{"id":2088,"date":"2023-03-17T07:35:04","date_gmt":"2023-03-17T10:35:04","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2088"},"modified":"2023-03-17T07:35:22","modified_gmt":"2023-03-17T10:35:22","slug":"soma-direta","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/soma-direta\/","title":{"rendered":"Soma direta"},"content":{"rendered":"
\n
\nSeja $V$ um espa\u00e7o vetorial de dimens\u00e3o finita e sejam $U_1,U_2\\leq V$. Ent\u00e3o
\n$$
\n\\dim (U_1+U_2)=\\dim U_1+\\dim U_2-\\dim(U_1\\cap U_2).
\n$$<\/div>\n
Dada na aula, veja tamb\u00e9m as notas do Rodney e John.<\/div>\n
\nSejam $U_1,U_2\\in V$. Dizemos que $V$ \u00e9 soma direta<\/b> de $U_1$ e $U_2$ se
\n$$
\nV=U_1+U_2\\quad\\mbox{e}\\quad U_1\\cap U_2=\\{0\\}.
\n$$
\nNeste caso, escrevemos $V=U_1\\oplus U_2$.<\/div>\n

\u00c9 imediato que
\n$$
\n\\dim(U_1\\oplus U_2)=\\dim U_1+\\dim U_2.
\n$$<\/p>\n

\nNestes exemplos, $F$ \u00e9 um corpo arbitr\u00e1rio.<\/p>\n

Considere $V=\\F^2$ com um corpo $\\F$. Se $U_1=\\{(\\alpha,0)\\mid\\alpha\\in\\F\\}$ e $U_2=\\{(0,\\alpha)\\mid \\alpha\\in\\F\\}$. ent\u00e3o $V=\\F^2=U_1\\oplus U_2$.<\/p>\n

Seja $V=\\F[x]$ e defina
\n$$
\nU_1=\\left\\{\\sum_{i=1}^n\\alpha_ix^{2i}\\mid \\alpha_i\\in\\F\\mbox{ e }n\\geq 0\\right\\}
\n$$
\ne
\n$$
\nU_2=\\left\\{\\sum_{i=1}^n\\alpha_ix^{2i+1}\\mid \\alpha_i\\in\\F\\mbox{ e }n\\geq 0\\right\\}.
\n$$
\nEnt\u00e3o $\\F[x]=U_1\\oplus U_2$.<\/p>\n

Seja $\\F$ um corpo de carater\u00edstica diferente de $2$ (por exemplo, $\\F=\\R$). Seja $V=\\mbox{Func}(\\F,\\F)$ e defina
\n$$
\nU_1=\\{f\\in V\\mid f(-x)=f(x)\\mbox{ para todo }x\\in \\F\\}
\n$$
\ne
\n$$
\nU_2=\\{f\\in V\\mid f(-x)=-f(x)\\mbox{ para todo }x\\in \\F\\}.
\n$$
\nOu seja, $U_1$ \u00e9 o conjunto de fun\u00e7\u00f5es pares e $U_2$ \u00e9 o conjunto de fun\u00e7\u00f5es \u00edmpares. Afirmamos que $V=U_1\\oplus U_2$. Primeiro, se $f\\in V$ \u00e9 arbitr\u00e1rio, ent\u00e3o $f=f_1+f_2$ onde
\n$$
\nf_1(x)=\\frac{f(x)+f(-x)}2\\quad\\mbox{e}\\quad f_2(x)=\\frac{f(x)-f(-x)}2.
\n$$
\nComo $f_1\\in U_1$ e $f_2=U_2$, temos que $V=U_1+U_2$. Al\u00e9m disso, se $f$ \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o par e impar no mesmo tempo, ent\u00e3o $f=0$ e
\n$U_1\\cap U_2=\\{0\\}$. Logo $V=U_1\\oplus U_2$.<\/p>\n<\/div>\n

