{"id":2136,"date":"2023-03-23T09:47:54","date_gmt":"2023-03-23T12:47:54","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2136"},"modified":"2023-03-29T08:41:05","modified_gmt":"2023-03-29T11:41:05","slug":"transformacoes-lineares-e-matrizes","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/transformacoes-lineares-e-matrizes\/","title":{"rendered":"Transforma\u00e7\u00f5es lineares e matrizes"},"content":{"rendered":"
\n

Nesta p\u00e1gina todo espa\u00e7o \u00e9 de dimens\u00e3o finita.<\/p>\n

Sejam $V$ e $W$ espa\u00e7os de dimens\u00e3o finita sobre um corpo $\\F$ e seja $f:V\\to W$ linear. Escolhamos bases $B$ e $C$ em $V$ e $W$, respetivamente, e escreva
\n\\begin{align*}
\nB&=\\{b_1,\\ldots,b_k\\}\\\\
\nC&=\\{c_1,\\ldots,c_m\\}.
\n\\end{align*}
\nEm particular, $\\dim V=k$ e $\\dim W =m$. Considere para $b_i\\in B$ os vetores das coordenadas $[b_i]_B$ e $[f(b_i)]_C$ nas bases $B$ e $C$, respetivamente. Temos que $[b_i]_B\\in\\F^k$, enquanto $[f(b_i)]_C\\in\\F^m$ e consideramos os mesmos como vetores colunas. Usando estes vetores podemos montar uma matriz
\n$$
\n[f]_C^B=\\left([f(b_1)]_C\\, |\\, [f(b_2)]_C\\, |\\, \\cdots\\, | \\,[f(b_k)]_C\\right).
\n$$
\nOu seja, a $i$-\u00e9sima coluna de $[f]_C^B$ \u00e9 a coluna $[f(b_i)]_C$. A matriz $[f]_C^B$ chama-se a matriz de $f$ relativa \u00e0s bases $B$ e $C$<\/b>.<\/p>\n

\nSe $v\\in V$, ent\u00e3o
\n$$
\n[f(v)]_C=[f]_C^B[v]_B.
\n$$<\/div>\n
\nNos dois lados da equa\u00e7\u00e3o temos que calcular a imagem de $v\\in V$ por uma transforma\u00e7\u00e3o linear $V\\to \\F^m$. No lado esquerdo temos que aplicar a composi\u00e7\u00e3o
\n$$
\nv\\mapsto f(v)\\mapsto [f(v)]_C
\n$$
\ne no lado direito temos
\n$$
\nv\\mapsto [v]_B\\mapsto [f]^B_C[v]_B.
\n$$
\nPrecisa-se provar que estas duas transforma\u00e7\u00f5es s\u00e3o iguais.
\nPara provar que as duas transforma\u00e7\u00f5es s\u00e3o iguais, \u00e9 suficente verificar que eles s\u00e3o iguais em uma base de $V$. Usando a base $B$, temos que
\n$$
\n[f(b_i)]_C=\\mbox{$i$-\u00e9sima coluna de $[f]_C^B$}.
\n$$
\nMas $[b_i]_B$ \u00e9 o vetor $e_i$ na base can\u00f4nica de $\\F^k$, ent\u00e3o $[f]_C^B[b_i]_B$ tamb\u00e9m \u00e9 apenas a $i$-\u00e9sima coluna de $[f]_C^B$. Logo as duas express\u00f5es na equa\u00e7\u00e3o do lema s\u00e3o iguais para todo $v\\in V$.<\/div>\n
\nSejam $V$, $U$, e $W$ espa\u00e7os vetoriais com bases $B$, $C$ e $D$ e sejam $f:V\\to U$ e $g:U\\to W$ transforma\u00e7\u00f5es lineares. Mostre que
\n$$
\n[g\\circ f]_D^B=[g]_D^C[f]_C^B.
\n$$
\nDeduza que se $f:V\\to U$ \u00e9 isomorfismo, ent\u00e3o
\n$$
\n[f^{-1}]_B^C=\\left([f]_C^B\\right)^{-1}.
\n$$<\/div>\n
\nLembre que para dois espa\u00e7os vetoriais $V,W$ sobre $\\F$, denotamos por $\\mbox{Hom}(V,W)$ o conjunto de transfora\u00e7\u00f5es lineares de $V$ para $W$. Note que $\\mbox{Hom}(V,W)$ \u00e9 um espa\u00e7o vetorial com as opera\u00e7\u00f5es
\n$$
\n(f+g)(v)=f(v)+g(v)\\quad\\mbox{e}\\quad (\\alpha f)(v)=\\alpha f(v)
\n$$
\npara todo $f,g\\in\\mbox{Hom}(V,W)$, $v\\in V$ e $\\alpha\\in \\F$.<\/p>\n

