{"id":2075,"date":"2023-03-15T09:20:13","date_gmt":"2023-03-15T12:20:13","guid":{"rendered":"http:\/\/localhost\/?page_id=2075"},"modified":"2023-03-17T07:34:22","modified_gmt":"2023-03-17T10:34:22","slug":"subespacos","status":"publish","type":"page","link":"http:\/\/localhost\/index.php\/ensino\/algebra-linear-ii\/subespacos\/","title":{"rendered":"Subespa\u00e7os"},"content":{"rendered":"
\n
\nSeja $V$ um espa\u00e7o vetorial sobre um corpo $\\F$ e $U\\subseteq V$ um subconjunto n\u00e3o vazio. Dizemos que $U$ \u00e9 subespa\u00e7o<\/b> de $V$ se $\\alpha_1 v_1+\\alpha_2 v_2\\in U$ para todo $v_1,v_2\\in U$ e $\\alpha_1,\\alpha_2\\in\\F$.<\/div>\n

Equivalentemente, podemos dizer que $U$ \u00e9 um subespa\u00e7o quando ele \u00e9 fechado para combina\u00e7\u00f5es lineares; ou seja, $\\sum_{i=1}^k\\alpha_i v_i\\in U$ para todo $\\alpha_i\\in\\F$ e $v_i\\in U$.<\/p>\n

Um subespa\u00e7o vetorial \u00e9 um espa\u00e7o vetorial dentro de um espa\u00e7o maior.<\/p>\n

Quando $U$ \u00e9 um subespa\u00e7o de $V$, escrevemos que $U\\leq V$.<\/p>\n

\nV\u00e1rios exemplos foram dados na aula.<\/p>\n

Seja $V$ um $\\F$-espa\u00e7o vetorial e $X\\subseteq V$. O subespa\u00e7o gerado por $X$ est\u00e1 definido como
\n$$
\n\\langle X\\rangle=\\left\\{\\sum_{i=1}^k\\alpha_i x_i\\mid \\alpha_i\\in\\F,\\ x_i\\in X\\right\\}.
\n$$
\nOu seja, $\\langle X\\rangle$ \u00e9 o conjunto de todas as combina\u00e7\u00f5es lineares em $X$. Claramente, $\\langle X\\rangle \\leq V$ e $\\langle X\\rangle= V$ se e somente se $X$ \u00e9 um conjunto gerador.<\/p>\n<\/div>\n

Observe que um subespa\u00e7o $U$ \u00e9 n\u00e3o vazio. Tomando $v\\in U$, temos que $v+(-1)v=v-v=0\\in U$. Ou seja, todo subespa\u00e7o cont\u00e9m o vetor nulo.<\/p>\n

O subconjunto $\\{0\\}$ \u00e9 subespa\u00e7o em qualquer espa\u00e7o e este subespa\u00e7o \u00e9 chamado de subespa\u00e7o trivial<\/b>. O pr\u00f3prio $V$ \u00e9 subespa\u00e7o de $V$. Quando $U\\leq V$ e $U\\neq V$, escrevemos que $U<V$ e chamamos $U$ de espa\u00e7o pr\u00f3prio<\/b>.<\/p>\n

\nSeja $V$ um espa\u00e7o vetorial, seja $I$ um conjunto de \u00edndices, e sejam $U_i$ subspa\u00e7os de $V$ para todo $i\\in I$.<\/p>\n
    \n
  1. A soma de $U_i$
    \n$$
    \n\\sum_{i\\in I}=\\{u_1+\\cdots+u_k\\mid u_i\\in U_{j_i}\\mbox{ e }k\\geq 0\\}
    \n$$
    \n\u00e9 um subespa\u00e7o de $V$.<\/li>\n
  2. A interse\u00e7\u00e3o
    \n$$
    \n\\bigcap_{i\\in I} U_i
    \n$$
    \n\u00e9 um subespa\u00e7o de $V$.<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n
    \nDada na aula.<\/div>\n

    Note que a uni\u00e3o n\u00e3o \u00e9 geralmente subespa\u00e7o. Exemplos foram dadas na aula. Quando temos um n\u00famero finito de espa\u00e7os $U_1,\\ldots,U_k$, a soma pode ser escrita como
    \n$$
    \nU_1+\\cdots+U_k=\\{u_1+\\cdots+u_k\\mid u_i\\in U_i\\}.
    \n$$
    \nEm particular,
    \n$$
    \nU_1+U_2=\\{u_1+u_2\\mid u_i\\in U_i\\}.
    \n$$
    \nNa verdade, temos que
    \n$$
    \n\\sum_{i=1}^k U_i=\\left\\langle\\bigcup_{i\\in I} U_i\\right\\rangle.
    \n$$
    \nOu seja, $\\sum_i U_i$ \u00e9 o menor subespa\u00e7o que cont\u00e9m $U_i$ para todo $i$.<\/p>\n

    \nSeja $U\\leq V$. Ent\u00e3o $\\dim U\\leq \\dim V$. Assumindo que $\\dim V$ \u00e9 finita, temos que $\\dim U=\\dim V$ se e somente se $U=V$.<\/div>\n
    \nDada na aula.<\/div>\n
    \nSeja $X\\subseteq V$ onde $V$ \u00e9 um espa\u00e7o vetorial. Temos que
    \n$$
    \n\\langle X\\rangle=\\bigcap_{X\\subseteq U\\leq V} U.
    \n$$<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Seja $V$ um espa\u00e7o vetorial sobre um corpo $\\F$ e $U\\subseteq V$ um subconjunto n\u00e3o vazio. Dizemos que $U$ \u00e9 subespa\u00e7o de $V$ se $\\alpha_1 v_1+\\alpha_2 v_2\\in U$ para todo $v_1,v_2\\in U$ e $\\alpha_1,\\alpha_2\\in\\F$. Equivalentemente, podemos dizer que $U$ \u00e9 um subespa\u00e7o quando ele \u00e9 fechado para combina\u00e7\u00f5es lineares; ou seja, $\\sum_{i=1}^k\\alpha_i v_i\\in U$ para … Continue reading Subespa\u00e7os<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"parent":2021,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":[],"_links":{"self":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2075"}],"collection":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2075"}],"version-history":[{"count":8,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2075\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2087,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2075\/revisions\/2087"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2021"}],"wp:attachment":[{"href":"http:\/\/localhost\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2075"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}