{"id":2147,"date":"2023-03-26T20:57:39","date_gmt":"2023-03-26T23:57:39","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2147"},"modified":"2023-03-27T09:47:57","modified_gmt":"2023-03-27T12:47:57","slug":"espaco-dual","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/espaco-dual\/","title":{"rendered":"Espa\u00e7o dual"},"content":{"rendered":"
\n
\nSe $V$ \u00e9 um $\\F$-espa\u00e7o vetorial, ent\u00e3o $V^*=\\mbox{Hom}(V,\\F)$ \u00e9 dito espa\u00e7o dual<\/b> de $V$. Os elementos de $V^*$ s\u00e3o chamados de formas lineares<\/b> ou funcionais lineares<\/b> de $V$.<\/div>\n

Se $\\dim V=k$ \u00e9 finita, ent\u00e3o $\\dim V^*=\\dim V=k$.<\/p>\n

Seja $B=\\{b_i\\mid i\\in I\\}$ uma base de $V$. Para $i\\in I$, defina
\n$$
\nb_i^*\\in V^*,\\quad b_i^*(b_j)=\\delta_{i,j}=\\left\\{\\begin{array}{cc} 1 & \\mbox{se $i=j$}\\\\
\n0 & \\mbox{se $i\\neq j$}\\end{array}\\right.
\n$$<\/p>\n

\nO conjunto $B^*=\\{b_i^*\\mid i\\in I\\}$ \u00e9 L.I. em $V^*$. Al\u00e9m disso, se $\\dim V$ \u00e9 finita, ent\u00e3o $B^*$ \u00e9 base de $V^*$.<\/div>\n
\nAssuma que uma combina\u00e7\u00e3o linear
\n$$
\n\\alpha_1 b_{i_1}^*+\\cdots+\\alpha_m b_{i_m}^*=0_{V^*}.
\n$$
\nDenote o lado esquerdo da equa\u00e7\u00e3o anterior por $\\varphi$. Seja $j\\in\\{1,\\ldots,m\\}$ e calculemos que
\n\\begin{align*}
\n0&=\\varphi(b_{i_j})=(\\alpha_1 b_{i_1}^*+\\cdots+\\alpha_m b_{i_m}^*)(b_{i_j})\\\\&=
\n\\alpha_1 b_{i_1}^*(b_{i_j})+\\cdots+\\alpha_jb_{i_j}^*(b_{i_j})+\\cdots+\\alpha_m b_{i_m}^*(b_{i_j})\\\\&=\\alpha_{i_j}.
\n\\end{align*}
\nEnt\u00e3o $\\alpha_{i_j}=0$ para todo $j$. Ou seja, $B^*$ \u00e9 L.I.<\/p>\n

Se $\\dim V$ \u00e9 finita, ent\u00e3o $\\dim V=\\dim V^*$ e assim $B^*$ (sendo um conjunto L.I. com cardinalidade $\\dim V^*$) \u00e9 base de $B^*$.<\/p>\n<\/div>\n

Quando $\\dim V$ for finita, a base $B^*$ \u00e9 chamada de base dual<\/b> de $B$.
\nNote que se $\\dim V$ \u00e9 infinita, ent\u00e3o $B^*$ n\u00e3o \u00e9 conjunto gerador, pois a funcional $\\varphi\\in V^*$ que leva $\\varphi(b_i)=1$ para todo $i$ n\u00e3o pertence ao subespa\u00e7o $\\langle B^*\\rangle$.<\/p>\n

Sejam $V$ e $W$ $\\F$-espa\u00e7os vetoriais, e seja $f\\in\\mbox{Hom}(V,W)$. Definimos o dual $f^*\\in \\mbox{Hom}(W^*,V^*)$ com a regra
\n$$
\nf^*(\\varphi)=\\varphi\\circ f.
\n$$
\nUsando diagramas
\n$$
\n\\begin{array}{cc}
\nW & \\stackrel{\\varphi}{\\longrightarrow} & \\F\\\\
\nf\\uparrow & \\nearrow \\\\
\nV &&
\n\\end{array}
\n$$
\no mapa $f^*(\\varphi)$ \u00e9 representado pela flecha diaginal. Note que o morfismo original est\u00e1 de $V$ para $W$, enquanto o morfismo dual est\u00e1 de $W^*$ para $V^*$.<\/p>\n

\nSeja $f:V\\to W$ uma transforma\u00e7\u00e3o linear entre $\\F$-espa\u00e7os de dimens\u00e3o finita. Sejam $B$ e $C$ bases de $V$ e $W$, respetivamente. Mostre que
\n$$
\n[f^*]^{C^*}_{B^*}=([f]^B_C)^t
\n$$
\nonde $(-)^t$ significa a matriz transposta.<\/div>\n

Se $\\F$ \u00e9 um corpo, a categoria<\/a> dos $\\F$-espa\u00e7os vetoriais consiste<\/p>\n