{"id":2176,"date":"2023-04-02T15:08:22","date_gmt":"2023-04-02T18:08:22","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2176"},"modified":"2023-04-05T10:01:04","modified_gmt":"2023-04-05T13:01:04","slug":"formas-k-lineares","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/formas-k-lineares\/","title":{"rendered":"Formas $k$-lineares e o determinante"},"content":{"rendered":"
\n
\nSejam $V$ e $W$ espa\u00e7os vetoriais sobre $\\F$, $k\\geq 1$, e considere o produto cartesiano $V^k=V\\times \\cdots\\times V$ de $k$ c\u00f3pias de $V$. Dizemos que uma aplica\u00e7\u00e3o $f:V^k\\to W$ \u00e9 $k$-linear se ela \u00e9 linear em todas as vari\u00e1veis. Em outras pal\u00e1vras,
\n$$
\nf(v_1,\\ldots,\\alpha v_i+\\beta w,\\ldots v_k)=\\alpha f(v_1,\\ldots,v_i,\\ldots v_k)+\\beta f(v_1,\\ldots,w,\\ldots v_k)
\n$$
\nvale para todo $i\\in\\{1,\\ldots,k\\}$, $v_i\\in V$ e $w\\in V$. Uma aplica\u00e7\u00e3o $V^k\\to \\F$ $k$-linear \u00e9 chamada de forma (ou funcional) $k$-linear.<\/b><\/div>\n
\nUma forma $1$-linear \u00e9 simplesmente uma forma linear $V\\to \\F$. Uma aplica\u00e7\u00e3o ou forma $2$-linear \u00e9 frequentemente chamada de bilinear<\/b>, enquanto uma aplica\u00e7\u00e3o ou forma $3$-linear e chamada de trilinear<\/b>.<\/p>\n

Se $V=\\R^n$, ent\u00e3o o produto interno $\\langle\\cdot ,\\cdot\\rangle$ \u00e9 bilinear. Por outro lado, se $V=\\C^n$, ent\u00e3o o produto interno $\\langle\\cdot ,\\cdot\\rangle$ n\u00e3o \u00e9 bilinear (porque?). Se $V=\\F^n$, ent\u00e3o a aplica\u00e7\u00e3o
\n$$
\nd:V^n\\to \\F,\\quad d(a_1,\\ldots,a_n)=\\det A,
\n$$
\nonde $A$ \u00e9 a matriz formada pelas linhas $a_1,\\ldots,a_n$, \u00e9 $n$-linear.<\/p>\n<\/div>\n

Para $V, W$ espa\u00e7os sobre $\\F$ e $k\\geq 1$, o conjunto das aplica\u00e7\u00f5es $k$-lineares \u00e9 um espa\u00e7o vetorial sobre $\\F$. Este espa\u00e7o \u00e9 denotado por $L^k(V,W)$. O espa\u00e7o $L^k(V,\\F)$ \u00e9 escrito como $L^k(V)$. Note que $V^*=L^1(V)$.<\/p>\n