\nSejam $U_1,U_2\\leq V$. Ent\u00e3o $V=U_1\\oplus U_2$ se e somente se todo elemento $v\\in V$ pode ser escrito unicamente como
\n$v=u_1+u_2$ como $u_i\\in U_i$.<\/div>\n
\nDada na aula, veja tamb\u00e9m as notas.<\/div>\n
\nSeja $V\\neq 0$ um espa\u00e7o vetorial e $U\\leq V$. Um subespa\u00e7o $W\\leq V$ \u00e9 dito complemento<\/b> de $U$ em $V$ se $V=U\\oplus W$.<\/div>\n
\nSe $U\\leq V$ como na defini\u00e7\u00e3o anterior, existe complemento $W$ de $U$ em $V$.<\/div>\n
\nSeja $X\\subseteq U$ uma base de $U$ e seja $Y\\subseteq V$ disjunto de $X$ tal que $X\\cup Y$ \u00e9 base de $V$. Ent\u00e3o pode tomar $W=\\langle Y\\rangle$.<\/div>\n
\nSeja $V$ um espa\u00e7o vetorial e sejam $U_1,\\ldots,U_k\\leq V$. Dizemos que $V=U_1\\oplus\\cdots \\oplus U_k$ se $V=U_1+\\cdots+U_k$ e
\n$$
\nU_i\\cap\\left(U_1+\\cdots+U_{i-1}+U_{i+1}+\\cdot+U_k\\right)=\\{0\\}
\n$$
\npara todo $i\\in\\{1,\\ldots,k\\}$<\/div>\n
\nSe $U_1,\\ldots,U_k\\leq V$, ent\u00e3o $V=U_1\\oplus\\cdots\\oplus U_k$ se e somente se todo elemento $v\\in V$ pode ser escrito unicamente como $v=u_1+\\cdots+u_k$ com $u_i\\in U_i$. Neste caso temos ainda que $\\dim V=\\sum_{i}\\dim U_i$.<\/div>\n

A constru\u00e7\u00e3o de soma direta em cima frequentamente chama-se soma direta interna<\/b>, pois a soma acontece dentro de um espa\u00e7o $V$. Existe uma outra constru\u00e7\u00e3o chamada de soma direta externa<\/b> definida na maneira seguinte.<\/p>\n

\nSejam $U$ e $V$ espa\u00e7os vetoriais sobre um corpo $\\F$. A soma direta (externa) $U\\oplus V$ de $U$ e $V$ est\u00e1 definida como o conjunto
\n$$
\nU\\times V=\\{(u,v)\\mid u\\in U, v\\in V\\}
\n$$
\ncom as seguintes opera\u00e7\u00f5es:
\n$$
\n(u_1,v_1)+(u_2,v_2)=(u_1+u_2,v_1+v_2)\\mbox{ para todo } u_i\\in U\\mbox{ e }v_i\\in V
\n$$
\ne
\n$$
\n\\alpha(u,v)=(\\alpha u,\\alpha v)\\mbox{ para todo } u\\in U,\\ v\\in V\\mbox{ e }\\alpha\\in \\F.
\n$$<\/div>\n

\u00c9 f\u00e1cil verificar que $U\\oplus V$ \u00e9 um espa\u00e7o vetorial. O vetor nulo \u00e9 $(0_U,0_V)$ e $-(u,v)=(-u,-v)$ para $u\\in U$ e $v\\in V$. No caso da soma direta externa, $U$ e $V$ n\u00e3o precisam ser subespa\u00e7os no mesmo espa\u00e7o vetorial. Se $W=U\\oplus V$ (soma direta externa), ent\u00e3o podemos definir os subespa\u00e7os
\n\\begin{align*}
\nU_1&=\\{(u,0_V)\\mid u\\in U\\}\\\\
\nV_1&=\\{(0_U,v)\\mid v\\in V\\}.
\n\\end{align*}
\n\u00c9 f\u00e1cil verificar que $W=U_1\\oplus V_1$ considerado como uma suma interna. Em particular, quando $U$ e $V$ t\u00eam dimens\u00e3o finita, ent\u00e3o $\\dim U\\oplus V=\\dim U+\\dim V$.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Seja $V$ um espa\u00e7o vetorial de dimens\u00e3o finita e sejam $U_1,U_2\\leq V$. Ent\u00e3o $$ \\dim (U_1+U_2)=\\dim U_1+\\dim U_2-\\dim(U_1\\cap U_2). $$ Dada na aula, veja tamb\u00e9m as notas do Rodney e John. Sejam $U_1,U_2\\in V$. Dizemos que $V$ \u00e9 soma direta de $U_1$ e $U_2$ se $$ V=U_1+U_2\\quad\\mbox{e}\\quad U_1\\cap U_2=\\{0\\}. $$ Neste caso, escrevemos $V=U_1\\oplus U_2$. … Continue reading Soma direta<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2088"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2088"}],"version-history":[{"count":2,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2088\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2090,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2088\/revisions\/2090"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2088"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}