{"id":2091,"date":"2023-03-17T07:39:19","date_gmt":"2023-03-17T10:39:19","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2091"},"modified":"2023-03-19T14:31:33","modified_gmt":"2023-03-19T17:31:33","slug":"espaco-quociente","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/espaco-quociente\/","title":{"rendered":"Espa\u00e7o quociente"},"content":{"rendered":"
\nSeja $V$ um espa\u00e7o vetorial e $U\\leq V$. Para $v\\in V$ definimos
\n$$
\nv+U=\\{v+u\\mid u \\in U\\}.
\n$$
\nClaramente $v+U\\subseteq V$ e o conjunto $v+U$ chama-se uma classe lateral<\/b> em $V$.<\/p>\n
\nAs seguintes s\u00e3o equivalentes para $v_1,v_2\\in V$:<\/p>\n
    \n
  1. $v_1+U=v_2+U$<\/li>\n
  2. $v_1-v_2\\in U$<\/li>\n<\/ol>\n

    Em particular, $v+U=0+U$ se e somente se $v\\in U$.<\/p>\n<\/div>\n

    \nExerc\u00edcio.<\/div>\n
    \nSeja $V$ um espa\u00e7o vetorial sobre um corpo $\\F$ e $U\\leq V$. Definimos os espa\u00e7o quociente $V\/U$ como o conjunto
    \n$$
    \nV\/U=\\{v+U\\mid v\\in V\\}
    \n$$
    \ncom as opera\u00e7\u00f5es
    \n$$
    \n(v+U)+(w+U)=(v+w)+U\\quad\\mbox{e}\\quad\\alpha(v+U)=(\\alpha v)+U
    \n$$
    \npara todo $v,w\\in V$ e $\\alpha\\in \\F$.<\/div>\n
    \nAs opera\u00e7\u00f5es em $V\/U$ est\u00e3o bem definidas e o conjunto $V\/U$ com estas opera\u00e7\u00f5es \u00e9 um $\\F$-espa\u00e7o vetorial.<\/div>\n
    \nO leitor pode verificar a maioria destas afirma\u00e7\u00f5es. Aqui s\u00f3 comentamos que $0_{V\/U}=0_V+U$ e $-(v+U)=(-v)+U$.<\/div>\n
    \nSeja $V$ um espa\u00e7o vetorial, $U\\leq V$, e seja $X$ uma base de $U$. Assuma que $X\\cup Y$ \u00e9 uma base de $V$ com $X\\cap Y=\\emptyset$. Ent\u00e3o
    \n$$
    \n\\bar Y=\\{y+U\\mid y\\in Y\\}
    \n$$
    \n\u00e9 uma base de $V\/U$. Em particular, se $\\dim V\/U=\\dim V-\\dim U$.<\/div>\n
    \nSeja $v\\in V$ arbitr\u00e1rio. Ent\u00e3o
    \n$$
    \nv=\\sum_{i=1}^k \\alpha_ix_i+\\sum_{i=1}^m\\beta_i y_i
    \n$$
    \ncom $\\alpha_i,\\beta_i\\in \\F$, $x_i\\in X$, $y_i\\in Y$. Ora, como $x_i\\in U$, segue que
    \n\\begin{align*}
    \nv+U&=\\left(\\sum_{i=1}^k \\alpha_ix_i+\\sum_{i=1}^m\\beta_i y_i\\right)+U\\\\
    \n&=\\left(\\sum_{i=1}^k \\alpha_ix_i+U\\right)+\\left(\\sum_{i=1}^m\\beta_i y_i +U\\right)\\\\
    \n&=\\sum_{i=1}^m\\beta_i y_i+U=\\sum_{i=1}^m\\beta_i(y_i+U)
    \n\\end{align*}
    \nPortanto $\\bar Y$ \u00e9 um conjunto gerador de $V\/U$.<\/p>\n

    Assuma que
    \n$$
    \n0=\\sum_{i=1}^m \\alpha_i (y_i+U)=\\left(\\sum_{i=1}^m \\alpha_i y_i\\right)+U.
    \n$$
    \n\u00e9 uma combina\u00e7\u00e3o linear do vetor nulo de $V\/U$ com $\\alpha_i\\in\\F$ e $y_i\\in Y$ (distintos). Segue que
    \n$$
    \n\\sum_{i=1}^m \\alpha_i y_i\\in U
    \n$$
    \ne assim
    \n$$
    \n\\sum_{i=1}^m \\alpha_i y_i=\\sum_{i=1}^k\\beta_i x_i
    \n$$
    \ncom $\\beta_i\\in \\F$ e $x_i\\in X$ (distintos).
    \nOu seja
    \n$$
    \n\\sum_{i=1}^m \\alpha_i y_i-\\sum_{i=1}^k\\beta_i x_i=0.
    \n$$
    \nMas como os $x_i$ e os $y_j$ s\u00e3o L.I., temos que a combina\u00e7\u00e3o linear na linha anterior \u00e9 trivial. Logo $\\alpha_i=0$ e $\\beta_i=0$ para todo $i$. Isso implica que $\\bar Y$ \u00e9 L.I. e tamb\u00e9m que $\\bar Y$ \u00e9 base de $V\/U$.<\/p>\n<\/div>\n

    \nSeja $V$ um espa\u00e7o vetorial e $U\\leq V$. Ent\u00e3o
    \n$$
    \n\\dim U+\\dim V\/U=\\dim V.
    \n$$
    \nEm particular, se $V$ tem dimens\u00e3o finita,
    \n$$
    \n\\dim V\/U=\\dim V-\\dim U.
    \n$$<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Seja $V$ um espa\u00e7o vetorial e $U\\leq V$. Para $v\\in V$ definimos $$ v+U=\\{v+u\\mid u \\in U\\}. $$ Claramente $v+U\\subseteq V$ e o conjunto $v+U$ chama-se uma classe lateral em $V$. As seguintes s\u00e3o equivalentes para $v_1,v_2\\in V$: $v_1+U=v_2+U$ $v_1-v_2\\in U$ Em particular, $v+U=0+U$ se e somente se $v\\in U$. Exerc\u00edcio. Seja $V$ um espa\u00e7o … Continue reading Espa\u00e7o quociente<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2091"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2091"}],"version-history":[{"count":7,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2091\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2103,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2091\/revisions\/2103"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2091"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}