{"id":2104,"date":"2023-03-19T14:32:37","date_gmt":"2023-03-19T17:32:37","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2104"},"modified":"2023-03-21T21:24:06","modified_gmt":"2023-03-22T00:24:06","slug":"transformacoes-lineares","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/transformacoes-lineares\/","title":{"rendered":"Transforma\u00e7\u00f5es lineares"},"content":{"rendered":"
\n
\nSejam $U$ e $V$ espa\u00e7os vetoriais sobre o mesmo corpo $\\F$. Uma aplica\u00e7\u00e3o $f:U\\to V$ \u00e9 dito linear<\/b> se
\n$$
\nf(u+v)=f(u)+f(v)\\quad \\mbox{e}\\quad f(\\alpha u)=\\alpha f(u)
\n$$
\nvalem para todo $u,v\\in U$ e $\\alpha\\in \\F$.<\/div>\n

Uma condi\u00e7\u00e3o equivalente \u00e0 condi\u00e7\u00e3o na defini\u00e7\u00e3o anterior \u00e9 que
\n$$
\nf(\\alpha u+\\beta v)=\\alpha f(u)+\\beta f(v)
\n$$
\nvale para todo $u,v\\in V$ e $\\alpha,\\beta\\in\\F$.
\nTamb\u00e9m segue diretamente da defini\u00e7\u00e3o que se $u_1,\\ldots,u_k\\in U$ e $\\alpha_1,\\ldots,\\alpha_k\\in\\F$, ent\u00e3o
\n$$
\nf(\\alpha_1u_1+\\cdots+\\alpha_ku_k)=\\alpha_1f(u_1)+\\cdots+\\alpha_kf(u_k);
\n$$
\nou seja, uma transforma\u00e7\u00e3o linear preserva combina\u00e7\u00f5es lineares.<\/p>\n

\nMostre que $f(0_U)=0_V$ para qualquer transforma\u00e7\u00e3o linear $f:U\\to V$.<\/div>\n
\nExemplos s\u00e3o dados na aula, e nas notas do John e Rodney.<\/div>\n
\nSeja $U$ um $\\F$-espa\u00e7o vetorial com base $X=\\{x_i\\mid i \\in I\\}$. Seja $V$ um outro $\\F$-espa\u00e7o e seja $f_0:X\\to V$ uma aplica\u00e7\u00e3o qualquer. Ent\u00e3o existe uma \u00fanica transforma\u00e7\u00e3o linear $f:U\\to V$ tal que $f|_X=f_0$.<\/div>\n
\nSe $u\\in U$, ent\u00e3o $u$ pode ser escrito unicamente na forma
\n$$
\nu=\\alpha_1x_1+\\cdots+\\alpha_k x_k
\n$$
\ncom $\\alpha_i\\in \\F$ e $x_i\\in X$. Defina
\n$$
\nf(u)=\\alpha_1f_0(x_1)+\\cdots+\\alpha_k f_0(x_k).
\n$$
\nO fato que $f$ est\u00e1 bem definida, ela \u00e9 linear e que ela \u00e9 \u00fanica \u00e9 exerc\u00edcio para o leitor.<\/div>\n

A rela\u00e7\u00e3o entre as aplica\u00e7\u00f5es no lema anterior pode ser expressa na forma de um diagrama comutativo:
\n\\begin{array}{ccc}
\nU & \\stackrel{f}{\\longrightarrow} & V\\\\
\ni\\uparrow &\\nearrow f_0&\\\\
\nX & &
\n\\end{array}
\nA aplica\u00e7\u00e3o $i:X\\to U$ \u00e9 a inclus\u00e3o $i(x)=x$ para todo $x\\in X$. O resultado diz que para todo $f_0:X\\to V$ existe unicamente $f:U\\to V$. Denotando por $\\mbox{Hom}(U,V)$ o conjunto de aplica\u00e7\u00f5es lineares de $U$ para $V$, temos que a correspon\u00eancia $f_0\\mapsto f$ determina uma bije\u00e7\u00e3o
\n$$
\n\\mbox{Func}(X,V)\\to \\mbox{Hom}(U,V).
\n$$<\/p>\n

\nSeja $f:U\\to V$ uma transforma\u00e7\u00e3o linear. Ent\u00e3o
\n$$
\n\\mbox{Im}\\,f=\\{f(u)\\mid u \\in U\\}\\quad\\mbox{e}\\quad \\ker f=\\{u\\in U\\mid f(u)=0\\}.
\n$$
\nO conjunto $\\mbox{Im}\\,f$ chama-se a imagem<\/b>, enquanto $\\ker f$ chama-se o n\u00facleo<\/b> de $f$.<\/div>\n
\nSe $f:U\\to V$ \u00e9 uma transforma\u00e7\u00e3o linear, ent\u00e3o $\\mbox{Im}\\,f\\leq V$ e $\\ker f\\leq U$.<\/div>\n

Lembre que uma fun\u00e7\u00e3o $\\varphi:X\\to Y$ \u00e9 dita injetiva<\/b> se $\\varphi(x_1)=\\varphi(x_2)$ implica que $x_1=x_2$ para todo $x_1,x_2\\in X$.<\/p>\n

\nUma transforma\u00e7\u00e3o linear $f:U\\to V$ \u00e9 injetiva se e somente se $\\ker f=\\{0\\}$.<\/div>\n
\nAssuma que $f$ \u00e9 injetiva e seja $u\\in \\ker f$. Ent\u00e3o $f(u)=f(0)=0$. Mas a defini\u00e7\u00e3o da injetividade implica neste caso que $u=0$. Logo $\\ker f=\\{0\\}$.<\/p>\n

Assuma agora que $\\ker f=\\{0\\}$ e sejam $u_1,u_2\\in U$ tal que $f(u_1)=f(u_2)$. Neste caso,
\n$$
\n0=f(u_1)-f(u_2)=f(u_1+u_2);
\n$$
\nou seja, $u_1-u_2\\in\\ker f$. Como $\\ker f$ cont\u00e9m apenas a vetor nulo, tem~se que $u_1-u_2=0$; ou seja $u_1=u_2$. Portanto, $f$ \u00e9 injetiva.<\/p>\n<\/div>\n

\nSejam $f:U\\to V$ e $g:V\\to W$ transforma\u00e7\u00f5es lineares. Mostre que $g\\circ f:U\\to W$ \u00e9 linear.<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Sejam $U$ e $V$ espa\u00e7os vetoriais sobre o mesmo corpo $\\F$. Uma aplica\u00e7\u00e3o $f:U\\to V$ \u00e9 dito linear se $$ f(u+v)=f(u)+f(v)\\quad \\mbox{e}\\quad f(\\alpha u)=\\alpha f(u) $$ valem para todo $u,v\\in U$ e $\\alpha\\in \\F$. Uma condi\u00e7\u00e3o equivalente \u00e0 condi\u00e7\u00e3o na defini\u00e7\u00e3o anterior \u00e9 que $$ f(\\alpha u+\\beta v)=\\alpha f(u)+\\beta f(v) $$ vale para todo $u,v\\in … Continue reading Transforma\u00e7\u00f5es lineares<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2104"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2104"}],"version-history":[{"count":12,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2104\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2133,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2104\/revisions\/2133"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2104"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}