\nSejam $V$ e $W$ espa\u00e7os vetoriais sobre $\\F$ e $B$ uma base de $V$. Seja $f_0$ um mapa arbitr\u00e1rio $f_0:B^k\\to W$. Existe uma \u00fanica aplica\u00e7\u00e3o $k$-linear $f:V^k\\to W$ tal que $f|_{B^k}=f_0$.<\/div>\n
\nExerc\u00edcio.<\/div>\n
\nSeja $V=\\R^n$ com a base can\u00f4nica $e_1,\\ldots,e_n$. Est\u00e1 bem conhecido que o produto interno $\\langle \\cdot,\\cdot\\rangle$ est\u00e1 determinado pelos valores de $\\langle e_i,e_j\\rangle$ com $i,j\\in\\{1,\\ldots,n\\}$. De fato, se $v,w\\in\\R^n$ (vetores linhas) e $v=(\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_n)$, $w=(\\beta_1,\\ldots,\\beta_n)$, ent\u00e3o
\n$$
\n\\langle v,w\\rangle=\\left\\langle \\sum_{i=1}^n\\alpha_je_i,\\sum_{j=1}^n\\beta_j e_j\\right\\rangle=\\sum_{i,j=1}^n\\alpha_i\\beta_j\\langle e_i,e_j\\rangle=\\sum_{i=1}^n\\alpha_i\\beta_i.
\n$$
\nOu seja, as igualdades $\\langle e_i,e_j\\rangle=\\delta_{i,j}$ ($\\delta$ de Kronecker) determinam o produto interno $\\langle\\cdot,\\cdot\\rangle$ completamente.<\/div>\n
\nAssumindo que $\\dim V=m$ e $\\dim W=n$, determine $\\dim L^k(V,W)$.<\/div>\n
\nSeja $f:V^k\\to W$ uma aplica\u00e7\u00e3o $k$-linear. A aplica\u00e7\u00e3o $f$ \u00e9 dita sim\u00e9trica se
\n\\begin{align*}
\n&f(v_1,\\ldots,v_{i-1},v_i,v_{i+1},\\ldots,v_{j-1},v_j,v_{j+1},\\ldots,v_n)\\\\&=f(v_1,\\ldots,v_{i-1},v_j,v_{i+1},\\ldots,v_{j-1},v_i,v_{j+1},\\ldots,v_n)
\n\\end{align*}
\npara todo $i,j\\in\\{1,\\ldots,k\\}$ e $v_i\\in V$.
\nA aplica\u00e7\u00e3o $f$ \u00e9 dita alternada se
\n$$
\nf(v_1,\\ldots,v_n)=0
\n$$
\nsempre que $v_i\\in V$ e $v_i=v_j$ com algum $i\\neq j$. Os espa\u00e7os de aplica\u00e7\u00f5es $k$-lineares sim\u00e9tricas e alternadas $V^k\\to W$ est\u00e3o denotados por $S^k(V,W)$ e $A^k(V,W)$, respetivamente. Escrevemos tamb\u00e9m $S^k(V)=S^k(V,\\F)$ e $A^k(V,\\F)=A^k(V)$.<\/div>\n
\nO produto interno $\\langle\\cdot,\\cdot\\rangle$ em $\\R^n$ \u00e9 uma forma sim\u00e9trica bilinear. O determinante $d:(\\F^n)^n\\to\\F$ \u00e9 alternada.<\/div>\n
\nSeja $f:V^k\\times W$ uma aplica\u00e7\u00e3o $k$-linear alternada. As seguintes afirma\u00e7\u00f5es s\u00e3o v\u00e1lidas:<\/p>\n
    \n
  1. \n$$
    \nf(\\ldots,v_i,\\ldots,v_j,\\ldots)=-f(\\ldots,v_j,\\ldots,v_i,\\ldots)
    \n$$<\/li>\n
  2. Se $v_1,\\ldots,v_k$ s\u00e3o linearmente dependentes, ent\u00e3o $f(v_1,\\ldots,v_k)=0$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \n1. Calculamos que
    \n\\begin{align*}
    \n0&=f(\\ldots,v_i+v_j,\\ldots,v_i+v_j,\\ldots)\\\\&=f(\\ldots,v_i,\\ldots,v_i,\\ldots)+f(\\ldots,v_i,\\ldots,v_j,\\ldots)\\\\&+f(\\ldots,v_j,\\ldots,v_i,\\ldots)+f(\\ldots,v_j,\\ldots,v_j,\\ldots)\\\\&=f(\\ldots,v_i,\\ldots,v_j,\\ldots)+f(\\ldots,v_j,\\ldots,v_i,\\ldots).
    \n\\end{align*}<\/p>\n

    2. Se os $v_i$ s\u00e3o L.D., ent\u00e3o algum $v_i$ \u00e9 combina\u00e7\u00e3o linear dos demais vetores no sistema. Assuma que $v_1$ \u00e9 combina\u00e7\u00e3o linear de $v_2,\\ldots,v_k$. Ou seja,
    \n$$
    \nv_1=\\alpha_2 v_2+\\cdots+\\alpha_k v_k.
    \n$$
    \nEnt\u00e3o
    \n\\begin{align*}
    \n&f(v_1,v_2,\\ldots,v_k)\\\\&=
    \nf(\\alpha_2 v_2+\\cdots+\\alpha_k v_k,v_2,\\ldots,v_k)\\\\&=
    \n\\alpha_2 f(v_2,v_2,\\ldots,v_k)+\\cdots+\\alpha_k f(v_k,v_2,\\ldots,v_k)=0.
    \n\\end{align*}<\/p>\n<\/div>\n

