que cont\u00e9m … Continue reading Autovalores e autovetores<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2187"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2187"}],"version-history":[{"count":7,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2187\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2195,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2187\/revisions\/2195"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2187"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}