Assuma que $\\dim V=k$ e $\\dim W=m$ (finitas) e assuma que $B$ e $C$ s\u00e3o bases fixadas em $V$ e $W$, respetivamente. Ent\u00e3o a aplica\u00e7\u00e3o $f\\mapsto [f]_C^B$ pode ser vista como uma aplica\u00e7\u00e3o
\n$$
\n\\mbox{Hom}(V,W)\\to M_{m\\times k}(\\F).
\n$$
\nMostre que esta aplica\u00e7\u00e3o \u00e9 um isomorfismo de espa\u00e7os vetoriais.<\/p>\n<\/div>\n

Assuma que $V$ \u00e9 um espa\u00e7o com bases $B=\\{b_1,\\ldots,b_k\\}$ e $C=\\{c_1,\\ldots,c_k\\}$. A aplica\u00e7\u00e3o identidade $\\mbox{id}_V:V\\to V$ \u00e9 linear e assim, podemos consider a sua matriz $[\\mbox{id}_V]_C^B$. Pela defini\u00e7\u00e3o de $[\\mbox{id}_V]_C^B$, a $i$-\u00e9sima coluna de $[\\mbox{id}_V]_C^B$ \u00e9 o vetor $[b_i]_C$ e para $v\\in V$, temos que
\n$$
\n[v]_C=[\\mbox{id}_V]_C^B[v]_B.
\n$$
\nOu seja, a matriz $[\\mbox{id}_V]_C^B$ \u00e9 a matriz de mudan\u00e7a de base de $B$ para $C$.<\/p>\n

Uma transforma\u00e7\u00e3o linear $f:V\\to V$ chama-se endomorfismo<\/b> de $V$. Se temos um endomorfismo $f$ de $V$, ent\u00e3o normalmente consideramos a sua matriz $[f]_B^B$ tomando a mesma base de $V$ para o dom\u00ednio e para a codim\u00ednio. Quando temos duas bases $B$ e $C$ de $V$, precisaremos a rela\u00e7\u00e3o entre $[f]_B^B$ e $[f]_C^C$.<\/p>\n

\nSeja $f:V\\to V$ linear e sejam $B$ e $C$ bases de $V$. Ent\u00e3o
\n$$
\n[f]_C^C=[\\mbox{id}_V]_C^B[f]_B^B[\\mbox{id}_V]^C_B=[\\mbox{id}_V]_C^B[f]_B^B\\left([\\mbox{id}_V]_C^B\\right)^{-1}.
\n$$
\nOu seja, denotando por $X$ e $Y$ as matrizes de $f$ nas bases $B$ e $C$, respetivamente, e por $Q$ a matriz mudan\u00e7a de base de $B$ para $C$, temos que
\n$$
\nY=QXQ^{-1}.
\n$$<\/div>\n

Se $P$ e $Q$ s\u00e3o matrizes quadradas $n\\times n$ com coeficientes em um corpo $\\F$ e $Q$ \u00e9 ainda invert\u00edvel, ent\u00e3o a matriz $QPQ^{-1}$ \u00e9 chamada de conjugada<\/b> de $P$ por $Q$. O resultado anterior diz que as matrizes do mesmo endomorfismo $f:V\\to V$ em bases diferentes s\u00e3o conjugadas. A conjugada $QPQ^{-1}$ est\u00e1 frequentamente denotada por $P^Q$.<\/p>\n

Na \u00e1lgebra linear, n\u00f3s frequentamente enfrentamos o seguinte problema: dado um endomorfismo $f:V\\to V$, ache uma base de $V$ tal que a matriz $[f]_B^B$ est\u00e1 em uma forma simples (diagonal, triangular, etc). Denotando a matriz de $f$ em uma base $B$ qualquer por $X$, este problema \u00e9 equivalente a achar uma matriz $Q$ tal que a conjugada $X^Q$ est\u00e1 na forma desejada (diagonal, triangular, etc). Este problema \u00e9 importante nas aplica\u00e7\u00f5es computacionais, pois se $Y=X^Q$ \u00e9 diagonal ou triangular, calcular imagens por multiplica\u00e7\u00e3o matricial por $Y$ precisa de menos opera\u00e7\u00f5es que fazer o mesmo usando uma matriz $X$ gen\u00e9rico.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Nesta p\u00e1gina todo espa\u00e7o \u00e9 de dimens\u00e3o finita. Sejam $V$ e $W$ espa\u00e7os de dimens\u00e3o finita sobre um corpo $\\F$ e seja $f:V\\to W$ linear. Escolhamos bases $B$ e $C$ em $V$ e $W$, respetivamente, e escreva \\begin{align*} B&=\\{b_1,\\ldots,b_k\\}\\\\ C&=\\{c_1,\\ldots,c_m\\}. \\end{align*} Em particular, $\\dim V=k$ e $\\dim W =m$. Considere para $b_i\\in B$ os vetores … Continue reading Transforma\u00e7\u00f5es lineares e matrizes<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2136"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2136"}],"version-history":[{"count":6,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2136\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2174,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2136\/revisions\/2174"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2136"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}