    Se $X$ \u00e9 um conjunto, uma aplica\u00e7\u00e3o $\\sigma:X\\to X$ invert\u00edvel (ou seja, sobrejetiva e injetiva) \u00e9 chamada de permuta\u00e7\u00e3o<\/b> de $X$. A composi\u00e7\u00e3o de permuta\u00e7\u00f5es de $X$ \u00e9 uma permuta\u00e7\u00e3o de $X$. Uma transposi\u00e7\u00e3o de $X$ \u00e9 uma permuta\u00e7\u00e3o que troca $i,j\\in X$ distintos e deixa os demais elementos de $X$ fixados. Quando $X$ \u00e9 finito, qualquer permuta\u00e7\u00e3o de $X$ pode ser obtida como uma composi\u00e7\u00e3o de transposi\u00e7\u00f5es (qualquer configura\u00e7\u00e3o de um baralho pode ser atingida trocando duas cartas e repetindo tais trocas). \u00c9 um fato na teoria das permuta\u00e7\u00f5es que se $\\sigma:X\\to X$ \u00e9 uma permuta\u00e7\u00e3o e
    \n$$
    \n\\sigma=\\sigma_1\\circ\\cdots\\circ \\sigma_m
    \n$$
    \nonde os $\\sigma_i$ s\u00e3o transposi\u00e7\u00f5es, ent\u00e3o a paridade do n\u00famero $m$ depende apenas da permua\u00e7\u00e3o $\\sigma$. Se a paridade de $m$ \u00e9 par, ent\u00e3o a permuta\u00e7\u00e3o $\\sigma$ \u00e9 par<\/b>, caso contr\u00e1rio $\\sigma$ \u00e9 \u00edmpar<\/b>. Al\u00e9m disso, escrevemos
    \n$$
    \n(-1)^\\sigma=\\left\\{\\begin{array}{cc}
    \n1 & \\mbox{se $\\sigma$ for par;}\\\\ -1 & \\mbox{se $\\sigma$ for \u00edmpar.}\\end{array}\\right.
    \n$$<\/p>\n

    \nConsidere a seguinte permuta\u00e7\u00e3o $\\sigma$ do conjunto $\\{1,2,3,4\\}$:
    \n$$\\left [
    \n\\begin{array}{cccc}
    \n1 & 2 & 3 & 4\\\\
    \n2 & 3 & 4 & 1 \\end{array}\\right].
    \n$$
    \nSe $i,j\\in\\{1,2,3,4\\}$, ent\u00e3o denotamos por $(i,j)$ a transposi\u00e7\u00e3o que troca $i$ e $j$ e deixa os demais elementos fixados. Ent\u00e3o pode verificar com conta simples que
    \n$$
    \n\\sigma=(1,4)\\circ (1,3)\\circ(1,2)=(2,4)\\circ(1,2)\\circ (1,3)\\circ(1,4)\\circ(2,4).
    \n$$
    \nOu seja, a mesma permuta\u00e7\u00e3o $\\sigma$ pode ser escrita como uma composi\u00e7\u00e3o de $3$ transposi\u00e7\u00f5es, mas tamb\u00e9m como uma composi\u00e7\u00e3o de $5$ transposi\u00e7\u00f5es. Portanto que $(-1)^\\sigma=-1$.<\/div>\n
    \nSeja $V$ um espa\u00e7o vetorial de dimens\u00e3o $n$ com base $B=\\{b_1,\\ldots,b_n\\}$ e $f:V^k\\to W$ uma aplica\u00e7\u00e3o $k$-linear alternada.<\/p>\n
      \n
    1. Se $v_1,\\ldots,v_k\\in V$ e $\\sigma$ \u00e9 uma permuta\u00e7\u00e3o do conjunto $\\{1,\\ldots,k\\}$, ent\u00e3o
      \n$$
      \nf(v_{\\sigma(1)},\\ldots,v_{\\sigma(k)})=(-1)^\\sigma f(v_1,\\ldots,v_k).
      \n$$<\/li>\n
    2. $f$ est\u00e1 determinada pelos valores $f(b_{i_1},\\ldots,b_{i_k})$ com $i_1<\\cdots<i_k$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
      \n1. Se $\\sigma$ \u00e9 a composi\u00e7\u00e3o de $m$ transposi\u00e7\u00f5es, ent\u00e3o a permuta\u00e7\u00e3o $v_{\\sigma(1)},\\ldots,v_{\\sigma(k)}$ de vetores pode ser obtida da configura\u00e7\u00e3o original $v_1,\\ldots,v_k$ aplicando as $k$ transposi\u00e7\u00f5es, cada uma depois a outra. Cada transposi\u00e7\u00e3o multiplica o valor de $f$ por $-1$, logo depois de aplicar $m$ transposi\u00e7\u00f5es, o valor original $f(v_1,\\ldots,v_k)$ ser\u00e1 multiplicado por $(-1)^m=(-1)^\\sigma$.<\/p>\n

