{"id":2116,"date":"2023-03-19T15:55:47","date_gmt":"2023-03-19T18:55:47","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2116"},"modified":"2023-03-29T08:34:38","modified_gmt":"2023-03-29T11:34:38","slug":"isomorfismos","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/isomorfismos\/","title":{"rendered":"Isomorfismos"},"content":{"rendered":"
\nUma transforma\u00e7\u00e3o linear $f:U\\to V$ \u00e9 dito isomorfismo<\/b> se $f$ \u00e9 injetiva e sobrejetiva. Neste caso, podemos definir o inverso
\n$$
\nf^{-1}:V\\to U,\\quad f^{-1}(v)=u\\mbox{ se e somente se }f(u)=v.
\n$$<\/p>\n
\nSeja $f:U\\to V$ um isomorfismo. Mostre que $f^{-1}:V\\to U$ \u00e9 linear.<\/div>\n

Dizemos que $U$ e $V$ s\u00e3o isomorfos se existir um isomorfismo $f:U\\to V$. Neste caso escrevemos que $U\\cong V$. Note que espa\u00e7os isomorfos s\u00e3o definidos sobre o mesmo corpo.<\/p>\n

\u00c9 f\u00e1cil verificar que a aplica\u00e7\u00e3o identidade $\\mbox{id}_V:V\\to V$ \u00e9 um isomorfismo para qualquer espa\u00e7o $V$ e que a composi\u00e7\u00e3o de isomorfismos \u00e9 isomorfismo. Portanto, temos, para quaisquer espa\u00e7os vetoriais $U$, $V$, $W$, que<\/p>\n

    \n
  1. $V\\cong V$;<\/li>\n
  2. se $V\\cong U$ ent\u00e3o $U\\cong V$;<\/li>\n
  3. se $U\\cong V$ e $V\\cong W$, ent\u00e3o $U\\cong W$.<\/li>\n<\/ol>\n

    Espa\u00e7os isomorfos compartilhas as propriedades importantes. Por exemplo, se $f:V\\to W$ \u00e9 um isomorfismo e $X$ \u00e9 uma base de $V$, ent\u00e3o $f(X)=\\{f(x)\\mid x\\in X\\}$ \u00e9 base de $W$. Em particular, $\\dim V=\\dim W$.<\/p>\n

    \nSeja $V$ um espa\u00e7o de dimens\u00e3o finita sobre um corpo $\\F$. Assuma que $\\dim V=n$. Seja $B=\\{b_1,\\ldots,b_n\\}$ uma base de $V$. Se $v\\in V$, ent\u00e3o $v$ pode ser escrito unicamente na forma
    \n$$
    \nv=\\alpha_1 b_1+\\cdots+\\alpha_n b_n.
    \n$$
    \nO vetor $(\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_n)$ \u00e9 chamado de vetor das coordenadas de $v$ na base $B$<\/b> e \u00e9 denotado por $[v]_B$ ou mais simplesmente $v_B$. \u00c9 f\u00e1cil verificar que a transforma\u00e7\u00e3o $f:V\\to \\F^n$ definido como
    \n$$
    \nf(v)=[v]_B\\quad\\mbox{para}\\quad v\\in V
    \n$$
    \n\u00e9 um isomorfismo entre $V$ e $\\F^n$.<\/div>\n
    \nSe $V$ \u00e9 um $\\F$-espa\u00e7o vetorial de dimens\u00e3o $n$, ent\u00e3o $V\\cong \\F^n$. Mais geralmente, se $U$ e $V$ s\u00e3o $\\F$-espa\u00e7os vetoriais de dimens\u00e3o finita tais que $\\dim U=\\dim V$, ent\u00e3o $U\\cong V$.<\/div>\n
    (O Teorema de N\u00facleo e Imagem)
    \nSeja $f:U\\to V$ uma transforma\u00e7\u00e3o linear. Defina $\\bar f:U\/\\ker f\\to \\mbox{Im}\\,f$ com a regra
    \n$$
    \n\\bar f(u+\\ker f)=f(u)\\quad\\mbox{para todo}\\quad u\\in U.
    \n$$
    \nEnt\u00e3o $f$ \u00e9 um isomorfismo bem definido e $U\/\\ker f\\cong \\mbox{Im}\\,f$.<\/div>\n
    \nPrimeiro verificamos que $\\bar f$ est\u00e1 bem definido. Sejam $u_1,u_2\\in U$ tais que $u_1+\\ker f=u_2+\\ker f$; ou seja, $u_1-u_2\\in \\ker f$. Logo
    \n$$
    \nf(u_1)-f(u_2)=f(u_1-u_2)=0
    \n$$
    \ne assim $f(u_1)=f(u_2)$. Ent\u00e3o $\\bar f(u+\\ker f)$ n\u00e3o depende da representante da classe lateral $u+\\ker f$. Note tamb\u00e9m que $\\bar f(u+\\ker f)=f(u)\\in \\mbox{Im}\\,f$ para todo $u\\in U$. Portanto a aplica\u00e7\u00e3o $\\bar f:U\/\\ker f\\to \\mbox{Im}\\,f$ est\u00e1 bem definida.<\/p>\n

    \u00c9 f\u00e1cil verificar que $\\bar f$ \u00e9 linear. Verifiquemos que $\\bar f$ \u00e9 injetiva. Precisa provar que $\\ker \\bar f=0$. Seja $u+\\ker f\\in \\ker\\bar f$. Neste caso
    \n$$
    \n0=\\bar f(u+\\ker f)=f(u);
    \n$$
    \nou seja $u\\in \\ker f$ e $u+\\ker f=\\ker f=0_{U\/\\ker f}$. Segeu que $\\bar f$ \u00e9 injetiva.<\/p>\n

    Ora se $v\\in \\mbox{Im}\\,f$, ent\u00e3o $f(u)=v$ com algum $u\\in U$ e segeu que $\\bar f(u+\\ker f)=v$. Logo $\\bar f$ \u00e9 sobrejetiva.<\/p>\n

    Obtivemos que $\\bar f:U\/\\ker f\\to \\mbox{Im}\\,f$ \u00e9 um isomorfismo e assim $U\/\\ker f\\cong \\mbox{Im}\\,f$.<\/p>\n<\/div>\n

    \nSe $f:U\\to V$ \u00e9 uma transforma\u00e7\u00e3o linear entre espa\u00e7os vetoriais, ent\u00e3o
    \n$$
    \n\\dim U=\\dim \\ker f+\\dim \\mbox{Im}\\,f.
    \n$$
    \nSe $U$ e $V$ t\u00eam dimens\u00e3o finita, ent\u00e3o
    \n$$
    \n\\dim \\mbox{Im}\\,f=\\dim U-\\dim\\ker f.
    \n$$<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Uma transforma\u00e7\u00e3o linear $f:U\\to V$ \u00e9 dito isomorfismo se $f$ \u00e9 injetiva e sobrejetiva. Neste caso, podemos definir o inverso $$ f^{-1}:V\\to U,\\quad f^{-1}(v)=u\\mbox{ se e somente se }f(u)=v. $$ Seja $f:U\\to V$ um isomorfismo. Mostre que $f^{-1}:V\\to U$ \u00e9 linear. Dizemos que $U$ e $V$ s\u00e3o isomorfos se existir um isomorfismo $f:U\\to V$. Neste … Continue reading Isomorfismos<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2116"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2116"}],"version-history":[{"count":4,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2116\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2172,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2116\/revisions\/2172"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2116"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}