      2. J\u00e1 demonstramos que $f$ est\u00e1 determinado pelos valores $f(b_{i_1},\\ldots,b_{i_k})$ com $i_j\\in\\{1,\\ldots,n\\}$. Note que se $i_j=i_l$ com $j\\neq l$, ent\u00e3o $f(b_{i_1},\\ldots,b_{i_k})=0$. Logo pode-se dizer que $f$ est\u00e1 determinado pelos valores $f(b_{i_1},\\ldots,b_{i_k})$ onde os $i_j$ s\u00e3o distintos. Existe uma \u00fanica permuta\u00e7\u00e3o $\\sigma$ de $\\{1,\\ldots,k\\}$ tal que $i_{\\sigma(1)}< i_{\\sigma(2)}< \\cdots <i_{\\sigma(k)}$. Pelo item 1., temos que
      \n$$
      \n(-1)^\\sigma f(b_{i_1},\\ldots,b_{i_k})=f(b_{i_{\\sigma(1)}},\\ldots,b_{i_{\\sigma(k)}})
      \n$$<\/p>\n<\/div>\n

      \nDetermine a dimens\u00e3o de $S^k(V,W)$ e $A^k(V,W)$ onde $\\dim V=m$ e $\\dim W=n$.<\/div>\n
      \nSeja $V$ um espa\u00e7o vetorial sobre $\\F$ de dimens\u00e3o $n$ com base $\\{b_1,\\ldots,b_n\\}$. Assuma que $\\alpha\\in\\F$. Ent\u00e3o existe uma \u00fanica forma $n$-linear $f:V^n\\to \\F$ tal que $f(b_1,\\ldots,b_n)=\\alpha$. Consequentemente $\\dim A^n(V)=1$.<\/div>\n
      \nExiste uma \u00fanica forma $n$-linear $f:(\\F^n)^n\\to \\F$ tal que $f(e_1,\\ldots,e_n)=1$. Se $a_i=\\sum_j a_{i,j} b_j\\in V$, ent\u00e3o
      \n$$
      \nf(a_1,\\ldots,a_n)=\\sum_{\\sigma} (-1)^\\sigma a_{1,\\sigma(1)}\\cdots a_{n,\\sigma(n)}
      \n$$
      \nonde a soma est\u00e1 tomada sobre o conjunto das permuta\u00e7\u00f5es do conjunto $\\{1,\\ldots,n\\}$. Em outras pal\u00e1vras,
      \n$$
      \nf(a_1,\\ldots,a_n)=\\det A
      \n$$
      \nonde $A$ \u00e9 a matriz com linhas $a_1,\\ldots,a_n$.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

      Sejam $V$ e $W$ espa\u00e7os vetoriais sobre $\\F$, $k\\geq 1$, e considere o produto cartesiano $V^k=V\\times \\cdots\\times V$ de $k$ c\u00f3pias de $V$. Dizemos que uma aplica\u00e7\u00e3o $f:V^k\\to W$ \u00e9 $k$-linear se ela \u00e9 linear em todas as vari\u00e1veis. Em outras pal\u00e1vras, $$ f(v_1,\\ldots,\\alpha v_i+\\beta w,\\ldots v_k)=\\alpha f(v_1,\\ldots,v_i,\\ldots v_k)+\\beta f(v_1,\\ldots,w,\\ldots v_k) $$ vale para todo … Continue reading Formas $k$-lineares e o determinante<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2176"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2176"}],"version-history":[{"count":7,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2176\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2186,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2176\/revisions\/2186"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2176"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}